Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 68
Текст из файла (страница 68)
О) Рб!(ИРБО+1 — К)=СО(10(БОМ) 50 РБ)(К.!.1! БОМ С тав «ясн ОО 40 К М-(-2,ЫР5О-М 49 Р51(К) (О,О) САЬЬ РКЕРРТ (МР5ООЬЕХР%) ВАСЬ РРТ (ЫРБОО,),МЕХР.Е,Р5Ц 1В юю и ЬПФ ливиса ОО 50 К 1,МР50 50 РБО(К) Т)КЕАЦРЯ(К)) ! (1224) кетОБК ЕМО 43! Глава 13 МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЧАСТОТЫ, ОСНОВМНЫЕ НА АНАЛИЗЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 1 13.1. Ваедемм Один из класов спектральных методов, осаованпый на анализе собственаыхзначений аитоьорреляциоапой матрицы или одаой из матриц дииых, уеючяиутых з гл. 8, описывается в научной литературе нк класс методов, обеспечивающих лучшие характеристики рарешения и оцеииааиия частоты. чем авторегрессионный мета и метод Проки, особенна при низких отношениях сигнал,'шум,согда эти методы ие э состоянии разрешить близ.
кис по частое синусоиды нла другие узкополосные спектральные компоненты.Выше, в разд. П.й, уже приводился ряд аргументов, подтвертдэющих подобное мнение. в этом разделе описывалось нспоьзованце метода разложеш я по сиагулярным числам [РСЧ), то позволяло получать более точные оценки часто ты и геоэффиментэ затухания для процесса, состоящего из сеееси даух затухшших экспонент и аддитнвиого шума. При еины улучшения крактеристик методов, основанных на анализе собственных зннений, рассмотрены в данной главе.
Ключевой операцией в эти метопах является раэделенке информации, содер. жащейся и атокорреляцноиной матрице нли матрице данных, на два некто ных надпространства — подпространство сигнала к подпространсво шума. В указаиых подпространствах можно определять рззличаые функции от иктороз сигнала и шума для получения оценок частоты, графичское представление которых имеет острые цики на частотах синсонд илн других узкополосаых слектральных комнонент.
Однао эта оценки не являются оценками истинной СПМ, поскольку он не сохранник мощность анализируемого процесса, а их обратно преобразование Фурье не позволяет восстановить исходную ааокорреляциониую последовательность. К классу метолов оценвания частоты, основанных на анализе собственных значеингсоотзетствующих матриц, принадлежат алгоритмы гармони юсксо разложения Писаренко [ГРП) и классификации миожестенных сигналов [МО5!С вЂ” л иЛ!рге яйла! сгоше)НаВол) . 13.2. Кратная водка результатов На рис. 13.!перечислены этапы обработки сигнала, требуемые для вычислена частотных оиенок двух типов, получаеммх с по.
мощью алгортма МО51С и алгоритма ВЧ. машинная програее- ие гге ль Е эходимх пульнет гиле оцн кичзс е *еиез мопс !чети е емегиоо Ргс. !3.!. Кр к с зрэшаур валу езэз л у гэа и чеа к, ка реалиаацни которых приеедеиа а приложении 1З.А. Грфики этих оценок для 64-точечной тест-последовательности дмиых приведены соответственно на рис 13.2 и 13.3. В качестве !кодных данных в обоих алгоритчах используются автокоррелциониая мзтригеа раз»ера 1Р и оценка числа компонент сигнала 15!О. Зеиегпм, что Н51О )Р. Оценки, нриэеденные иа этих рисиках, нл.гюстрнруюг предельные возчожиости названных методо, ко. торые предназначены для иолучения спектральных опеное процессов, состоящих из смеси узкополосных сигналов и аднтнвного шума.
Заыетнч также, что окрашенный шум, содержшнйся в тест-последоиательиости, ухудшает характеристики ониок, получаемых с помощью этих методов, поскольку она ае прдаазпачекы для работы в полобных случаях Метод гареюниеского разложения Пзсаренко кратко описан в разд. 13 6. 13.3. Анализ собствеииьж значений автокоррепяционной матрицы йяя случая сииусомА в белом шуме В гл 4 было показано, что автокорреляциоиная последоятельность (АКП) для стационарного в широком смысле праесса, состояецего из М коаллексимх синусоид со случайными фзамн и адлитивиого комплексного белого шума, описываегсв кь и г., [3) = Х Р, ехр П2я) АГ) -1-р 6 [й[, П3.1) ОЗЗ (13.3) О ав О.О ОЛ (13.4) (13. Ь) пб -за Кр —— Ьр-)-%, (13 8) где 5 'ОР5 и '= г % =р! (13.
7) (13.8) (13.2) и ч Р, Кр = р — [3 55 — , '5[5[]лпр 1. г=! (13.93 26 — 1363 а И-00 и -зо 3-во 3-00 о "50 0,5 -0,0 О.З О,З ° ° З О 0 ~ Рм. 13.2. О» н ы для 64-шчшноа те .:.а з ы ноше, лолгч не е д зззлшв с б твеннм вектор (СП) лтчзе, ко дз матрвпа дз ям* и ш порллок 1Р=15 пара шр МВ!О=1Ц4 соб тз нм«з кторз веднрштр у 5). -0,5 -ОЛ -О,З -0,2 -ОЗ 0 Ор Оз 0,5 0 З 0,5 Рве. 13.3.
Онелпз часе тп зля 64.» ег а ест-нослао тю н с н. ло. Г ев. нзз мег д м алзсснфнкзпин но ен мз снгизлоз(МО51С) з .у зе, да пвтр кз данных мест пор д 1Р 15 в перемен м51О-11 10 06 низ векюра ноллвостранствз штн). где Р. — мощность 1-9 сиаусоиды. а р — дисерсня белого шума. Если процесс состоит из М дгйстлпгеыиыг ниусовд и вддитив. ного действительного белого шума, то АКПописывветсв выра. жением м Гш[й]=Х Ррспз(йи!ВТ)+р б[й] г 1 м = й, — ' [екр (12п)гДТ) -) ехр ( — )йи)гДУ] ч- р„б [3].
(еплицевв автокорреляционивя (Р-1-1)Х(р-1-1-матрица г„,[9] ... г'„[Р] рр—- Р„, [Р] ... гш [0] а случае комплексных синусоид в белоч шуме игеет следующую стр)' гуру м МР5 И« г-г гле 1 — единичная (р+1) Х (Р-(-1)-матрица, а 1 ехр(12п),Т) 5 техр (12пАРт) р — вектор сигнала размерности Рт!, несущий нюормацию о час- тоте г-й свнусоиды. Матрицу й, можно предствить как сумму ° вто«аррезяционнай матрицы сигнала 5 и авткарреляцновиой лгатрпцы шума %Ы (Рф)) Х(р+!)-«атриды.
Если порядок ввькорреляциониой матрацы Ре больше числа комплексных синусад (т. е. Р)М), то матрица сигнала Ьр бУдет иметь Ранг М твк пзк каждое внешнее произведение векторов з,зр — вт марица ранга 1). Матрица шумз будет иметь полный ранг Р+1. Аналогичным образоч можно показать, чтоз случае Л( действительных синусоид в белом шуме автокоррелнионная матрица Р-го порялкз имеет следующую структуру: 454 г,э.. !з 455 М ея Матрицасигнала 5, в этом случае будет иметь ранг 2М. Заме. тим, что,лачиная с этога момента, оснозное внамание будет уде. лена кощлексному случаю; действительный случай получается нз комплксншо простым пзненением ранга матрицы сигнала от зиаченияМ к значению 2М. Матрца согнала будет иметь с !с«ующее разложение иа соб.
ственнымзначснпям. 3 = Х Д,чгчи, (13.10) Х !.,ч,ч,". <!13!) На собстенные нектары ч, ..., нм, назывгемые главными собггегииым гекторами. натянута та же область ладлрасгронсгво сигнала,лто я на веиторы сигнала 31, ..., зм. Это означает, что любой глвный собственный вектор должен бмть прелставнм в инде некаорой линейной комбинации векторов сигнала и чг= З' 5мзл, (! 3.! 2) л=! 1 !мМ, Для того чтобы этот вектор был собственным век.
торам марицы Зр, должно выполняться условие 3 ч,=Дч,. Полставля (137) в (13!3), получаем Рлзрэ 1 1 †<!Ззз) илн и ч ( р и 1 (13.15) где )щ! М, а зто означает, что и — — з,чо (13 16) Заметим,что в случае М=! будем иметь 11=РР и чл з!)!лр. где собсиенные значения упорядочены по степени нх убывания, т. е. Х!Эйз) ., л,л1, а собственоые вектоРы оРтоноРмальны (чин!=бегли 1~/, и 1, если 1=-!). 51ожно показать (10), что матрнца1азмерности р-)-1, обладающая рангам М(рц-1. будет иметь р-М-1-1 нулевых собственных значений. Тогда разложение (13 1О) ыжио записать в следующем виде: Одно из предстгаленнй зиничной матрицы, записанное через ортоиармальные собствнаые векторм.
имеет впд р+1 1= 2' ч,ч,". 11) и (13 1! в (13 6), получаем разложение авй чатрнцы ю собсгэенаыч значениям: м р 1 -)-р„, д", ч,ч,'=- м (),-1-р )ч,чл-)- д р ч,чр' 1=и 1 (13.18) , Чр.р, НатЯНУта ° етствует одно бственные век,!а матрицы Р, пенные значения 31+ !генные значения главосж э, сны кок из мои(насти сигнала, иточу белый шум будет обязательно «е собственными аначеняячи собст.
,яющнх свободному от шума падпра ла. (13.18) затиарреляиионной матрицы на собст!пиме значения можно двмя способами использовать л.1я по. .ученая спектральных оцемк нли, точнее говоря, улучшенных процелур оиенок ~ас~оты. Ьхраиг«иг одной лишь информации, ссогвгггггу1ои(сд собсггенн1м ггкгорам лодпросгрохсгзо сигнала, т. е, ииы.чи словами, фрмираганиг длл лиагриц Р, аллрох.
«маци пониженного ранг! эффективно слогобстеуег увеличеию оглашения сигиа.з)шул! поскольку устраняет вклад моп!но. ти компонент яолпростриства шума. Этот факт лежит э !паве процедур оценок чаготы главных компонент (похпрост. аисте, сигнала), абсуждамых и равд 13.5. Заметим, что саблаенпые лекторы ортагона1ьны и что на глзвные собственные герторы натянуто то же помространство, что и на векторы сигнала, а, слетователыю егкарм сигио. а оргогаиолрны вссл вектора.ч г подлросглаисггг лумо, внлючая любую их линейную качбинзцию,т. е 1 ,! Ч вЂ” 1 <13.!0) гас !Щ'щМ (или 2М в слу зс М лействительных синусоид).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
