Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 27
Текст из файла (страница 27)
5.2,а — ж приведены характеристики затухания а(11) соответствующих фильтров с обозначениями, используемыми в [5.11, где Ла — верхняя граница рабочего затухания в полосе пропускания, а ૠ†гарантированн затухание в полосе задерживания. Очевидно, что Ь а = — 20 1я (1 — Ь Ап); а«= — 201я А Аз. (5.1') (5.1") 5.1.8. Билинейное преобразование Н (г) = т (я)! 1 (5.3) 1+« Каждой точке комплексной з-плоскости (з=Е +19) ставится в соответствие определенная точка г-плоскости (г=ехр((о+1Й)Т)). Мнимая ось е-плоскости (з=!И для — сс(Я(о») отображается в единичную окружность г-плоскости (г=ехр(юТ)).
Левая половина з-плоскости (Ке(з) (О) отображается в часть г-плоскости внутри единичного круга (1г~ (1), т. е. устойчивый аналоговый фильтр приводит к устойчивому линейному рекурсивному фильтру. Соотношение между «аналоговыми» частотами (г и «цифровыми» частотами в определяется уравнением й= у 1д (ге 7~'2) =21ддш, (5А) где в=«е/вд — нормированная «цифровая» частота. На рис. 5.3 показана зависимость (5.4) для случая у=1. Для частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, полосовых, режекторных), аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной функции, нелинейная (но монотонная) зависимость (5.4) между частотами Я и го ие приводит к нарушению избирательных свойств фильтра при преобразовании (5.3). Пример 5.1.
Пусть заданы требования к АЧХ цифрового ФНЧ: неравномерность АЧХ в полосе пропускаиия ААд, отклонение от нуля в полосе задерживания АА„а также граничные нормированные частоты полос пропу~каиия ш,,д и задержнвания ге «(рис. 5.4). Используя нелинейное соотношение $88 Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек з-плоскости в точки г-плоскости и использует замену переменной вида 1 — г — 1 г — 1 »7 =7 1+г г+ 1 (5.2) где у — постоянный множитель, значение которого не меняет форму преобразования (о выборе величины у см. 5.1.4). Использование (5.2) обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Т(з) аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа) в передаточную функцию Н(г) рекурсивного цифрового фильтра: (54), определяем соответствующие граничные частоты полосы пропускания Р« потосы задерживания й„аналогового фильтра (см.
рис. 5.4). Если теперь опред еделить передаточную функцию Т(з) аналогового фильтра-прототипа с неравно. иомерностью АЧХ в полосе пропускання 10, Р.,], равно ЛА«, и отклонением л от нуля в полосе задерживания гс1», ао], Равным ЬА„а затем выполнить билинейное преобразование (5,3), иолучнм РЦФ, удовлетворяющий поставленным требованиям. На рис. 5А хорошо видна деформация амплитудно-частотной характеристики РЦФ вдоль частотной оси (особенно в полосе задержнвания) .
ЫЯ1 1 1-ЛА„ЛА, у ! 11(г'г™',1 1-ЛА. Рис. БЗ Выбор параметра у = с15 (в„Т~'2) = с15 и щ (5.5) приводит к нормированному АФ-прототипу (1г,=1), что удобно при использовании справочников по аналоговым фильтрам. 5.1.4. Обобщенное билинейное преобразование Обобщенное билинейное преобразование 11.6, 2.3] обеспечивает преобразование передаточной функции Т(з) нормированного АФ-прототипа (Р,=1) в передаточную функцию Н(г) рекурсивного цифрового фильтра определенного вида (ФНЧ, ФВЧ, полосового, режекторного). Формулы соответствующих преобразований приведены в табл.
5.1. На рнс. 5.5 и 5.6 приведены соответственно схемы допусков на АЧХ А(и) и затухание а(ю) фильтров нижних частот (а), верхних частот (б), полосовых (в) и режекторных (г). Пример 5.2. Рассчитаем параметры преобразования и граничные «аналоговые» частоты нормированного АФ-прототипа нижних частот (й«= 1) для четырех видов РЦФ, приведенных в табл. 5.1 (при конкретных значениях гра"ичных «цифровых» частот). Результаты расчета приведены в табл. 5.2, которую следует рассматривать вместе с рис.
5.6. 5.1.5. Определение передаточной функции цифрового ФНИ (ФВЧ) по справочнину 15.Ц Постановка задачи.. Определить передаточную функцию цифрового ФНЧ (ФВЧ) заданного типа (В, Т, Т, С). Исходные данные: частота дискретизации (д, граничная частота полосы про"ускания ~с«; граничная частота полосы задерживания 1.в, 'верхняя граница !! в ! а Й 11 й а 4 оа а ~ С Л а х .а х ,О о и Ю 63 х С Р' х Ф ФИ юа ао о Ы а М а й х а' "о х а \ Ф ае Ю Ь !! Я ! ! х о ° ~ ! + ~ ! "с х С, 1" ' ч х Й ! Ы О СС о о 149 цифровой филвтр Параметр тнг,и = 0,125; ~г.2 = 0,375 7=2,41 Нижних частот Йк=5.82 таг. п = 0,375; 222г.з = 0,125 'у 2,41 Верхних частот Полосовой Режекторный !«'г. и а) а) Ла гГг. з 5,1 згг п 5,5 2«гг.
з ЧГг. и 55 4 ОГгпг '~гав гз! гп! К-пх 'й аа 55 6 Н~г.з! 'е'г.п! ар 22~го! !«ггз! ' нггзз ~гггпа УХ г~ г3 Рис. 5.5 Рис. 5.5 141 А1иг1 1 ИАп А1зз1 1 1-ААп АМ! 1 1ыАп А 1иг1 1 1'1Ап Граничные «цифровые» частоты Ыг.»2=0,05; тот.па=0,1„' ~г из=0,2; тнг.»2=0,4 Иг.пт=0,05; тог.зг = 0,1; знг.аз = 0,2; гнг 2=04 7=3,08; а=0,618 7=1,96; а=0,346 Таблида 5.2 Граничные «анало- говые» частоты 11'к = — 3,32; О =3,32 Й'к - — 2,48; Г1п =50,3; Йк-2,48 рабочего затухания в полосе пропускаиия Ла; гарантированное затухание в полосе задерживания ам Алгоритм определения передаточной функции.
Алгоритм включает следующие этапы: 1. Расчет нормированных «цифровых» граничных частот шг.п=[г.п![д и гигл [г з1~ д. 2. Расчет параметра преобразования у (см. табл. 5.1 и пример 5.2). 3. Нахождение граничной аналоговой частоты Рд полосы задсрживания АФ-прототипа (см. табл. 5.1 и пример 5.2).
4. Определение передаточной функции АФ-прототипа нижних частот требуемого типа (В, Т, 1 или С): а) определение модуля коэффициента отражения ~р~ (см. [5.1], табл. 3, с. 23) по заданной верхней границе рабочего затухания Ла в полосе пропускания; б) определение порядка фильтра по номограммам '[5,1] (поясисиия к использованию номограмм приведены в [5.1], с. 23), при этом вначале находится вспомогательный параметр Ь по общей номограмме ([5.1], рис. 2.21, с. 408), а затем порядок фильтра п по полученным значениям 7, и Р„; в) запись передаточной функции Т(з) АФ данного типа и порядка в общем виде; г) определение численных значений коэффициентов передаточной функции с учетом модуля коэффициента отражения ~р( по таблицам, приведенным в [5.1„ с.
44 — 387]; д) запись передаточной функции Т(з) АФ с численными значениями коэффициентов. 5. Определение передаточной функции О(з) цифрового ФНЧ (ФВЧ) с помощью билинейного преобразования (см. табл. 5.1). 6. Контрольный расчет АЧХ (затухания) полученного ЦФ. Прил~ар 5.3. Найти передаточную функцию цифрового ФНЧ с монотонно убывающей АЧХ (типа В). Параметры фильтра: [д — — 8 кГц; 1, д=1 кГц; 1~.,= =3 кГц; Ла=1,4 дБ; а~=40 дБ. Определяем: 1 ы =1,10з/(8.10з) 0,125 и гз,,=З 10з/(8 10з) =0,375. 2. у=с1п л 0,125=2,414214 (см.
табл, 5.1). 3. Р„.=2414214 1п п0,375=582 (см. табл. 5.1). 4. Передаточную функцию АФ типа В: а) модуль коэффициента отражения (см. [5.1], табл. 3). Для Ла=1,4 дБ следует выбрать ~р~ =50о~з, что соответствует Ла":=1,25 дБ (дальнейшая работа по справочнику ведется с величиной Ла'); б) порядок фильтра л, для чего по номограмме ([5.1], рис. 2.21) для Ла":= =1,25 дБ (~р) =50%) и ао — — 40 дБ находим вспомогательный параметр =9,5 10-', а затем по номограмме ([5.1], рис. 2.2) для Од=5,82 и =9,5 10-' находим, что и=З; в) общий вид Т(з) ([5.1], с. 58): 1 1 1 Т (з) Я (з) с (з — ап) 1зз 2 а, з + ( а, + Ь',)] г) коэффициенты Т(з) ([5.1], с.
57, таблица для фильтров В03): =0,577350; аа= — 1,200937; а~= — 0,600468; аз=1,040042; д) передаточную функцию 1 Т (з) = 1,732052 (з+ 1,200937) (зз+ 1,200936 з+ 1,442249) 142 5, Передаточную функцию Н(г), используя подстановку (см. табл. 5.1) 1 — г 1 1 — г' 1+а х ' 1+г — 1 з-~у — = 2,414214 1 Н (г) = 1,732052 1 — г у + 1,200937 ) ! уз + 1,200936 Х , + , , ° (, + , 1)з '1 1+г — ' -а 1,732052 Х ! — г — 1 3,615151 — 1,213278 г Ху — + 1,442249 ) + (1+ г — 1)з Х 10,169994 — 8,772360г 1+4,371362г г 6. Амплитудно-частотная характеристика А (ю) цифрового ФНЧ приведена на рис.
5.7 (кривая 1). Пример 5.4. Найти передаточную функцию цифрового ФВЧ с монотон- - Ам,дз но возрастающей АЧХ (тнпа В). Па- е раметры фильтра: /„=8 кГц; =1 кГц; /, =3 кГц; Ла=1,4 дБ; аа= -и 2 =40 дБ. Определяем: 1. зиа.п = 3 !0'/(8.10') = 0,375 н ю,,=1 10'/(8.10') =0,125. 2. у = 1я и 0,375 = 2,414214 (см. табл. 5.1). 3. 11„= 2,414214 с(д 11 0,125=5,82 (см. табл.
5.1). 4. Передаточную функцию Т(з), 1 з которая имеет тот же вид, что и 41гг ~рег йггк 41;~ в примере 5.3, поскольку значения Ла, аа, у и Йа в данных примерах совпадают: Рис. 5.7 1 (з+ 1,20093?) (зг+ 1,200936 з+ 1,442249) Порядок определения Т(з) см. в примере 5.3., 1 г — 1 5. Передаточную фужцню ЦФ, используя подстановку з-а-у — : 1+г — 1 ' 1 — г 1 — 2г — 1+г — з Н (г) = 0,04711 1+0,335609 г — ' 1+0,862573г 1+0,429829г — г 6. Амплитудно-частотная характеристика А(зи) цифрового ФВЧ приведена на рис.
5.7 (кривая 2). Пример 5.5. Найти передаточную функцию цифрового ФНЧ с ЛЧХ, равно- волновой в полосах пропускания и задерживания (фильтр типа С). Параметры фильтра: /1=32 кГц; /г.п=б кГц; /а.а=8,8 кГц; Ли=1,5 дБ; аа — — 30 дБ. Определяем: 6,101/(32.10з) 01875 и и1ка=8,8 1Оз/(32.10з) 0275 2. у=с(пи 0„1875='1,496606 (см. табл. 5.Ц. 3. 11=1,496606!я зт 0,275=1,752300 (см.
табл. 5.Ц. 4 Передаточную функцию Т(з): ') [р) =50'/о (см. [5.Ц, табл. 3); Лаз=1,25 дБ; б) 7.=1,7 10 ' (см, [5.Ц, рис. 22Ц и п=З (см. [5.Ц, рис. 2.16); в) общий вид передаточной функции ([5.Ц, с. 58) ИЗ 1 1 з2+ Я~ Т (з) В(з) с (зт — 2а е-[-(а'-(-5')) г) коэффициенты Т(з) ([5.!1, с. 77, таблица для фильтров СОЗ с 11аж = 1.74): с=7,733830; а0= — 0,510162; а, = — 0,190430; 5,=0,971581, Р =1,966001; д) передаточную функцию аз+ 3,865161 Т (з) = О, 129302 (з+ 0,510162) (за+ 0,380860 з+ 0,980233) 5. Передаточную функцию ЦФ, используя подстановку ! г — т е~- 1,496606 — , 1+ г-' ХТ (г) = 0,129302 2,006768 †,986444 г 6,! 04990+ 3,250664 г — т+ 6,! 04990 г — г 3,790059 в 2,519184 г-' + 2,650065 г 1 +г — 1 1+ 0,532460 г-т+ г-а = 0,103788 1 — 0,491558 г 1 1 — 0,664682 г — т+ 0,699215г — г б.
Амплитудно-частотная характеристика А (и) цифрового ФНЧ приведена ча рис. 5.7 (кривая 3). 5.1.6. Определение передаточнои 'функции цифрового полосового (режекторного) фильтра по справочнику [5.Ц Постановка задачи. Определить передаточную функцию цифрового полосово. го (режекторного) фильтра с АЧХ заданного типа (В, Т, /, С). Исходные данные: частота дискретизации /л, граничные частоты /,, ь /,,т, /г.з ь /взд (см, рис. 5.6); верхняя граница рабочего затухания в полосе пропус- кання Ла; гарантированное затухание в йолосе задерживания а,. Алгоритм определения передаточной функции //(г). Алгоритм определения Н(г) для полосового (режекторного) фильтра почти полностью совпадает с соответствующим алгоритмом для ФНЧ (см. 5.1.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
