Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 24
Текст из файла (страница 24)
4.3.7. Решение аппроксимапионной задачи для амплитудно- фазового корректора по методу наименьших квадратов Амплитудно-фазовый корректор, т. е. фильтр, у которого АЧХ и ФЧХ близки к заданным функциям Аз(и) и фз(в), можно построить в виде нерекурсивлого фильтра, используя метод наименьших квадратов [4.31.
124 0 361345846. 10о 0,559327544 10о 0,218077829.10о — 0,356403466 1О-т — 0,100121651 10о — 0,599301846 ° 10 †— 0,178345217 10 †— 0,230!65022 10 — з — 0,120324751 10-' 0,385157132 !Оо 0'576508110.10о 0,184717808.10о — 0,755718326 10-1 — 0 100282529 !Оо — 0,236332!14 10 — 1 0,211268721 10 0,188939744.10 0,631090512 10 0,823166338 1О-о 0,390416447 10 ' 0,189554705 10' 0,388034893 !Оо 0,3955276!7.10о О,!44282330 10а — 0,923004871.10 з 0'101840731.10о — 0,496114741 ° 10-з 0,290167349 10 ' 0,106702259 1О-' При этом коэффициенты Ьо, Ьь ..., Ьп, определяются из условия минимума величины 0,5 О(Ь) = ] 11(ш) ~61(В)+ЙЯ (го)1ЫФ.
о Здесь М вЂ” 1 6, (ы) = А* (го) соз <р* (ш) — ~~ Ь| соз 12п со; 1=0 Л' — 1 6 з (ж) = А* (ш) 5 1п 1р* (го) + ~ Ь1 5 Ьа 1 2п ы, 1=0 где А*(в), 1р*(в) — заданные функции; д(гв) — весовая функция. Необходимые и достаточные условия минимума 6(Ь) — =О, 1=О, 1,..., У вЂ” 1, д О (Ь) д Ь1 представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ь,, Ьь...,Ьп 1 Ч вЂ” 1 0,5 Ь1 ] д (га) соз ((У вЂ” у) 2 и гп] г( и = 1=о о 0,5 = ) о (со) А~ (ш) соз (~р" (ш) + / 2 и 10] п10, 7' = О, 1,..., У вЂ” 1. о Решив эту систему на ЭВМ, можно определить коэффициенты нерекурсивиого фазового корректора.
В частном случае при д(в) =1 система может быть решена в обшем виде и коэффициенты определяются по формуле 0,5 Ь1 = 2 ] А" (ш) соз [1р* (ш) + 1 2 и в] д ш. о 4.3.8. Оценка погрешности аппроксимации Как правило, погрешностью аппроксимации АЧХ в тй полосе пропускания или задерживания фильтра с граничными частотами ам и азт называют величину е =гпах ]В ш — ]Н(е' )! ! (4.34) () при а; са(пз,.
Для наилучшей равномерной аппроксимации п1ах Л (ш, с)! 81 = пРИ Ягт ~ (сс Я~ Яз) о ("') где функция л(1п, с) определена в (4.27); величина шах]л(и, с) ! всегда известна после решения задачи аппроксимации; д(ю) =сопз1. Для иных методов аппроксимации значение в; рассчитывается на ЭВМ методом перебора значений функции ]В(го) — ]Н(емп")!! с шагом Лш на интервале [ап, ае;]. Максимально допустимое значение Лю, при котором в; еще рассчитывается достаточно точно, определяется выражением '14.10] Л ш = О, б/(1Б М), (4.Зб) где Ж вЂ” порядок фильтра.
125 4.3.9. Сравнение возможностей фильтров е линейной ФЧХ и минимально-фааовьхк фнлвтРов Избирательные минимально-фазовые нерекурсивные фильтры необходимо использовать тогда, когда фильтр должен иметь минимальное абсолютное значение ГВЗ на всех частотах в полосе пропускания фильтра. Требования такого типа накладываются, например, на фильтры трансмультиплексоров (см. гл. 9). В том случае, если требуется точно линейная ФЧХ, необходимо, разумеется, использовать фильтры с линейной ФЧХ. Если требования предъявляются лишь к АЧХ фильтра н фильтр не может быть равнополосным, то целесообразно использовать минимально-фазовый фильтр, поскольку он имеет лучшие реалнзационные характеристики (см.
2.2.4). При одинаковых требованиях к АЧХ значения Ьа и Уг оказываются примерно одинаковыми для фильтров обоих типов, а 1,О и У, оказываются примерно вдвое меньше для минимально-фазовых фильтров. Если фильтр может быть равнополосным, то при выборе минимально-фазового фильтра или равнополосного фильтра с линейной ФЧХ необходимо учесть следующее. При одинаковых требованиях к АЧХ значения Е~ и Ут оказываются примерно вдвое меньше для равнополосного фильтра, У, — примерно одинаковой для фильтров обоих типов, А,— примерно вдвое меньше для минимально-фазового фильтра. Приведенные выше общие правила сопоставления минимальна-фазовых фильтров и фильтров с линейной ФЧХ подтверждаются данными примеров 4.9 и 4.10.
При примерно одинаковых требованиях к АЧХ реализационные характеристики равнополосиого фильтра с й1= 15 (см. пример 4;9) имеют значения ьо — — 14, 1. =4 (коэффициент 0,5 не фиксируется в ПЗУ), Уг=4, У,=8, а реализационные характеристики минимально-фазового фильтра с У=9 (см. пример 4. О) †значен ь,=8,(,„=9, Уг=' 9, У,=З. Точные условия, приводящие к равнополосному фильтру, указаны в 4.2.3, Отметим, что при выполнении этих условий и метод разложения в ряд Фурье аппроксимируемой функции (см. пример 4.5), и метод наименьших квадратов (см пример 4.7), и метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации (см. ирнмеры 4.8 и 4.9) автоматически приводят к равнополосным фильтрам В некоторых случаях целесообразно изменять условия так, чтобы в итоге решения аппроксимационной задачи 'был определен равнополосный фильтр. Пусть, например, и,.
=0,14 и ш,,=0,35, т. е. ш„+м,,,~0,5, но требования к точности аппроксимации одинаковы в полосах пропускания и задерживання (для методов наименьших квадратов и наилучшей равномерной аппроксимации это означает, что д(м) =д(0,5 — пу), см. 4.2.3). В этом случае, безусловно, следует увеличить значение граничной частоты полосы пропускания и принять в',,,= =0,5 — м„,=О,!5: Порядок фильтра остается прежним, однако фильтр становится равнополосным и значения Еа, Уг и У, (см.
2.2А) уменьшаются примерно вдвое. Даже если условия, определяющие АЧХ синтезируемого фильтра, резко отличаются от требований, приводящих к равнополосиому фильтру, имеет смысл, преобразовав эти условия, синтезировать оба варианта фильтра и сопоставить нх реализационные характеристики. Пусть, например, в„, = 0,2125, го„,= =0,2875 и АЧХ А(и) должна удовлетворять условиям !1 — А(ж) ~(0,0428 прн О~и -м,, и (А(ш) (<00004 прн го,.,~и~05, т.
е. требования к точности аппроксимации в полосах иропускания н задерживания резко (примерно в 100 раз) отличаются друг от друга. Фильтр с линейной ФЧХ наименьшего по- ,. ядка У=33, АЧХ которого удовлетворяет сформулированным требованиям, бмл определен с помощью алгоритма Ремеза (см. 4.3А). Его реализационные :;.::-'характеристики (см. 2.2А) имеют значения 1.,=32, 1. =16, Ух=16„У,=З2. Единственный путь преобразования условий задачи с целью получения ран;".-.-нополосного фильтра состоит в увеличении требуемой точности аппроксимации в ."- полосе пропускания, т. е. во введении условия ~1 — А(ге) ~ =00004 прн 0(и« ш, з. Равнополосный-фильтр наименьшего порядка У=51 был определен с =-'.-помощью алгоритма Ремеза, причем его реализационные характеристики имеют :::.-значения 1.0 — — 50, А,=13, Ух=13, У,~=26.
В данном случае первый вариант '.-"., ':окажется, по-видимому предпочтительнее ввиду существенно меньшего значения -.=' Е,. В иных случаях разница в значениях 1., может оказаться малой и меньшие ':;;-'значения 1., Ут и У, сделают предпочтительной реализацию в виде равиополос,,::- ного фильтра. 4.3.10. Сравнение методов решении аппронсимационных задач Метод разложения в ряд Фурье аппрокснмируемой функции имеет следующие преимущества: а) ои проще остальных методов, поскольку для его реализации при определенном У требуется наименьший объем вычислений; б) если при некотором Ф точность аппроксимации оказывается недостаточ':ной, то можно увеличить порядок фильтра, рассчитав лишь дополнительные коэффициенты, причем ранее рассчитанные коэффициенты изменяют свои номера, по-прежнему являясь коэффициентами фильтра (см. пример 4.5, в котором рассчитаны фильтры с У=11 и У=15 — в качестве коэффициентов фильтра с К=15 используются все коэффициенты фильтра с %=11); в) это единственный метод, позволяющий получить аналитические выражения (формулы) для коэффициентов фильтра, что очень удобно при теоретических исследованиях его характеристик (см.
(4.23) и пример 4.5). Основной недостаток метода заключается в том, что точность аппроксимации оказывается низкой. Из сравнения данных табл. 4.2, 4.4 и 4.5 видна, что при одних и тех же значениях К максимальная погрешность аппроксимации в полосах пропускання и задерживания оказывается примерно в 40 раз больше, чем для метода наименьших квадратов, и примерно в 100 раз большей, чем для метода наилучшей равномерной аппроксимации. Метод разложения аппроксимнруемой функции в ряд Фурье целесообразно использовать тогда, когда порядок проектируемого фильтра настолько велик (й1=5000...
10000), что невозможно применить иные методы аппроксимаций. Фильтры такого высокого порядка представляют собой почти идеальные избира- тельные фильтры, которые используются при моделировании сложных систем на . ЭВМ. Основное преимушество метода наименьших квадратов по сравнению с иными методами состоит в возможности учета дополнительных ограничений на коэффициенты фильтра, имеющих характер. линейных неравенств или равенств (см. 12.1!]), а также в возможности построения сложной целевой функции, минимум которой соответствует искомому решению (см. 43.7, -функция б(Ь)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
