Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 73
Текст из файла (страница 73)
навливга соотношевие ежду х(л] и у[л) и записывается в виде у[л]= Х Ч[л — й]х[й]=Н[л] х[л], (15 2) где тх г-митрича миогиаилкьний иктукьгиой карлкггрггсгихи имеет вц гй . р,] , . й, „[й] .,[й] . й,',.[й] Н [й]= ,[й] . й [й) Следоааельно, отдельныу выходному каналу у [л] соотнес стэует ф пипия свертки у, [л) = ь) 2' йи [л — й] к, [й]. г.~ г=- Млгдяа млогокамалмога г-лреобразазаиил матричной и следоватльности И[у] пределяется следуюшим выражением Х () 2' х [й] г " г= — э Н(г>= " Н[й]г- —,5(Н[й]>, (15 3! где г — омплексный скляр.
В этом слу гас Н(г) — гтогака иалалаясисггмиая фумция. Вектор сигнала х[й] имеет слг*. луюшее -преобразованис (15 4) й(агригга Н Ц) млогокаиальиого бис регнога аре.чели лрсобразоеани» Фурье (ВВПФ) определяется выражением Н()>=ТН(г)),=,„зи ггг=Т ю' Н[й!ехр( — !2и[йр>, (155) а вектор Х(П многоканального ДВПФ вЂ” выражением Х()) Т к.' х[й]ехр( — 12г>йТ>. (15.6) Теорема о многоканальной свертке, саязываюшая а-преобразование мзтрицы и векторов в уравнении (15.2), записывается в форме У (г) = Н (г) Х (г). (15.7) Каузальная т-каиальная линейная система описывается матричным разносгяым уравнением с постоянными коэффициентами А[й]у[» — й] - УП С[й]х[л — й], (!5,5> г-з г=с в котором А[й) и С[й] — тхт-матричные коэффициенты. В предположении нулевых начальных условий я-преобразование имеет вид А (,> у (,> = С (,> х (.> или (!5.9) У (г) = А-' (г) С (г) Х (г).
15.5. Теория многананальнык случайнаж процессов Основные положения теории двухканальных случайных процессов лля пронессов, стациоиариык в широком смысле, были развиты в гл 3. Взаимнаа корреляция нежду одноканальеыми процессами *(л] и у[л) определилась тач как гт [у]=-8 (к[л-4-я] у'[л]> ()бдо> со свойством г г[й] =«'„,[ — й] Было показано, что двухианальиая взаимная спектральаая плотность мошности представляет собой просто дискретно-времсаное преобразование Фурье ()(ВПФ) взаимной корреляцаоинай функции Р Ц) Т й. ты [)] схр ( — (2и)АТ).
(15 11) Н пешем случае эта функция является комплексной и обладает комплексно соприженной симметрией Рт ([> Р'„, ( — )) (15.12) Можно непосредственно показать (см. Задачи), что значения аз,гимного спектра на каждой частоте ис превышают среднего ~сометрического знзчения спектров процессов х и у на этой час- тые, т. е. 115 18) ! Р.. ())).- =.Р.. (!) Р„„(1). Эрчитоза матрица ряду ! гп [й] гм [!г] ... гщ (й] „ [й] ,. [й] , .' [й] О „„ [й] = б ( х [л г й] хп [л]) = ,( 15 18) Хг,м[2] г э[2] ... г [й]г прелст,звлпюшую по форме корреляционную чатрппу, диагональ (Р„„(1) Р„„(!З) 'ХР„.()) Р„.,()) называетгя магрпчей коггреитиогти Согласно свойству (!5.18), зта 2х2.матрица долэ,эа иметь неотрицэгегшвый дезерт ннант для всех частот Комплексное безрзз ~ерное вырин еы е О.,(0= м (15 !5) ГП. ПО)'и (О получало название фрилп~ы козергигиосгп.
С этой фуикг!»ей свя. заиы лвадраг згоддля козереигпостп (КМК) КМК()) =)О,э())] = — -'-' '— '„'„' (15 !6) и фазовый спектр кошргпгиосгп (нлп просто «фазовый» спектр! О(Д=жс1Ь]1ш(Ф, ()))!Ре(Ф„„(1))] 1!5 !7) Заметнч, что вели шна КМК должна быть заключена мея ду О (для частот, на которых отсутствует когереатность между каналами) и ! (для частот, на которых каналм полностью логерептпы н гранипах некоторых фиксированных фазовых соотношении).
Такилг образом, КМК агом~го использовать длп измерения сходства (как функция частоты) лвух сигналов Важнейшее его применение — обнаружение общего сигнала в двух разлвчиых каналах Фаза когерентности характеризует отста. ванне илн опережение по фазе в канале х по отношению к ка. папу у как функцию частоты. х)тобы обобщить скалязные функдии авто)взаимную лорреляцяю и авто)вчаиьгную спектральную плотност~ мощности нэ многоканальный случай, определим лногокопа.чьпую «аррэляйп. оиирю последозптг гьиость (МКП) стационарного вектора ю-кэнальяых данных х[М для «орреляпианного сдвига й ьак мат- (15.!О тй,м()) Р,(П ... Р,„„()), ()) !' (1)Х бе1] " "; рла по ояределенвю является жптрпцей,пиозокапа.гьпогг спе,грань пай лжжпопп мои)иоггп (СПМ) многоканального слувйяаг процесса.
Лншоиагшнычи элечентамн ее являются аввспеит ральные плотности отдельных кана.юв, в незиагональьыти— взаимные спектрэльные плотности ппр каналов Зачеты, чт патрика Р ()) эрчитоаа, т е Р,.()).=ри.,()), и яаляетш пою гките.шна пол)определенной Это озпьчаег, что ыатрица гзжз го главного минора Р.,()) имеет неогрнцателышй детер,ин ~ н, следовательно, звачения когерентнасти для всех пар кз .юв заключены между О и 1.
Так, для двухканальной ытрю СПМ означает 1мп)!)1' Полобные утзерждейия могут оыть сделаны в отношенигдете( мииантов более высокого передка, в предположении сухествс ванна множесгвенпых функцвй когерентности, таких, каирчг Ц, со сванстном О.:-) Р,п ОВ! ..-,. !. зо — !зба аэю элементы которой являются коэффициентами автокореля ,шн лла отдельных каизлон, а есе остальные элементы — это ко чффипиеитм взаимной корреляции между всеми паране кана л ж Хотя г,г [й] чьг„" [й], свойство гч [й] — «и*[ — П],олжн вмсть место для )мьь следовательно, О*,[д] ие будет обадат~ с~гобоевом эрмитовой симметрии, т е й,.[й)ФО„.[й], ю вме сто вега будем яме~э О [а).— О..[ — й].
Лнзшогичное опелеле и' пие можно ввести для многоканальной ковариационнойфуик паи, если использовать вектпр среднвх по каналам Есл мна гоканальный процесс х[л] имеет во исек каналак аулево сред нее, та многоканальная «овариациониая матрипа раня мно гоканальной корреляционной матрипе, Матрина ДВПФразче ром (ггг)еш) многоканальной корреляшюниой матрицы Р*. (() =Т л,' О*. [2]ехр( — !2я)йТ)= Гро(1) Рм()) ... Р, ()) ! РмИ РмУ) . Р., ()) Из многояаиальнмх случайных процессов с нулевммгреаним особый интерес представляет многоканальный белый шч п(п], мвагокаяальная МКП «огорого имеет вид !Р., й=о, (15 20) !О в остальных случаях, гас Р, — юХпг-эрмитова чатрица.
Белый шуи в каждог канале коррелирован с самим собой и с белым шумом другнхканалов только прн сдвиге й=й. Следовательно, многоканальня СПМ многоканального процесса типа белого шума подчнняеся соот. .ногпеггию Р„„(!) = ТР„. (! 5.21) Используя аргументы, аналогичные приведенным в раэд4.3, легко покззать (см.
Задачи), что соотношение между коррлнционнай матрицей Йю[ш], пыходной корреляционной матрцей чно. гоканзльнога фильтра с посдедавательностью матричой нмпульсаой характеристики Н(ш], и В (ш], корреляционой ыат. рицей многоканального входного пропесса, эзписываета в виде Вю [т] = Н [т] ф В [т] * Н" [ — ш]. (15.22) Тогдз многоканальное «-преобразование выражения (1522) будет (з) - )( (з) р„ (г) Ии (!!з'), (15 23) На основе определений (15.5) н (15.19) н связи между гходным и выходным працессаии л[ногоканальиого линейного филщра получаем шХт-матрицу СПМ Р (!) =- Н (!) Р„ (/) Н" (!), (15 24) где Н(()= л,' Н[5]ехр( — 12я)ДТ).
Заметим, что формально Н(!) ие ввляетсн многоканальным ДВПФ, поскольку злесь опущен масштабный множится Т. 15.5. Многоканальные няассичвские процедуры спшырпыюй оценки В гл. 5 были обсуждены классические методы автоспект адгшого и взаимноспектральнаго оцениваная длн двух методов женина. ния СПМ вЂ” пернодограммггсиа и коррелограммного В той главе читатель найдет алгоритмы для вычисления автоспктральных оценок отдельных каналов и взаимных спектральыч оцезюк пар каналов, которые затем используются для заюлнення чг клеток матрицы СПМ (15.19).
Программа МСРЕВ100 в прил ысакн !5.А позволяет вычислять матрицу СПМ с помощью п риозограммного метода. Многанаиальные пернодаграммные и каррелограмыные чет ды для оцеиавання СПМ можно представить более наглядно з многоканальной матричной записи.щиагояанальная усредненно. пзриадогримла, основанная иа усреднении по К сегментам, нч ет внд Раза (!) = — „. ру ц' Х, (!) Хп (!) ~, 1 ! (15.2Р где Х„(!)=Т Х х,[п]ехр( — 12п)пТ) -з тле н — ~ Х,())=.Т Х х,[п]ехр( — !2п(пТ), =з и-1 Х, (!) —.- 7' Х х„[п] ехр ! — 12п)пТ).
=з При этом оценка квадрата модуля когереитности будет разы единице,так как КМК( — " " — [ ° ] — 1 (!53) г„!(!я„,!В [х,й)х;г!1] х,!!зх[(В] лля всех ! независимо от значений данных. Зтат случай иллюс. Р)груст предельную ситуацию в отношении эффекта смещены, зо' — жХ1-вектор ЛВПФ, построенный по Х отсчетам т-канальнга выборочного вектора хь(п], взятого из й-го сегмента. Усрег пение важно не только для целей статистического сглажпванш перяодограимы, оно танже имеет большое значение для минь мивации смещения в оцеаке когерентностн. Рассмотрим пределну(о ситуацию в двухканальном случае без усреднения по семеятам (имеется единственный сегыевт).
Тогда авто. н звань ные периодограмывые оценки, полученные по Х отсчетам из кналов х, и хз, имеют вид Рп(!) — Х,(()Х ВВ Рм П) = —, Х, (!) Х; ((), Рм (!) =. ~~ Х, (!) Х; (!), г !з 469 который всегда присутствует в оленках ксерещности. получен- лых яз спектральных пернодограммнык оцпок Счешенную оценку многоканальвой крреляцнонной магри. цы нрп сдвиге й можно записать для случа й)0 в виде я-ь-з К„„[й].= — ' ~, х[л гй]в[л], =з где многоканальный вектор данны«х(л) определен формулой (15 1) Полагая, что оценка проведены дл сдвнгов от 0 до Р, с помощью многоканального коррелограч нога метода пол)чнм оцевк) СПМ [ (15 27) Рзоея([)=Т ю' 9 [й]ехр(-!2.!йТ). (1528) Выраыенне П328) можно кратко запвсзтш анде Ркорр(!) = Те (!) Кгел(), (15 29) где блочво-теплнпева корредяцяонная мапвца блочной размерности (РЧ-1)Х (р-1-1) определена выражеысм г 9..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
