Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В этом случае функция должна быть даопределена на промежуточных интервалах так, чтобы в целом получилась непрерывная функция на замкнутом интервале, включающем все заданные интервалы. Все точки альтернанса должны располагаться только на заданных интервалах. 17 ример 4.8. Пусть -( 1 прн О~ш~0,10б3; В(ш) = 0 при 0,3937(ш(0,5; 120 11 при 0<в<0,1063; ч(в) = ' ~ 1 при 0,3937<и<0,5; з Ф, (в, с) = ~ с1 соз 12 л в.
ю=о1 Тогда коэффициенты функции наилучшего равномерного приближения имеют значения: аз=0,4999999; с1=0,5986008; се=0,0000000; сз= — 0,1188343; с~ —— =0,0000000; сз=0,0207811 йри следующих точках альтернанса: ы,=0,05122201, ар=0,0908867; из=0,1062999; и~=0,3937000; из=0,4091255; газ=0,4487495; ю7= =0,5000000 и Ь(юь с) = — 0,0005476. На рис. 4.6 показаны графики В(ы) и Фз(ю, с). Как правило, аналитически функцию наилучшего равномерного приближения определить невозможно.
Одним из наиболее эффективных методов численного определения функций чебышевского приближения является алгоритм Ремеза [1.6, 2. 11, 4.7]. Суть этого алгоритма, реализуемого на ЭВМ, сводится к последовательной моди- ВЫ фикацни коэффициентов аппроксимирующей функции до тех пор, пока с заданной степенью точности не оказываются выполненными условия Ф (к г) обобщенной теоремы Чебышева, т. е, не получено чебышевское приближение.
В нй,, приложении 5 приводится описание "'~ з~ ~~ и «~ р,уа' программы, реализующей алгоритм Ремеза. Рис. 4.6 4.3.5. Решение чебышевсной аппроксимационной задачи д;тя фильтра с линейной ФЧХ с помощью алгоритма Ремеза Пусть требуется определить коэффициенты ФНЧ с линейной ФЧХ минимального порядка Ж=Т ,, Ас1Х которого удовлетворяет условию типа (4.10). Для того чтобы уменыпить объем вычислений на ЭВМ, можно ориентировочно определить значение №жЛ" ез по следу1ощей эмпирической формуле, справедливой для ФНЧ [1.6]: (4.29' 121 '-)г (вв аз) Л г ш — ш ~з (ап' ез) (~г.з ~г.п) гз гю где Йг(еп, вз)=[5,309 10 — '(1йвд)а+7,114.10 — '1явп 4,76110 — ']1Яез+ +[ — 2,66 10 (1деп)з — 5,941 10 ' 1деп — 4,278 10 ']1 .0з (а„, е,) = = 11, 01217 + О, 51244 (1д е„— 1д ез); ез и з,— максимально допустимые отклонения АЧХ от аппроксимнруемой функции В (ы) соответственно в полосах пропускания и задержания.
Очевидно, что фильтру наименьшего порядка Л~~Л';„(оптимальномуфильтру) соответствует оптимальная функция Ф(ю(ы, с) (см. 4.2.1). Для того чтобы определить функцию Ф~')(ы, с), нужно построить несколько функций наилучшего равномерного приближения к функции В(ю) с весом, опредсляемым (4.11), различных порядков начиная с К=К = (Л,— 1)~2 (для нечетных №) или с К=Кз= =(Л'1 — 2)/2 (для четных №). Если при К=К условия (4.10) не выполняются хотя бы для одного 1, необходимо увеличить К. Если (4.10) выполняется, необходимо уменьшить К. Процесс вычислений заканчивается тогда, когда Фя(в, с) удовлетворяет (4.10), а Фк-~(в, с) (или Фя з(и, с) для равнополосных фильтров) не удовлетворяет, причем Ф!'>(и„с) =Фи(в, с).
Пример 4.9. Пусть и,. =0,125; в,,=0,375; е =е,=З ° 10-. Тогда из (4.29) %1 — — 14. Поскольку проектируемый фильтр — равнополосный, с учетом (4.14) К,= =8. С помощью алгоритма Ремеза Т а б л и ц а 4.5 строятся функции наилучшего равномерного приближения Фз(в, с) н Фз (в, с), аппроксимирующие функцию ! 1 при 0<в<0,125; В(и) = 0 при 0,375 < в з„, 0,5 с весовой функцией ь,=ь„,, !т !! ~ !т !з 0,0000000 0,3053691 0,5000000 6 7 <и<0,125 и !Ф~(в, с)!<3.10 — ' при ~м.п=~ 0,0015943 1 0,0002395 0375<в<05; при К=6 тРебования к ем з ~ АЧХ не выполняются, т. е. У,жз —— 15. В табл. 4.5 приведены значения коэффициентов фильтров с Л'=11 и й1=15 и максимальных погрешностей аппроксимации ем.з = ем.з = шах ~ В (и) — Ф(в, с) ! при О~и~в .
н вг,з~в<0,5 [см. (4.2.7)]. Для паласовых фильтров ориентировочно Л,оз определяется по формулам, приведенным в [4.81. 4.3.6. Решение чебышевской аппрокснмационной задачи для минимально-<разового фильтра Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ минимального порядка У по заданной АЧХ (см. 4.2.5, задача 2), причем заданы условия типа (4.10): !1 — А(в)~ <»епт при 0< в<и (4.30) !А(в)~ <е„при в <в<0,5.
) Точный алгоритм решения сводится к следующему: 1. Необходимо построить оптимальную функцию Ф!')(и, с) удовлетворяющую отношениям: ~1+еп! — е~~!/2 — <Рк(в, с)~ <2еп, прн 0<в<и„„, 2 ез! (Фк(в, с)(< — прн игз»<в<0,5, К где Ф (в, с)= ~~~ с! сое2яв. Е=а Каждая функция последовательности, которую следует построить для опре- деления Ф<з>(и, с) (см. 4.3.5), строится как функция наилучшего равномерного приближения к аппрокснмнруемай функции 0 0,0130539 — 0.0037370 1 , 0,0000000 0,0000000 2 — 0,063 8686 0,0205680 3 0,0000000 0,0000000 4 0,30161!6 — 0,0723199 5 0,5000000 1 при О »< в н~ 0,125, 1 р( )= -(, 1, при О, 125 < в:а, 0,5 (в (4.11) полагается Я = 3 1О-') .
Прн К=Ка=8 требования к АЧХ выполняются: !1 — Фз(в, с) ~<3 10 — ' при 0»< 1+ е~ — е~~!/2 прн 0 < и » ~в и! з! г.п) 0 при в:~,вз-.:0,5 И2 (4.31) с весовой функцией (4.32)' 1» прн 0 ~~ н» ~ ~">, в > Ч(н>) = 4 звд/з~)д пРи н>г з в:, и> Я1, 0,5. Ориентировочная оценка величины начального порядка К)) функции Фя()д», с) (см.
пример 4.9) может быть получена с помощью (4.29), причем Кв= (У) — Ц/2' н е = 2зпд; за =в~~>/2. (4.33) 2. Строится функция Ф)'>(н>, с) =Ф)'>(и>, с)+М+е„, не имеющая вещественных коРней. Величина М=тах>Ф(н), с) ( пРи н>,.в~)в>(0,5; е„= (10 — в ... ... 10-') М. 2К 3.
По коэффициентам Ф)'>(и>, с) строится функция Н'(г)= Х Ь')з — ' [см. )=о (4.22)1. 4. Вычисляются корни функции Н'(з). К вЂ” ) 5. Строится функция Н" (г) = у Ь")г-)+з-н, корни которой совпадают с )=о корнями Н'(з), лежащими внутри и на единичной окружности. 6. Строится передаточная функция искомого минимально-фазового фильтра К Н(г) =ЬкН"(г) = Е Ь)г — ', Ь)=Ь")Ь)г. Коэффициент Ьк определяется из условия )=-о К Г2К ~о),">~=>»>втаэтГ ...,.„„...: » ° .,.„„~ » = д» в)ь,. )). >=о г' >=о последнего равенства н выражений для Н" (з) и Н(а) следует, что ь„.
= )» 3», '/ Д»».)- » >. Пример 4.10. Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ наименьшего порядка У, АЧХ которого удовлетворяет (4.30) при )в>, =0,125. )))г.а = 0,375» зп) =0,02 н зв! =0»0003. По формулам (4.33) находим: 3»» = 0,04;- е.=4,5.10 — '. По формуле (4.29) определяем Кв 6. По формуле (4.31) определяем аппроксимируемую функцию: (1+3,99995 10~ж! при 0(н>(0,125, О прн 0,375~в>(0,5 По формуле (4.32) определяем весовую функцию 1 при 0(ю<0 125; Ч()э) = 888889 при 0,375 ( ы » ~0,5.
С помощью алгоритма Ремеза определяется Ф)в>(ю, с). Для этого на ЭВМ ЕС 1022 были построены функции Фв()в», с), Фд(н>, с), Фв(н>, с) н Фв(и, с)- В табл. 4.6,приведены значения коэффициентов функций Фв(н>, с) и Фв()д>, с), представленные по способу с «плавающей запятой» с округлением мантиссы до девяти разрядов (все вычисления в рассматриваемом примере выполнялись' е удвоенной точностью [4.91), и максимальных погрешностей аппроксимации ем. и ем.в (определение этих понятий см. в примере 4.9).
Из сравнения е и е „ е, и е ., следует, что функция Фв(п>, с) не удовлетворяет заданным требованиям, а функция Фв(н>, с) удовлетворяет, т. е. 123 Таблица 4.6 Таблица 4.7 Значение коэффициента сз К 9 0,77089 10-' 0,16499 10 1 0,82824 10-и м.и 0,1856! 10 ' вм , 0,86725 10 0,19769.10 о зм.з Ф1'1 (1Е, С) =Фз(К, С). ЗатЕМ ОПрЕдЕЛяЕтСя фуНКцИя Ф1з1(ГВ, С) =Ф1О1(Ш, С)+ +0,19 1О-'.
По коэффициентам Ф1о1 (п1, с) строится функция 1а Н' (г) = ~ 5 г Е=О На ЭВМ вычисляются корни функции Н'(г). Строится передаточная функция 9 Н (г) = ~~ 51г 1=0 корни которой совпадают с корнями Н'(г), лежащими внутри единичной окружности (корни, лежащие на единичной окружности, в данном примере отсутст- 9 ч/1З вуют), причем 2' 51= ~т г'0'н Коэффициенты 51 этого фильтра и максималь1=0 1=0 ные погрешности аппроксимации ем, =шах ~! — ~Н(е1 '" )!! при 0(ю(0,125, ем„=п1ах!Н( е19 )! при 0,375(ш(0 5 приведены в табл. 4.7. ИЗ Сраиивинн ВЕЛИЧИИ Ен1 И Ем.з, Яз~ И Ен.з СЛЕДУЕГ, ЧТО СИИТЕЗИРОВаНИЫЙ минимально-фазовый фильтр удовлетворяет всем условиям задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
