Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 67
Текст из файла (страница 67)
«Задачи» н работу (7)), что ком. плексная синусоида е белоч шуме с автакарреляиией г,„[й] = Р ехр(!2п(,4Т)-г р б[й] (12.!2) имеет на частоте (=), следующую спектральную МД-опенку: Рчд(! ) = —,П -! РР(Р ) (12.13) Если отношение сигнал)шум Р)р »1, то Р»тл();) — РТ, (12 14) т е. равно мощности синусоиды, помноженной на масштабирующий маажнтель Т. Следовательно, ири большом отношении сигнал)шун высоты пиков в спектральной МД-оценке будут вриблнженно линейно пропорцнональны мощности синусоид, а сленг. ральные линии достаточно разнесены.
Высоты же пиков в АР- оценке СПМ прапариианальны квадрату мощности. Однако плошадь под графиком й!Д.оценки СПМ пропорциональна корню квадраю!ачу из мощности сннусоипы, что служит нндикатороч тоож что зта оценкз не является истинной СПМ. Кейпон а Гудман [5] показали, что среднее значение и дисперсия МД-оценки СПМ ведут себя подобно усредненной периодограмме (т е. дисперсия линейно уменьшается по мере увеличения числа »сред. няемык сегментов данных). Нз практике, когда имеются только один отсчеты данных, необходпчо использовать оценку автокорреляционной матрицы. В следующее разделе обсуждается несколько более удобный подход, в котором вместо оценки автакорреляцнаннан матрицы используется:лгоритч Берга где 0 „[!] а [2] ар , [1] (12 15) [а [р] ар,[р--1] —.
(р+1) х (р+1)-матрица АР-параметров со ,т0 дар, а значенияма поряд- (12Л7) 1(р,! — диагональная (рж!) зс (р+1)-матршгг, составленная из величин, обратных дисперсиям белого ш! "а соответствующих порядков Подставлял (12 15) в формул! (12Л) для спектральной МД-оценки н записывая обратную еи величину. получаем — ел(!) В 'е(!) =.— ен(!)А Р„А»е(!)= — / л а„[т]ехр( — -17 (л»Т)! =йм р з, (12.18) 11.4. Связь между спентрвпьнымм МД- и ДР-оценками В таи слу же, когда автокорреляционная последанатедьность из.
аестна, спектральные МД и АР-оценкн связаны явным соотно. шевием В гл 3 было пакззана (см. выра». *ение (3 1бб)), что ьгатрица, обратная теплицевай автокорреляцнааной ьгатрице, представима в ниде (12 !5) гм ш где Р(К 1) использована для обозначения СПМ сораша Дна ~а. пате 1 [2). Использовано также допущение а[О) =-1 лли всех значении порядка 0(й р. Таким образом, велвчина, обратная спектральной МД.оценке, равна среднему значению по всем величинам, обратным автарегрессионным спектральныы оценкалг со значениями парилка от 0 до р.
Поэтоиу наблюдаемое на прап. тике более низкое по сравнению с АР-оценкой разрешение спектральной МД.оценки обусловлена эффектом совместного усреднении АР.спектров низиих порядков, обладающих наименьшим разрешением, и АР.спектров высоких порядков, обладающих наиболыпнм разрешевием. Тем не менее МД-оценки при достаточно больших отношениях сигнал,'шум обеспечивают более высокое разрешение, чем классические оценке СПМ. В экспериментах с запнсяии данных большой длптельиости дисперсия спектральной МД-оценки оказалзсь меньше дисперсии спектральной АР-оценки СПМ идентичного порядка р [7) Эта уменьшение дасперсии также можно связать с эффектом усредаения, присутствующим в выражении (12.18).
Соотношение (12.18) характеризует связь пежду спентраль. намиг МД- и АР.оценками в частотной области. Аналогичное со. отношение можно получить и для арелюняай области [13). Разложив знаменатель АР-оценка СПМ р-го порядка на множители. ее можао записать в следующем аиде тл, т Р.,Е = ! 3 т л!ь! г( — гт (ет) Х )яг М) "Р ( — !2 (ет) луд л=-л (!2.19) Коэффициенты фш[й] вычисляются по иорреляшгонным коэф- фициентам АР-параметров !к — ~ ал[йсф(]а,[(], О.~й -мд; Гг'г.е ф'. [ — '], — 1>й> — р, где, по определению, полагается ал[0! — 1. Аналогичным образов можно запасать и спектральную МД- оценку. Для этого сначала напомним вид матрицы, обратной эрмитовой теплицевой матрице Д.
[сьс выралиение (3.!80)), а именно (12.21) а г г л тле треугольные теплицевы матрицы Тл и 5л апределнютсн вы- 4Ш раженинмн а, [Л вЂ” 2] а„(р — 1] 0 0 а,' [3] а,' [2] а' [гл] (] Падставлия предсгавление (12 2!) для абратнй матрицы й, ' в впрах е ни 132 10) длн МД-оцешгь, пасхе неоходнмых алгебраических прсоаразований получас» (1) (12.24) гм, (л) хв( — ла 1гт л=- ° Коэффициенты фмд[й) вычисляются пак ливана взвешеннме (оорабоганные окнам) карреляцаоиные козффжиенты АР-параьстрав. 1 ) 1 лгл — ~,(р-ь1 — й — 2г)а [йл-!]па[3], !<А(рг фч [й]= фйл [-.
"] -1>й > — д. (12.25) Количества ьы шслительных операций, требуеьых для расчета неабхолимого набора коэффициентов ф д[й),,ропорцнональиа величине рд Дли расчета альтернативного предеавленнв (12.25) спектральной МД-оценки в требуемом диапззае частот можно далее применить какой-либо быстрый алгоритэ преобразования фурье, например БПФ, нривеленный в прилоленни 2.А. В вычислительном атнапгении такой подход эффсктпнее прямого вычис.чеппя спектральной МД-оценки па исходкойформуле (!2.10), которое требует р' операций дли обращення ~атриды В» и и' операций лля расчета значения этой оценки накаждой частоте. 32.3.
Реализации метода спектральной оценим па минимуму дисперсии Н, пболее эффективн*н реализация метода спптральной МД- оценки состоит из следующих этапов: „[!] Т,=. ( (а [р — 1] аа(д] О а' [д] л' и', 32] а,' [1] 0 0 0 0 (! 2.22) 1 0 а [[! 0 0 (32.23) О ( 427 8-и -со ОО ОГ О ОЕ Ос $0 ч 41.6. Приношении к числим еояиичиых наган На рис. 12 3 показана спектральная сценка, аычнслнная по зна. гевиич СПМ, которые бы.г! получены п цоследвательности фильтровзннмх солнечных пятен с помощью пцпрограммы М)Н[7АРС Использовалось аначение порядка р=32, равнения со значениями порядка автарегресснонных спектралыых оцеаок, приведенных в гл. 8.
Двум наибольшим пикам соотвествуют значения 0,0938 цикле нз год (10,57 гада на цикл) в 1.1870 цикла нэ гад (5,35 года на цикл) Литература (1) Вот ! и 1 е Апа!уьс 1 бшй ь 1 те ь Мп ь $в в:ы р ! н в Н(аыи ь («ьап Шэ егвшЬО зр Ыв 5ре с( Й ра! Н 9 рг р й Ьу 1ех э! ь(гнв Вь,) с Ь $Ье Айчапс й Йюеа Ь Рв!ы! Аа псу п й с гггь ! Р33657.68 С.0867, Мау !969 О ° вычислить н основе лан.
ныл послепвательнасть '-ю оценок автооррелвции; н ° решить уран ения Юла— Уа.гкера дляАР-параметроа с пома!ью алгоритч:я Левинсоы; ° определить корреляцию Ар.параметре для по. л>чения коффициентав фмд[Ь); нспшьзовать вы ражение ((Л5)1 Ри . !2.3 С ыгр ьнэя мд.онеьнь ° вычислит~ пектральную МД-оценку ! требуемог частотном диапазоне, используя выражение (1224) и алгоритм ЬПФ. На практике нескаьк! лучше в в «ычислпелыю» о во!пеппи речулшаты»ошо полу*шть, заменяя первые лвя этапа любой пз процедр определе. ния АР.параметров, описанных в гл. 8 Так,$апрнмер, иь можно заменить следующим этапам.
° вычислить АР-коэффициенты с поыощью алга нтма Берга Использование алгоритма Берга неявно подразумеает, что автокарреляциовные функции получают из теплипевб матрицы В приложении 12 А приведена подпрограмма М)НТАЙ, предназначенная для вычисления спектралгшой МД-оцени по набору отсчетов комплексных данных. В этой падпрограммевместо двух приведенных выше этапов используется алгоритм Бога. [2) Ввй).Р.1ьен мно сырье( о ма:шпш е ! Руане мамша гьц. Щаой'бр.ы О орЬунсь ° 1 Зт, рр, 373-376. Ар.( Втз [3) сара» 1. н еь-Йюо(пнап ! чып у-шаче ь«ьры!пн Апа1уь( . Рве.
!ЕВЕ, ю! 57, рр. 1406-Ы18. Апяпэ! 1969. [Имеет я руыкнв ереюд: Кей и Дв. Про ран р а Р азрешю мм ТИЙЭР, Юбр. ° 37, М 8, 89 — 79.) [4) Сопж 7 Мэягвпв-Ь([скь и бре 1в( Ь пвасюп СЬ р! г б 1 Но Ьпеаг Мешойьо( зр с! (Апь(умь,2 й м$,5 ЙауЬп, ей., зр вм-»егия, Нем У гц(963 й«гоп А! Й Р ЯЬ 3!у Ш ! Ьнп г 1О Рг ЧыпсуЦ% ОпЬег 5р !па. Ргос. (ЕЕЕ, с) 58, рр. !785 — !786, О шь г ш70, с ра с м ы 59 р. 1!2,1юы у шг! [им ет я ру ° скиэ ыр д кгй О д .
Гуам я и. Рьспред авве рояги тн ы ок простраи нио Ре ы г сп я р ТИИЭР, !970 . 68, М 11, . 82— )Ь) Сы и Й ь Йгпк Р е эпй зеп[Ш йу (о М(ьвс! В о( Ор(в в (1.(пе) Ап у Р ысьОгь 1. Ас и бос А п, чы, 54, рр. 77! — 7ВЬ, 1973. [7) 1. г и 7 Оа! Ай рвче бры(га) А а!уи Мещ йэ Ое РЬуь!Оэ, [8) Си 31.А, О ЛЛ Мы 8Тгызр с! (пепщу(о МЬГП(егь. Р«спи. О(Не!984(СЕЕ(В в !юла'. С (ыспс он А и !ы,5рэесь, ° й зван(ярого е.мош баа О 2 . С.)п, рр !энай — 14.ШЛ, МэгсЬ ШЗ4.' [9! М в Нс 7 С. А Нем !В.рг Ь!ю го- Сараи!О Ма Ов Евсин й м (вой о( ргюп псу-(уа! ы 5ресг (рльвэпоп (еее1впь.Ас ы$. 5 сЬ Я ! Рысеьь., 1 '55Р-31, рр. 445 — 449, Ар Ц 1983.
НМ М эен '7. С, 1. я 5. М Нс )ЬЬ рв(Ы ° (о. (Ь* МЬМ апй ОА58 зрс !са( ем выо ь Р ы йгпиь о1 в $983 (еее (пь па(юпа) св (е. епс ы А ыцсь, 5р ОЬ, апй Яд 1 Ргоссэвпя. В эып, Маы, рр 844— (Н) М ыи Т Ь, Ьс я 5 В' Ро т 5ремсь( О йу Ваппйэ. (ЕЕЕ Твгл. (п(о в ТЬю у, чв.)Т.ЗО, рр Н7 — 122,)э р у Ш84 (12) М О ао Ка Й и Арр(м (г 1 (Ь М 'нппв-Ьце)шоай Мещой ьпй Ве Маюшн .Еп(гору Мсн й Ь Ап у Р ыьыпв. СЬ р( 6 гп Ноп1ммп М (ьойэ 1 5рыгг 1 А 1умя, 2пй ей. 5 Науйв ей, зрппбег.пе )эи.
Ь Уогь, 1983 Р31 мыва В Ры! мьм Р г бресг, еьь а1ьп 1 в Оливы(у 5р с й Соггеиию . !ЕЕЕ Т п. Асоньг бр Ф 5(бпэ( Рпм ьь. чо( А53р.зз, рр !333 — !335, Ос(аЬ г !98Ь. Задачи 2 Ло 1 ! Р р (Р 0 Рьгд (П !) !ми (Р !')! 3. 3 нен т ыэпро рь у ТОЬЕШАЬКЕЙ ь про р е М(Н»АЙ ппрогран- 4 Й по ь у алн чо рэ синь (12 12) «оррег ы ной последа. скы ф р е ре е .: р ю н я (!28). Ореаеляввс оэффыне и Гю 12 479 ф л рв м вмвл ной дн ер и Выч р т часта ную х р тер кку зтог ф пьера л случ яр 1О Обре вн зн снабжаю е.
м и Ка к в совугсобрабюку с еду р мена ь авт каррь ы й вмаед ват аюа тналпал в.енаябо о, »л пж ам Приложеиие 12.Д. Программа рщ вычисления спектральной оцепим мппммапьвог днсперспм Эта подпрогамма реализует ал!орнтм вычисления спектральноп оценки мпнжальной дисперсии, описанный н рвзд. 12.5.
Пр! обработке тот-последовательности данныи, приведенной в лри поженян 11, помощью подпрограммы М)МУДК в случае %=04 (Р=-15 и Т=1,0 с получаются следующие значения спектраль. иой плотиосп мощности: Р500 01705245 — Об, Р50(5000) 04!5217Š— 02; Р50(000) О 1012!БŠ— 01, РБО(4909) О 125422Š— Об, РБОДИЮ) '01%209Š— 02, Р501409б) Огб9755Š— 05 Падпр МРЛЬАК (М,)Р,Т,Х,РБО,!БТАТ) С С Прел . д .
р й к льнов дгквер- С ски юю пр щдуры Музыку . Л. апе иванн зв орегрессаонн С ра р юолыуюса авгарю Бер а. С С Влад ме еааметры; С С М вЂ” чнс о ото е двн мх С (Р— р* вр оррелянионюй мзтриеы (каралон АР- але я С х — «мт в нам г «ожгла а котх(1) д х(м). С Вы одиме р рм С р ой С мама С !БТАТ вЂ” указ л асса нни С С Пр зе С С Размер )Е. М в е и масси в Х раз ер .ОЕ. МР5О мас ва Р50 позли«укв с взывающей ярогр м е. Размер ее%раннего с мас ию ч л, уюэмва ! в Се (Р— 1, размеры м ш а Рю С и % д ук а !ься в СЕ Крап Мсп лыуенме вас ни о днр .
С рзымюВОКО (смз прило ен е ББ1, РКЕТРТ и РРТ ( м пр лаже- С ние 2.В) РАКАМТЕК МР50 4095 ! Чнюо з !юий РБО (юлжно быть сы. пен ю чпс1з 2) СОМР). Х ХП),А(50),РБ)(ВР5О),%(ВРБО),5ОМ КЕА1. РО(!) М-1Р— САЫ. ВОКО (К,МХ,Р,А.157АТ) ! Ь "с с Аю . 'зфф П (!5ТАТ ИЕ О) Кп!ОКМ ОО )О К-М,1,— 1 !Е А(КФ()-А(К) А(Ц-(1,0 ! ОО ЗО К='О,М БОМ=(О,О) мк-мф) -к С В с,.ю . карре, аю в ар грез ниик! раметров ОО '-'О 1 О,М вЂ” К йа БОМ-БЬМЧ-РЬОАТ(мк — 2 О ЮМ)О(А(гф1)) 'А(!Ф(фк) 1 (122Ц БОМ ЫО!гр 1Р (К.МЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
