Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 17
Текст из файла (страница 17)
10111 -~.1. 01000 + 1 ! 1.01001 [А]д~~ = 1.0100!. Правило перевода дополнительного кода отрицательного числа в прямой числовые разряды дополнительного кода инвертируются и к младшему разряду добавляется 1. )7Ранар 3.9- Осуп!ествим обратный перевод дополнительного кода числа А: (см. пример 3.8) в прямой код: [А)деп —— 1.01001 -1- 1 10110 + 1 !.10111 [А)пр = !.!О!!1.
Модифицированный дополнительный код имеет условное обозначение:. [А)"я„. Он образуется по правилам дополнительного кода, но для представле-- ния знака числа отводятся два разряда. Пример о.10. Представим положительное число А и отрицательное число В,. модули которых равны 0,01110, в модифицированном дополнительном коде: [А)~ „ = 00.01110; [В)" „ = 11.10010. 3.3.3. Обратный код Условное обозначение: [А) 0ар.
Нравило кодирования положительных чисел: обратный код положительного числа совпадает с прямым кодом: '[А! 0ар= [А! пр. Правило кодирования отрицательных чисел: в знаковый разряд кода записывается 1, числовые разряды исходного числа инвертируются. О . ат а, „, аь при А)0; [А1, др —— (3.10) 1. ат аа " аь при А~О. Пример 3.11. Представим отрицательное число А= — 0,10000 в обратном коде: [А)оор = — ! 01!!!. Модифицированный обратный код образуется по правилам обратного кода, но для представления знака числа отводятся два разряда.
3.4. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ АРИФМЕТИКУ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ 3.4.1. Алгебраическое сложение в дополнительном коде Пусть заданы дополнительные коды чисел А и В, причем (А), (В), (А+- +В[(1. Дополнительный код суммы чисел образуется путем сложения допол-- иительных кодов слагаемых. Перенос из знакового разряда при сложении не учитывается (теряется).
Пример 3.12. Допустим А= — 0,01100; В= — 0,10001. Тогда [А) = 1.10100 + [А+В)дон=! 00011 ° [В[дон = 1 01111 ~ †1,' !.Ооо!! Единица переноса не учитывается. 3.4.2. Алгебраическое сложение в обратном коде Пример 8.13. Допустим А= — 0,01001, В=0,11000. Тогда [А[пар — 1.10110 "+ [В[сир = 0.11000 1,' О .01110 [А+ В[обр = О.О!111, Циклический — ++ 1 перенос О .
01111 3.4.3.Переполнение разрядной сетки при сложении 'При сложении нескольких чисел, удовлетворяющих условию [3.3), может произойти переполнение разрядной сетки. Для фиксации переполнения используют модифицированные кодь., содержащие Ь дополнительных знаковых разрядов, где А=!и! 1ооо Й, а Й вЂ” число слагаемых. При сложении двух чисел (а=2) Ь=1. Модифицированный код, фиксирующий переполнение, должен содержать два знаковых разряда. При наличии пе.реполнения значения знаковых разрядов не совпадают, т. е. в знаковых разрядах фиксируется комбинация 01 или 10.
3.4.4. Умножение в прямом коде Пусть множимое А содержит Ь числовых разрядов, а множитель В т числовых разрядов [А)пр — а,. а, а, ... аь, [В)пр = Ьо. Ьт Ьо .. Ьте где ао, Ьо= [1, О) — знаковые разряды сомножителей. Точное значение произведения Р=АВ может содержать до Ь+т числовых разрядов. Значение знакового разряда произведения Р определяется путем сложения значений знаковых разрядов сомножителей по модулю 2: ро — — ао®Ьо, т, е.
1 при аоФЬо, Ро= О при ао=Ьо. 88 Пусть заданы обратные коды чисел А и В, причем !А[, !В(, ~А+В~ (1. Обратный код суммы чисел образуется путем сложения обратных кодов слагаемых с учетом переноса из знакового разряда (циклического переноса), при наличии :которого к младшему разряду суммы добавляется 1. Значения числовых разрядов получаются путем перемножения числовых разрядов сомножителей. Пример ЗЛ4. Пусть А= — 0,1001; В=0,101. Выполним умножение чисел в прямом коде по алгоритму умножения, начиная с младших разрядов [3.2]: 1 ~- 1.
1001 вша [А]пр Я Х„"' О О 101 = [В] 1001-» + О1ОО! 0000 01001-» 001001 1001 Формирование знака произведения 101101-» 1 о[о!101 = [Ав] Стрелка -» соответствует сдвигу кода частичной суммы на один разряд вправо. Различные алгоритмы умножения чисел в прямом коде подробно описаны в [3.2] . 3.4.5.
Умножение в дополнительном иоде Пример 8.1б. Пусть А= — 0,111; В= — 0,010, т. е. [А] "дов 11.001: [В] "хоп=1.110~ [ — А] "дон=00.111; [А ]доп Х [В]~ „= 1.110 00.000-» + оо.оооо 11.001 11.0010-» 11.!0010 11.001 10.10110-» + 11.0!01!О 00.111 00.001110 = [АВ]д и. 89 При умножении чисел в дополнительном коде множимое и частичные произведения обычно представляются в модифицированном коде (для устранения переполнений при вычислении частичных сумм).
Алгоритм умножения чисел в дополнительном коде, начиная с младшего разряда, практически аналогичен соответствующему алгоритму для прямого кода, однако на последнем шаге (при отрицательном множителе) к частичной сумме добавляется дополнительный код числа, равного множимому по абсолютному значению и противоположного по знаку. Различные алгоритмы умножения чисел в дополнительном коде, в том числе и широко используемый в ЦФ алгоритм Бута, подробно рассмотрены в [1.6, 3.2) . 3.5. КВАНТОВАНИЕ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЪ|Х ФИЛЬТРАХ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ АРИФМЕТИКУ С ФИКСИРОВАННОИ ЗАПЯТОИ 3.5.1.
Общие сведения Квантование числа есть представление последнего с помощью конечного количества (Ь) числовых разрядов. Операция квантования является нелинейной и вносит в представление числа х ошибку Е„=Р (х) — х, (3.11) где х — число до квантования; Г(х) — число после квантования (после выполнения нелинейной операции Р). Шагом квантования Я называется весовой козффициент младшего числового разряда, равный 2 — ь.
При квантовании используются два способа: округление и усечение. 3.5.2. Округление При округлении числа до Ь разрядов исходное т-разрядное число (Ь(т( ~ос) заменяется на ближайшее Ь-разрядное (округление соответствует выбору ближайшего уровня квантования). Ошибка округления Е,=Р,(х) — х удовлетворяет неравенству — 2-ь/2 а~ Еа Я,2 — ь/2 (3.12) для всех трех способов кодирования чисел (прямого, обратного и дополнительного кодов). В (3.12) считается, что т~Ь. Характеристика нелинейности, соответствующая операции округления, показана на рис. 3,1,а. а) Рис.
3.1 Рис. Я.2 90 3.5.3. Усечение При усечении т-разрядного числа до Ь разрядов (Ь(сп(ьь) младшие ш — Ь разрядов нсходчого числа отбрасываются. Ошибка усечения Ет=Рт(х) — х удовлетворяет неравенствам: а) для положительных чисел при любом способе кодирования и отрицательных чисел в дополнительном коде — 2 — ь(Е (О; б) для отрицательных чисел в прямом и обратном кодах (3.13') 0(Е,(2 — ь (3.13") В (3.13) считается, что т))Ь.
Характеристика нелинейности, соответствующая операции усечения для дополнительного кода, показана на рис. 3.1,б, а для прямого и обратного кодов — на рис. 3.1,в. Плотности вероятности ошибки усечения Р(Ет) показаны на рис. 3.2,6 для дополнительного кода и на рис.
3.2,в для прямого и обратного кодов. 3.6. КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ 3.6.1. Модели процесса квантования Квантование сигнала есть представление отсчетов последнего с помощью конечного числа Ь числовых разрядов. Квантованию в ЦФ могут подвергаться дискретные (в аналого-цифровых преобразователях — АЦП) и цифровые (на выходах умножителей и сумматоров) сигналы. Нелинейная модель процесса квантования сигнала показана на рис.
3.3,а, где ЦпТ) — квантуемый сигнал (дискретный или ш-разрядный цифровой);. р(пТ) — квантованный сигнал (Ь-разрядный цифровой, Ь(т), а характеристика нелинейности Р квантователя показана на рис. 3.1. Нелинейная модель используется, как правило, при модер,'пП лировании процессов в ЦФ на ЭВЫ. лсалтсйатиь Линейная модель процесса квантования показана на рис.
3.3,б, где е(аТ) — аддитивный дискретный сиги) е(п17 нал, учитывающий ошибку квантования: 17 . е (а Т) = Р 1а' (а Т)] — с( (п Т) . (3.14) Линейная модель используется при аналитическом анализе процессов в ЦФ. д) Рис. 3.3 3.6.2. Детерминированные оценки ошибок квантования Детерминированные оценки позволяют определить абсолютные границы ошибок квантования Плотность вероятности ошибки округления Р(Е,) показана на рис. 3.2,а.. При анализе эффектов квантования в ЦФ, как правило, предполагается, что все значения ошибки квантования равновероятны, т. е. ошибки распределены равномерно.
— б шах ~с (и Т)(( 2 — ь= — Я, (3.15) ~>о Ч Ч где Ь вЂ” количество числовых разрядов; Я вЂ” шаг квантования; т)=2 при округлении и т) =1 при усечении (см. рис. 3.1 и 3.2). 3.6.3. Вероятностные оценки ошибок квантования т ,= 0 при округлении и усечении прямого и обратного кодов; (3.16') — 0,5Д при усечении дополнительного кода; Я'/12 при округлении и усечении дополна нительного кода; Я'/3 при усечении прямого и обратного кодов. Здесь Я=2-' — шаг квантования. Из формул (3.16) видно, что использование усечения прямого и обратного кодов нежелательно.
В табл. 3.3 приведены значения дисперсии оз, шума округления в децибе. лах при различном шаге квантования, рассчитываемые по формуле Ф,= =10!8Яз/12) =10!а'(2 — зь/12) = — (6,02Ь+10,79) дБ. (3.16") Таблица З.З Разрядность Ь ~ 8 10 12 ~ 14 ~ 16 18 ~ 20 ! 1 ! ! 2 з 2 ш 2 тз ~ 2 — ы ~, 2-ы ~ 2 — та ( 2 — за ! Шаг квантова- ния Я ( — 59 ! — 71 ( — 83 ( — 95 ' †1 ~! †1 ~ †1 3 Дисперсия о'„ дБ 3.7. УИКТ КВАНТОВАНИЯ СИГНАЛОВ В СТРУНТУРНЫХ СХЕМАХ ~тИФРОВЬ!Х ФИЛЬТРОВ Структурные схемы цчфровых фильтров (ЦФ) с ограниченной разрядностью регистров отлича|отся от соответствующих схем дискретных (линейных) фильтров наличием нелинейностей Р и Ф, учитывающих округление (усечение) 92 Вероятностные оценки основаны на представлении ошибок квантования (сигнала з(пТ)) как случайного шумоподобного процесса (шума квантования) [1.6, .3.3!.
Допущения, вводимые относительно шума квантования: последовательность е(пТ) является стационарным случайным процессом; последовательность е(лТ) не коррелирована с квантуемой последовательностью с((пТ); любые два отсчета последовательности е(пТ) не коррелированы, т. е.
шум квантования является процессом типа «белый шум»; распределение вероятности ошибок является равномерным по диапазону ошибок квантования (см. рис. 3.2). Среднее значение ж, и дисперсия ат, шума квантования определяются соотношениями: результатов арифметических операций в регистрах умножителей и сумматоров соответственно. Вид характеристик нелинейностей Г и Ф показан на рис. 3.1. При анализе эффектов квантования сигналов нелинейности Е;,д и Ф; з структурных схемах ЦФ заменяются источниками аддитивного шума еьх(пТ) н ,(пТ) (1' — номер сумматора ЦФ, к которому подключен соответствую:ций а.й источник шума). В результате формируется линейная модель ЦФ, учитывающая эффекты квантования сигналов. Если к определенному )-му сумматору ЦФ подключено несколько источников шума, их можно заменить в линейной модели эквивалентным источником шума уэ(пТ) (оценки параметров шумового сигнала у„:(пТ) см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
