Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 42
Текст из файла (страница 42)
не совпадающими с бинами ДПФ, и белого шума. Для эффективных в этом случае оконных функций 18.21 справедливо соотношение (см. табл. 8.1) 0,04 е« 5 ( 0,055. (8.12) 5. Кагерентное усиление оконной функции с Х отсчетами выражается фор- мулой Х Р- гпах ~ Р~ ( е' )1 В табл. 8.1 приведены значения кагерентнога усиления, определяемого как Кк 11ш Ккж ° (8.13) Х-~ »о Величина Кк характеризует относительное усиление гармонического сигнала, частота которого совпадает с одной из частот базисного множества ДПФ. 6. Максимальный уровень Ме боковых лепестков модуля Фурье-преобразования оконной функции, измеренный в децибелах по отношению к уровню главного лепестка (см.
рис. 8.4), и асимптотическая скорость Уе спада боковых лепестков, измеренная в децибелах на октаву, характеризуют степень «просачивания» «лишних» спектральных составляющих, соотвсгствующих боковым лепесткам. Чем меньше Ме и выше Уе при одинаковых максимальных уровнях, тем меньше «про- а2 а.7 г сачивание» лишних спектральных составляющих. Рис. 8,8 225 7.
Паразитная амплитудная модуляция А (см. табл. 8.1) характеризует относительную амплитуду гармонического сигнала после обработки с помощью оконной функции и вычисления ДПФ в самом неблагоприятном случае — когда частота этого сигнала находится точно посредине между базисными частотами ЛПФ (рис.
8.5). Величина А, измеряемая в децибслах, определяется как Ап =201п[!Р( ес ы' )с/шах ~Р( е' " )1[, где сзс=нсс(Л'Т). 8.2.3. Принципы выбора оконной функции Выбор оконной функции определяется двумя факторами: характером решаемой задачи; требованиями к характеру используемых вычислительных средств и допустимому времени решессия задачи. Ниже в соответствии с характером решаемой задачи рассматриваются лишь .некоторые примеры выбора оконной функции из числа приведенных в табл. 8.1. Лрииер 8.5.
Пусть обрабатываемая последовательность ( 2п с т~=2Ад ь Й л-сж), =О,1,..., у — 1, ЫТ где А» и ср» — неизвестные заранее амплитуды и фазы гармонических состав- ляющих; я — неизвестные заранее целые числа, определяющиечастотыгармони- ческих составляющих, совпадающих с бинами ДПФ. В данном случае для оп- ределения А» и ф» достаточно использовать прямоугольную оконную функцию.
Вычисление А» и ср» выполняется согласно (8.2), причем А» = ~ Х (й) /; ср~с =. агя [Х (1гИ и нет необходимости в усреднении в соответствии с (8.5). 17рсснер 8.б. Пусть обрабатываемая последовательность х, (и Т) = х (пТ) + с1 (п Т), где х(пТ) определена в примере 8.5; е(пТ) — последовательность отсчетов бе- лого шума. В данном случае для определения неизвестных величин А» и ~р» (или А'») целесообразно обработать последовательность оконной функцией, которой со- ответствует наименьшее значение ЬРвс, т.
е. прямоугольной оконной функцией, и произвести усреднение в соответствии с (8.5). Пример 8.7. Пусть обрабатываемая последовательность представляет собой сумму двух гармонических сигналсв с неизвестными заранее частотами и фа- зами: х, (пТ) =Асзбп(псв,Т+ срт)+А,з1п(п н~ Т+ ср,), где сассч.сас<сасз; сон(св~вссяьп сосс, шсм им„со~~ — заданные частоты; сазс>са„,. Требуется определить саь сзз и А'с, Ази причем заранее известно, что Азс=А'н В -да»сном случае для обработки можно использовать прямоугольную оконную функцию. Полагая в (8.1) Л~= (шы ш»»)Д2н) и К»=ЛР~» [см. (8.10) и табл, 8.11, можно определить интервал наблюдения 9, а по известному значению Т вЂ” число обрабатываемых отсчетов Х При вычислении спектра в соответствии с (8.2) и (8.3) для я=0, 1, ..., У вЂ” 1 может иметь место неопределенность [681, т.
е. принятие решения оказывается невозможным из-за наличия нескольких одинаковых значений 1(й). Для того чтобы исключить неопределенность, необходимо к последовательности х,(пТ) добавить Лс(2' — 1) нулевых отсчета,и использовать для вычислений Х(я) формулу (8А). При этом сначала принимается 1=1, т, е. добавляется Лс' нулевых отсчетов и вычисляются 1(1с). 226 8.3. МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО Ам[АЛИЗА„ОСНОВАННЫЕ НА ЛИНЕЙНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ 8.3.1. Лииегиые модели и расчет СИМ Многие последовательности х(пТ), представляющие собой сумму детерминированных и случайных последовательностей, могут быть достаточно хорошо аппрокснмированы выходным сигналом у(пТ) линейного дискретного фильтра, описываемого разностным ураинепием [см. (2.1)]: Ю Я~ у (пТ) = — »' а/ у ((п — /) Т) -+ 'У ' Ьк и ((и — /) Т), (8,15) /=1 1=о где о(иТ) — выбранный входной сигнал.
Модель, описываемую (8.15), пазывшот ЛРСС-моделью (моделью процесса авторегрессии со скользящим средним). Как правило, в задачах спектрального анализа сигнал о(пТ) представляет собой отсчеты белого шума с нулевым средним значением н дисперсией о'. Если коэффициенты а; и Ь~ определены так, что достаточно точно выполняется равенство у(пТ)жх(пТ) прн п=0,1,..., то СПМ Я(о») можно рассчитать следующим образом: (8,18) ~ (ш) = о' [Ва (а»)/С' (в) ], (8.17) /// 2, где В(ш) = ~7 ~~» Ь» соз1о»Т ] + ~ ~~ Ь| з1п/о»Т »»=-а ~ а '(~)=]/ [~ — У'"'1 т) ~ );щ ю 1 г], ю~ ~ 1т /=-~ ~.
/.=~ 227 Если неопределенность сохраняется, то принимается 1=2 и т. д. до тех пор, пока не устраняется неопределенность, мешающая принятию решения. 11оскольку обрабатываемая последовательность не содержит шумовой составляющей, нецелесообразно проводить усреднение в соответствии с (8.5), Пример 8.8. Пусть обрабатываемая последовательность такая же, как в примере 8.7. Требуется определить шь ь»з и А'ь А~а причем заранее известно, что А~))А~, и 201д(Л,/Л,) )Мо где М»= — 40 дБ.
В данном случае для обработки необходимо использовать оконную функцию, у которой максимальный уровень боковых лепестков Ма удовлетворяет условию Мз (М» — Ма, где М,>0 — запас по уровню боковых лепесткоз в децибелах. Запас М, необходим ввиду того, что в» и вз не обязательно кратны бинам ДПФ (см. пример 8,7), Как правило, принимают М~=7 ... 10 дБ [8.2].
Пусть М.= — 40 дБ; М2=10 дБ. Тогда по данным табл. 8.1 следует выбрать оконную функцию среди тех функций, для которых Мб.= — 50дБ. Критерий, позволяющий однозначно определить оконную функцию, формулируется следующим образом; среди всех функций, удовлетворяющих условию Ма~. < — 50 дБ, следует выбрать ту, для которой Ко — — Ау,б имеет наименьшее значение [см. (8.1) и (8.10)] — последнее обеспечивает наименьший интервал наблюдения 8 при заданлой разрешающей способности А/.
По данным табл. 8.1 оказывается ныбранпой оконная функция Кайзера — Бесселя с параметром а= =2,5 и К,=АР„6=2,2. Так же, как в примере (8.7), определяются А/= =(а»м — ь»ы)/(2»т), а затем с помощью (8.1) — 6 и Х Неопределенность, которая может иметь место при вычислении /(й) в соответствии с (8.3), исключается введением дополнительных нулевых отсчетов [см. пример 8.7 и формулу (8.4)]. Поскольку обрабатываемая последозательность не содержит глумовой состазляющей, нецелесообразно усреднение в соответствии с (8.5). Если в (8.15) а;=0 при Е'=1,2, ..., Я, то соответствующая модель о1 у(аТ) = ~~1 Ье о((а — Е) Т) (8.18) е=о называется СС-моделью (моделью процесса скользящего среднего), или чисто нулевой моделью, поскольку передаточная функция соответствующего дискретного фильтра имеет лишь нули, т.
е. фильтр является нерекурсивным. При выполнении (8.16) для вычисления СПМ о(сэ) можно использовать (8.17), положив С(со) =1. Если в (8.15) Б0=1 и Ь~=О при Е)0, то соответствующая модель 8.3.2. Определение параметров АР-модели по известной автокорреляционной функции последовательности Если известна автокорреляционная функция Р(т) анализируемой стационарной последовательности х(пТ), то для точного равенства у(пТ) =х(пТ) при а=О, 1, ...
достаточно, чтобы параметры АР-модели — коэффициенты аь аа, ... ...,ао и дисперсия аз — удовлетворяли линейным уравнениям Юла — уокера 16.81: Я вЂ” '~~,ауй(т — Е) при т) 0; Е=1 Я вЂ” ~' ауР ( — Е) 4 — оз прн т=-О ° Е=! Я(т) = (8.20) Выбирая Я+1 уравнение из (8.20), можно получить систему линейных алгебра- ических уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений: 0 (8.21) о Решение системы (8.21) позволяет определить значения параметров модели, обеспечивающие выполнение приближенного равенства (8.16).
Поскольку матри- 228 е у (аТ) = — ~~~, ау у ((п — Е) Т) + о (и Т) (8.19) Е=1 называется АР-моделью (моделью процесса авторегрессин), нли чисто полюспой моделью. Для этой модели при выполнении (8.16) для вычисления СПМ о(а) можно использовать (8.17), положив В(а) =1. Принципиально все три модели применимы в одинаковон степени, поскольку существует теорема декомпозиции 16.81, утверждающая, что стационарный процесс с конечной дисперсией, описываемый с помощью одной модели, можно представить любой нз двух других моделей достаточно большого порядка. Для АР-модели процесс вычисления параметров модели оказывается наиболее простым — он сводится к решению тем нли иным способом систем линейных алгебраических уравнений.
Поэтому ниже рассматривается определение параметров только АР-модели прн различных условиях. (8.22) 1 = 1,2,..., 1~ 1; где ае 1 — величина, комплексно-сопряженная с ае ь Алгоритм Левинсона имеет следующие преимущества по сравнению с иными методами решения системы (8.21): 1. Поскольку параметры вычисляются по рекуррентным формулам (8.22), до определения параметров АР-модели порядка Я рассчитываются параметры АР-моделей более низких порядков. Это обстоятельство весьма существенно в тех случаях, когда заранее значение Я неизвестно.
2. В ходе вычислений легко контролировать необходимое и достаточное условие устойчивости АР-модели порядка Я: аы(1, 1=1,2,..., Я. (8.23) 3. Для параметров АР-модели порядка Я с помощью алгоритма Левинсона требуется выполнить примерно Я» арифметических операций, в то время как при решении системы (8.21) методом Гаусса необходимо выполнить примерно Яа арифметических операций. 8.3.3. Определение параметров АР-модели по анализируемым данным Часто прн спектральном анализе значения автокорреляционнай фуькции неизвестны. В этом случае определение параметров АР-модели необходимо выполнить, располагая лишь отсчетами х(пТ) анализируемого процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
