Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 22
Текст из файла (страница 22)
114 Пример 4.З. Пусть при использовании критерия (4,9) е1=0,1; аз=0,01; аз=0,001. Примем Я=0,1, тогда Лример 4.4. Для ФНЧ (рис. 4.4) , 1 при О~в(в, (полоса проиускания); В(в) = ' ! 0 при в,,(ге<0,5 (полоса задерживания). Апроксимирующие функции имеют вид: при нечетном Л( 3!ы ( К Ф (ю, с) = ~ с! соз (21+ 1) и га, (4.13" !=о причем К=(У вЂ” 2)/2; Ь~=ск-с 2, 1=0, 1, ..., К [см. формулу (4.2)]. ь'пп н'пз 4~ ь' Рис. 4.4 4.2.3. Равнополосиые фильтры с линейной ФЧХ Если для ФНЧ и, +ш,.=0,5 (см. пример 4.4), д(гс)=д(0,5 — гс) (требования к точности аппроксимации в полосах пропускания и задерживания одинаковы) и Л' — нечетное, то при решении задачи аппроксимации в соответствии с критерием (4.8) или (4.9) часть коэффициентов с~ оказывается известной заранее [2.!0]: с,=О 5; сз!=0 при 2(2!<К.
(4.14) Такие фильтры называют равнополосными или полуполосными [2.11], у этих фильтров У=3+4(, 1=0, 1, 2, ..., и реализационные характеристики лучше, чем у обычных избирательных фильтров с линейной ФЧХ: (о = Л' 1: 1.п — (й — 3)/4+ 1; 1Ъ = (Л 3)/4+ ' ~'с — — - (Л' + 1)/2 (умножение на со —— 0,5 эквивалентно одному сдвигу и не учитывалось при оп- ределении значения Ут). 4,2.4.
Преобразователи Гильберта Преобразователь Гильберта (ПР) [1.6] используется для получения комплексного сигнала о (аТ) = х (и Т) + ! х (п Т), (4.15) спектр которого г'(е'тп"') удовлетворяет условию |за оп (2 Х(е! ~" ~) при 0<и(0,5 е О при 0,5<в<1, где Х(е'~ ) — спектр задипюго сигнала х(аТ). Из (4.15) и (4.!6) следует, что спектр сигнала х(лТ) равен ( — 1Х(е з ®) прн О(в<0,5; 1! Х(е ~а) при 0,5<в<1, 115 (4.16) К Ф(и, с) = ~~~ с!сов!2ии, (4.13)' !=о причем К=(Л( — 1)(2, Ьс=ск-н2, 1=0, 1, ..., К вЂ” 1, Ьк=со [см. формулу (4.1)]; при четном Л( т. е, для получения сигнала Я(лТ) [и тем самым сигнала о(лТ)] достаточно пропустить сигнал х(пТ) через идеальный ПГ (рис.
4.5) с комплексной частотной характеристикой: ( — 1 при 0(щ<0,5; 1 при 0,5<в<1. (4.17) Для идеального ПГ во[Ни(егва )]=0; „,, ~' — 1 при 0<в<0,5; 1щ(Н (е' ~)]= 1 при 0,5<ге<1. (4.18) К Ф (щ с) = ,~ с1 51п 1 2 л щ; 1=1 В (ю) = — 1 при а, ~ ~се ~ ~и, (О,о. (4.19) Рис. 4.5 При а1+а2=0,5 и выборе весовой функции д(ж), удовлетворяющей условию д(ю) =соп51, ПГ реализуется в виде равнополосного нерекурсивпого фильтра (см. 4.2.3), причем со —— О, си=О при 2(21 =К 4.2.5. Минимально-фазовые фильтры Для минимально-фазовых фильтров формулируются две основные задачи аппроксимации. В первой задаче заданы АЧХ А(ге) и ФЧХ ~р(а) фильтра; требуется определить Н(г) так, чтобы выполнялись приближенные раве,"ства [4.3]: !Н( е' )] жА(щ); агд [Н ( е' " ") ] = гр (ю) .
(4.20) При этом вводятся аппроксимируемые функции: Вт (рр) = А (ге) соз ср (ге); В, (щ) = А (щ) 51п ~р (щ) и аппроксимирующие функции: Д Ф, (щ, Ь) = ~ 6~ со512л ю; г=о .и — 1 Ф, (ы, Ь) = — 5' Ь| 51п 12п и, г=о так что вместо (4.20) рассматриваются эквивалентные им приближенные равенства: Очевидно, что идеальный ПГ нсреализуем. Для того чтобы определить передаточную функцию Нр(г) реального ПГ, необходимо аппроксимировать характеристики (4.18). Возможно построение реального ПГ в виде как рекурсивного, так и нерекурсивного фильтров. При построении ПГ в виде нерекурсивного фильтра целесообразно использовать фильтр вида 3 (см. 4.1), причем аппроксимирующая и аппроксимнруемая функции имеют вид: Во второй задаче задана лишь АЧХ Л(ш), а ФЧХ может быть произволь- ной, В этом случае аппрокснмируемая и аппроксимирующая фукции имеют внд: в() л(); 7С Ф (в, с) = ~' с1 соз 12п ш, ю=а причем функция Ф(ж, с) не должна иметь вещественных корней нечетной кратности.
Тогда, используя (4.1), можно построить функцию Л~ — 1 Н (3) =~, 1?1з (4.22). !=а (У вЂ” нечетное), вычислить корни Н'(з) и построить передаточную функцию Н(г) искомого минимально-фазового фильтра так, что корни Н(з) совпадают с корнями Н'(г), лежащими внутри и на единичной окружности в комплексной' г-плоскости.
Тогда из (4.5) следует„что !Н(е' )) Л(-). 4.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ 4.3.1. Классификация методов Методы решения тесно связаны с принятыми критериями аппроксимации. В зависимости от использованного критерия их можно разбить на три группы. Первая группа соответствует среднеквадратнческому критерию, вторая— наилучшему равномерному (чебышевскому) критерию и третья — иным критериям аппроксимации. Первая группа включает методы разложения в ряд Фурье и наименьших квадратов, вторая — алгоритм Ремеза и некоторые другие сравнительно редко используемые алгоритмы. Методы последней группы [1.6, 4.4] относительно редко используются при проектировании фильтров и поэтому ниже не рассматриваются. 4.3.2.
Разложение в ряд Фурье аппроксимируемой функции Этот метод применим для расчета коэффициентов фильтров с линейной ФЧХ и решения второй задачи для минимально-фазовых фильтров. Если аппроксимирующая функция имеет вид (4.7), грнчем ~р~(ш)=соз12пю илн ф(ж) = =з1п 12пж, то можно принять 9.5 с~ =- 17 ~ В (гз) ~И (ш) йо, (4.23) а где 17= 2 при 1=0; Р=4 при 1~0, Функция В(и) должна быть определена при всех значениях ш, т. е. доопределена в промежуточной полосе от ю„, до Для того чтобы исключить явление Гиббса [4.51, обусловливающее неустранимую погрешность аппроксимации, достаточно, чтобы после доопределения функция В(в) оыла непрерывна при всех значениях ш.
Пример 4.5. Рассчитать коэффициенты двух ФНЧ с линейной ФЧХ (см. ~ример 4.4): Л'=11; У=15 при ю, =0,125; в,.,=0,375 (равнополосные фильтры). Рассчитать АЧХ каждого из фильтров для 5 равноотстоящих значений в, начиная с и=0 при шаге Ли=О,!25. 117 Доопределяя В(и) в промежуточной полосе: при 0(и~~ив.,; п1 — и г.з В(и) = прн иг.и~ ~и~~иг.а', г.п га при и,.а(и~0,5 :н учитывая, что 1р1(и) =сов !2ни, из (4.23) получаем: сз =и +и 281п !2 миг п 2 ига(81п !2пигз з(п!2н игп) с!— + ( гп гз) ! соз!2ни — соз!.2ни + .
г.з ' г.п + и — и !' нз г.п г.з г.а 2и 81п!2ни — 2и 81п!2ни г.з г.п г.п !н .при !)О. В табл. 4.1 приведены значения козффициентов 61 фильтров, в табл. 4.2— значения АЧХ фильтров. Таблица 4.2 Таблица 4.1 ь1=ьп Значение А 1гг) при тч, равном Л =11 г1=!З 0 ! — 0,0114632 1 0,0000000 2 — 0,0318422 3 0,0000000 4 0,2865796 5 ' 5000000 О, 6 7 4.3.3. Ыетод наименьших квадратов Этот метод точно соответствует критерию (4.8) — при заданных величинах -а1, аа и функциях 4(и), Ф(и, с) и В(и) требуется определись вектор с, мигнимизнрующий целевую функцию О (с) = ) д (и) [ В (и) — Ф (и, с) 18 1! и. (424) Необходимые н достаточные условия минимума (4.24) [4.41 имеют вид д (! (с) = О, т = О, 1, 2, ..., К дс,„ (4.25) и с учетом (4.7) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно са, сь ..., сн1 118 0,0058486 0,0000000 — 0,0114632 0,0000000 — 0,0318522 0,0006000 0,2865796 0,5000000 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500 0,9865485 0,9665278 0,5000000 0,0334722 0,0134514 0,9982456 0,9747989 0,5000000 0,0252012 0,0017544 к 1 с! 11~, К+1 1=о а,' Гдв Г(т ! — — ~ Ч (В) 1рт(В) Ю(В) 1(В' а, 1т К+! — — ~ ~(В):В(В) Р (В)1 а, Пример 4.б.
Пусть а~=О; аз=0,5; 1 при 0«в«в,.н; В(в) = 0 при вг,а»«в»«0,5; 1 при 0 =в«в,,н; 0 при в, <в<в,,а; при в г а»«в «» 0,5, К Ф (в, с) = ~~ с! соз 12л в,"д (в) = 1=-О где д=сопз!. Тогда г.п т' ~+' з!п (т 2л в )/(2т л) в +А!2 — пв вг з!и (т + 1) 2 л в„ 2 ! 4(т+1)л + 4 при т=1ФО; и в и зщ (т+ 1) 2 и в 2 4(т+1) л з1п (т — 1) 2л в и з1п (т+ 1) 2 л в 4 (т — 1) л + 4 (т+ 1) л + при тФ1; т=01, ..., К; 1=01, ..., К. 8' з'" (т 1) 2 л вг з И з!п (т+ 1) 2л в1 з + 4 (т — 1) л 4 (т +1) л Пример 4.7.
Для условия примера 4.6 при в,,н=0,125; в,,=0,375: 8 =1 рассчитать коэффициенты равнополосных ФНЧ при У=11 и У=15 и значения АЧХ для 5 равноотстояших значений в, начиная с в=О с шагом Ьв= = 0,125. Коэффициенты фильтров 51 и значения АЧХ А(в) приведены в табл. 4Э и 4.4. Таблица 4.4 Таблица 4 3 Значение А(м! нрн 1Ч, раннем ь,=ь...
Х =11 ьт= 15 119 0 ! 2 3 4 5 6 7 0,0118785 — 0,0000003 — 0,0621937 0,0000008 0,3007862 0,4999990 — 0,0033884 0,0000021 0,0197280 — О, 0000073 — 0,07!3280 0,0000137 0,3049177 0,4999840 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500 при т=О; прн тФО; при т=1=0; 1, 0009418 0,9965320 0,4999968 0,0034674 0,0009420 0,9998589' 0,9993988' 0,4999387 О, 0005983 О, 0001417 Погрешность аппроксимации по методу наименьших квадратов существенно меньше, чем погрешность аппроксимации по методу разложения в ряд Фурье аппрокснмируемой функции. Отклонение значений коэффициентов, приведенных в табл.
4.3, от значений, определяемых по формуле (4.14), для равнопалосных фильтров определяются погрешностями решения линейной системы на малой ЭВМ. 4.3.4. Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации. Алгоритм Ремеза К Пусть заданы совокупность (класс) Г функций Фк (ш, с) = ~, 'с~ф~ (ш), г=а где ~р~(ш) — известные функции, например д~=соз12нш или ~р~=ш', аппроксимируемая функция В(ш), весовая функция д(ш) и замкнутый интервал [аь аз). Тогда функцией наилучшего равномерного (чебышевского) приближения в классе Г называют функцию Фл(ш, с) с такими значениями коэффициентов сь которые соответствуют минимальному значению е(с) =шах ~Л(ш, с)~, цт(ш(а„ (4.27) где Л(в, с) =су(ш) [В(ш) — Фк(в, с)1, е(с) — максимальная погрешность аппроксимации на интервале [аь аз) для определенного набора значений коэффициентов аппроксимирующей функции. Очевидно, что функция наилучшего равномерного приближения точно соответствует критерию (4.9).
Для некоторых классов функций Фк (ш, с) [к ним, в частности, относятся функции (4.13) и (4.19)1 непрерывной на интервале [аь а~) функции В(ш) и кусочно-непрерывной положительной на том же интервале функции д(ш) обобщенная теорема Чебышева [1.б, 4.61 устанавливает признак, выделяющий функцию наилучшего равномерного приближения среди всех функций данного класса; для того ~тобы функция Фк(ш, с) была функцией наилучшего равномерного приближения к функции В(ш) с весовой функцией д(ш), необходимо и достаточно, чтобы функция Л(ш, с) принимала наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и чередующиеся по знаку значения в К+2 последовательно расположенных точках (точках альтсрнанса) шь шм ..., шп а интервала [аь аз1, т.
е. А(шг, с) = — Ь(шю с)= ... =( — 1) + Л(шК4з с); ( ) ит ( ют с гез с ° . ( ЮК+з ~( йз1 ~Л (к~., с)~ ) !Л(ш, с)~, 1=1, 2,..., К+2. Последнее отношечие истинно при любом значении ш, принадлежащему интервалу [аь а21. Теорема (4.23) справедлива и для аппроксимируемых функций, заданных на отдельных интервалах„не имеющих общих точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
