Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Эта свойства положено в основ)процедур оцеиок частоты л лодлросграисгзе лиуиа, которые обуждаются в разд. 13.6 зз' 437 71 лл 2; ор ,[й -1- !] г л а=л (13.21) (13.23) (13.26) С определяются В 7! г,' ! г ' С= г-м-и Л грм-а (13.26) В частном случае Р=М (нля р=2М в случае М действнтельыь синусоид) надпространство шума будет иметь толька одын оба»еенный вехтор»ры с собствевным аначеннем р . Этому соб. твеннаму вектору будут ортагональвы М векторов сигнала м+ т Л»,= й]о „[й]ехр( — 12п(ЭТ)=0, (1320) де 1:С(ШМ.
Следовательно, корни полнвама удут лежать на единичной округ»»найти в точках, которым со тветствуют центральные углм 2я(,Т, где 1(1(М. Эта концев .ия .»елкпт в о нове остада г, рман» »еского разложеняя Писа енка (ГРП), обсуждаемого в равд. 13.6. 3.4. Днаянз сабственнык значенмй матрмцм ланмык дпя случая экспонент в шуме лвтонорреляпаанная последавателыюсть, как правила, не нэестнэ, поэтому свойства автокорреляционных матриц, описаные в равд. 13 3, представляют скорее теоретическпй, чем прак нчесьий ннтерес.
Однако нден, нзложенные в этом разделе, ложна обобщить на кааарпацнонные и модифицированные каванацконные матрицы данныи, которые нспользуются в экспонен,надьных методах оценнвзния, основанных на методе 11рон»л см,юг. 11). В этом разделе будет показзно. чта свойства разла кения матриц данвых пз собственные значения аналогичны своитвзм подобного разложения для автокарреляцнонной матрицы 1а главные собственные векторы матрицы данных в поповна ~атаку»а надпространство сигнала, а сингулярные числа, сооь етствующве этим главным собственвмм векторам, чаще все~о меют значения, превосходящие значения сингулярных чнсеп, оответствуюших надпространству шума. Следовательно, сннгу~ярные числа,определяемые в результате прнменекяя к матрице .анных процедуры РСЧ, будут составлять основу, необходимую ,ля разделения собственных векторов на векторы, наиболее веоятна принадлежащие надпространству сигнала н подпрострактву шума.
Метод Проня был введен в гл. 11 как метод, преднааначеншй для аценнвания параметров некоторой затухающей зкспо:еицпальяай модели, иснользуемой для аппроксимация заданной юслепавательнасти отсчетов данных. Центральным моментам »ля этого метода является решение некоторой системы линейных равнений, содержащей подобное аетакорреляпианной матрнце ~ронэведенпе Т„"Тр, где г [р — 1] х [1] (13.22) х[М] ..
г[У вЂ” р] — матрица данных порядка р, используемая в ковариапнонном четоде линейного предсказания. В мадифвпврованнач методе Правя, который предстзвляет собой один нз вариантов метода Прони ддя случая неве»ухе»ащей сипусокдалыюй моделк, нсноаьэуетса модзфпцпровапная кавариацяонная матрица дан*»ых Последующее обсуждеьве будет в основнач касаться матрнцы Т. адвака выводы будут также справедливы н для модкфнцяроаанаой коварнацяанной матрицы данных. Рассмотрим свободную от шума последовательность кампаю оных экспоненцпальных сигналов л «[и]=- Х Л,г,", (13.24) ° з где г -ехр([ил+(2п( ]Т), а йл-Алехр((ф ). Заметны, чта е качестве приемлемых сигналов а данном случзе допустнмы н затухающие экспоненты Сформированная нз этой последователь. насти х[п) матрнца Тр вида (13.22) будет иметь ринг М до тех пар.
яака выбранное значенпе порядка р будет леткать в интервале й~р<,Л» — М (для нодифпцнрованной каварнацнонпой матрацы — в пнтерва »е М(р((Л' — М](2) Мэтр»шу данных Т» можно записать в виде следующего разложснпя на множптелк (7!: Т =ВС, тле (л' — р) хм-матрнца В н (м)ср).матрнца выражениями )л,г,",, р,м я гм' .. гВ»- хзэ Используя разложение (!3 25), получаем далее Тиу СнйиВС (13.27) Соответствующая матрица ВаВСС" размера МХМ является по.
ложителыю определенной, поскольку матрпцм В н С обе иыеют полный ранг М. Если А, 1.::! = М,— собственные значения, а м„ !щ)(М,— собственные веьп ры, та (ВаВССв) м, = ).,мо ПЗ.28) где 1 '-!щМ. Умножая слепа обе гтороиы выражения (13.28) на матрицу С", получаем СггйиВССим, =-Х,Сим,. (13.29) Вводя обозначение тг = С"и, (!3.30) и подставляя (13 30) в (13 29), окончательно получаем Т"Т ч,=).,ч„ (13.31) где ! (!щМ Таким образом,М ненуледых собственных значений матрицы Т,нТ, размером рхр идентичны собственным значениям матрицы ВаВСС". Остальные р — М собственных аначенай матрицы Т,"Тх равны нулю, поскольку эта матрица имеет ранг М.
Собственные векторы, соответствующие ненулевым собствениыи значениям, определяются выражением (13 ЗО) Следовательно, любой главный собственный вектор матрицы ТриТр будет пред. ставлять собой некоторую линейвую комбинацию из столбцов матрицы С, которая составлена нз векторов сигнала, о чеи свн.
детельствует выраткенне (13.20). Л(ожно также показать, что любой главный собственный вектор матрицы Т,"Т, представляет собой некоторую линейную комбинацию нзстолбцовматрицы В, которая также составлена из векторов сигнала. Матрица Т„ будет иметь М ненулевых сингулярных чисел, которые просто раа. ны корням квадратным из собствсшчмх значений. Собственные венторы, соответствующие нулевым собственным аначениям матрицы Т,"Т„ или ТгТг" ортогоналыгы М собственным (нли глав. ным) векторам надпространства сигнала, связаннмч с ненулевыми собс зсинычи ~нз ~енп~.хгв в пространстве сигнала. Ясли данные солержзт шум, описанные свойства будут справедливы ае точно, а приближенно.
Следовательно, М главных сиигуляриы» чисел матрицы Тм составленной из зашумленных отсчетов, чаще всего будут иметь значения, превосходящие зна. чения р — М наименьших ивг)парных чи ел (которые точна рав ны нулю в случае отсутствия шума). Поэтому М собственных векторов, соответствующих Л1 главным собственным значениям либо матрицы Т"Тр, либо матрицы Т,Т,", будутсодерхсатьменьшие вклады шума, чем собственные векторм подпространства г г„„(0] 'Г 1»..
(Р] екр(!2л)г! е (!) —. гехр(/2л!РТ)) г,„(Р]1 г„(0] т га(1] ) !о(г] ~ аг —— «)Р] г (13.35) Если Кр —— . А' ), чати (13 30) шума, соответствующие р — М наименьшим сингулярным числаи, Эти выводы огчасти подтверждаютсв и результатами анализа, выполненного в равд 13.3 13.5.
Процедуры оценим частоты а иедиростраистве сигнала Выше было покваано, что сохравение собственных (али главных) векторов надпространства си~на.та эффективно увеличивз. ст отношение сигнал!шуч зля процессов, состояшвх из смеси и спанент н адднтивного белого шуьга, за счет устранения основной дола вклада шума в азтокорреляцнонную матрицу илн мат. рину данных. Испольауя любую ю оцеаои СПМ, описанных в гл 5 †!2, можно построить олин из «лаосов процедур оценки частоты в подпространстве сигнала, просто заменяя автакорреляцвоиную матрицу или матрицу данных нх аппроксимациями понижеввого ранга, записываемыми герез главные собственные векторы.
Рассмотрим коррелограммную оценку СПМ. оценку СПМ мннималющй дисперсии (МД) и автарегресснонную (АР) оценку СПМ Юла — Уолкера. В коррелограччиои методе к МД-методе известная илн оцененная автокоррелнционвая матрица д, используется для определения спектральных оценок вида Рко„(Д = Те" (Д Дне ()), (1332) Рмд())=Т(ез(!)Д,'е())] ', (1333! тогда кзк в АР-методе аитокорреляциоиная матрица используется для получения АР-параметрое !"')ф Вй)""1„ (!3 34) ха г и ,О где векторы н матрицы определяются сгюдующимн аыражеаиямн. 4!О ортанармальнае разложение матрицы йг ~о собственным зна. чениям, величины которых упорядочены но степени вх убыва- пиЯ, т. е. М)М)..
)Хг, и должны оцениватьса М главнмх компонент (д!щр), то зппроксгм~ацни поникгенного парилка для матрац й и й, записанные через главные собственные век. торы, будут иметь следующий внд: 44! з =! и мог)т испальзоватьсн змее~о матриц й„н й, а выражениях (13 32) †(13.34) для вычисления спеитральных оценок с пони.
женным содержанием шума благолзря устранению собственных векторов надпространства шума Впервые подход на основе подпространшвз сигнала. илн главных компонент, был пра зевса Оуслн [11, 12] при получении классических коррелограминых оценок для устройства формирования луча лнаейиой антенной реюеткн — эквивалента пространственно-временных оценок. Джонсон [4], а затеи Оусли [13] предложилн испольаовать этот подход н для улучшеаия характеристик МД-метода. Алгоритмы линейного предсказания, рассмотренные н гл.
8 и 11, основаны на использовании подобных автокарреляционныь матрицач произведений вида Т,"Тм где матрица Т описывается, например, вырвжением (13.22). Собственные векторы и собственные значения матрицы Тг"Тг определяются посредством применения процедуры РСЧ к прямоугольной теплнцевой матрице данных Т,, описываемой выражением (3 98) Сингулярные чнс. ла будут равны положительным значениям квадратных корней из собственных змачений матрицы Тг"Тэ Одна из аппроксимаций пониженного ранга для матрицы Т, мажет быть получена посредством устранения собственных векторов, соответствующих малым сингулярным числам, в сохранения одних лишь главных собствеинык векторов и связанных с ники сивгулярных чисел Одно из применений этого подхода было показано для метода Проня (см.
равд. П.9), а Тафте и Кумаресан [20] яредлажилп использовать его для оценивании частоты. В проведенных эиспе. римептах они обнаружили, что ковариационная матрица данных Т, лучше всего подходит для получения оценок в случае затухающих экспонент в шуме, а модифицированная ковараациониая матрица данных, описываеыая выражением (!323), лучше всего подходит дзя получения оценок в случае незатукающик синусоид в шуые [Б]. Однако ничего удивительного в этом нет, поскольку использование модифицированной новариационной матрицы данных составляет также одну из главных особенностей молифн. цнраваиного метода Прони, применяемого для оценивании си. иусоид.
Рисунок 13.4 иллюстрирует улучшение эффективного соа тзе и* актовое. ма[шум при использовании ыодгфицнрованной ~ матрицы данных пониженного прядка приме: тсчетаы двухкомпонентиого комп ексного сину. оадального зцесса: х[п]=ею (!2Я[032]лфк)4)+ехР(!2Я[03]я-1-ш[н] (13.38) м24, характеризуемого отношением авгия/шум, равным афтс и Кумаресзн показали, что этот по,ход обеспечпактернстнки, близкие к характеристикамчетода макси."тобия, и позволяет разрешатьпары близких д пра ьзалых отношениях сигнл(шуьк когда зредщазания не в состоянии тано разрешить г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
