Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 21
Текст из файла (страница 21)
с~ соз 1в Т 1=с где К=(Ь вЂ” 1)/2; с =Ь,; с~=2Ь ь 1=1, 2, ..., К 109 Для фильтра вида 2 справедливы соотношения: К Н,(е ~) е '1к+~'з1" У с~соя(1+0,5) шТ; с=о (4.2) Авз(а) = ~с~соя(1+0,5) вТ, 1=о где К=(У вЂ” 1)У2, сс=25х-и 1=0, 1, ..., К. Рис. 4.1 Для фильтра вида 3 справедливы соотношения: К Няз(е'" ) — -е 'дм" ~;с~з1п1вТ; з=п К Аяз (ш) =- У, с~ з(п1ъ Т, 1 1 где К=(Л' — 1)12; се=йк=0; с~=26з ь 1=1, 2, ..., К. (4.3) Для фильтра вида 4 справедливы соотношения: К Низ(е ) =е ~1~+ лй ~; с~з)п(1+ 0,5) о Т; г=о К Ая,(в) = "~ с~з1п(1+0,5) ш Т, ~=О ~ г~ ~~~=1/! г~~ ~~; ~ г~з ~ =1/~ гя ~; ~ г~ ~~=! гг ~ = ~г~) = ~гз( =1 Пример 4.1. Фильтр вида 1: Н,~(г) =1+2г-'+г-', У=З, нули гз=гз= — 1; фильтр вида 2: Н,з(г) =1-02г-' — 0,2г-з+г-', У=4, нули г~- — 1, гз,з = — 0,6~ 10,8; 110 где К=(Л1 — 2)12; с~=26к ь 1=0,1„..., К. Передаточные функции Н(г) фильтров всех четырех видов могут иметь нули, расположенные внутри, на и вне единичной окружности на г-плоскости.
На Рис, 4.2,а показано возможное Расположение нУлей, пРичем г~~') и гзы>, гз<з~ и гааз~, г~~з) и гз<з~ представляют собой комплексно-сопряженные величины и фильтр вида 3: Наз(г) =2 — 2г-э, У 3, нули гьэ ~1; фильтр вида 4: Н~~(г)=1 — 2,2г-'+2,2г-' — г-', Н 4, нули г, 1, гаа 0,6~10,8. Основное свойство Н„(г): Нвт (г) = Нт (г) На (г) Нз (г)1 1 ( е1 в т) ) ) Н ( е1 а т)) ( где нули Н~(г) совпадают или с нулями Н„(г), расположенными внутри единичной окружности, или с нулями На„(г), расположенными на единичной окружности и имеющими четную кратность; нули й Н,(г) совпадают с нулями Н,(г), расположенными вне единичной окружности, или с нулями Нар(г), расположенными на единичной окружности и имеющимн четную кратность; На(г) =сопз1 или нули Нз(г» совпадают с нулями На,(г), расположенными на единичной окружности и имеющими нечетную кратность.
Фильтры всех четырех видов реализуют с учетом симметричности или антнсимметричностн ко- Рис. 4.2 Рис. 4.8 эффициентов (см. рис. 2.7). При этом реализационные характеристики (см. 2.2,4), например, для фильтра вида 1 имеют значения: Ед — — У вЂ” 1; Еп = (У+ 1)/2; Ру -— — (У+ 1)/2; $', = У вЂ” 1. Рассмотренные фильтры применяются в качестве избирательных фильтров, преобразователей Гильберта, дифференциаторов и корректоров АЧХ. 4.1.2. Минимально-фазовые нерекуреивные фильтры Это фильтры (см. рис.
4.1), нули передаточных функций которых находятся внутри и на единичной окружности на г-плоскости (рис. 4.2,б). Нринер 4.2. Если Н(г)= — 0,244г — '+1,01г-т — 1,4г — '+1, то нули Н(г) имеют значения: гьт=0,5~10,6; гз=0,4; 1гьэ)~1; ]гз!~1, поэтому соответствующий фильтр является минимально-фазовым. Минимально-фазовые фильтры применяются в качестве избирательных в тех случаях, когда групповое время замедления должно быть малым. Прн реализации фильтра в прямой форме (см.
рис. 2.6) реализацнонные характеристики (см. 2.2.4) имеют значения: Еэ = Еи — — Ж 'т'» — — ~', 111 4.1.3. Основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров На рис. 4.3 показана схема, поясняющая основные этапы проектирования нерекурсивных фильтров. Первый этап — формулировка задачи аппроксимации — включает в себя следующие шаги: выбор типа фильтра (с линейной ФЧХ определенного вида или минимально-фазового); выбор аппроксимирующей функции Ф(ю, с), значения которой определяют требуемую характеристику фильтра, например ЛЧХ. Здесь щ — нормированная частота (см. 2.3.2); с — вектор коэффициентов, совпадающий с вектором коэффициентов фильтра Ь илн достаточно просто связанный с ним; определение аппроксируемой функции В(ю), задающей требования к заданной характеристике; выбор критерия аппроксимации, т.
е. уточнение смысла приближенного равенства, Ф(в, с) ж В(в) (4.6) при заданных значениях ш; определение весовой функции аппроксимации д(и), задающей требования к точности приближенного равенства (4.6). Целью первого этапа является ма. тематическая формулировка задачи вычисления вектора с по заданным требованиям к характеристикам фильтра. Второй этап — решение задачи аппроксимации — включает в себя следующие шаги; оценку необходимого порядка фильтра У; расчет вектора коэффициентов с; проверку критерия получения решения (выполнение заданных требований к характеристикам фильтра).
Если требования к характеристикам выполняются,'то по вектору коэффициентов с определяется вектор Ь и второй этап заканчивается. Если требования ие выполняются, необходимо вернуться ко второму шагу и рассчитать вектор с прн большем значении Х Целью второго этапа является определение вектора коэффициентов фильтра Ь. Третий этап — расчет разрядности зь коэффициентов (или разрядности регистров ПЗУ) — зависит от выбранной элементной базы. При реализации фильтра на специализированном микропроцессоре типа РЯР 14.1] значение зь задано н на третьем этапе остается проверить, выполняются ли заданные требования к характеристикам фильтра, Если требования выполняются, то следует перейти к четвертому этапу, если нет — то вернуться ко второму этапу, повторить решение аппрокснмацнонной задачи при большем У н снова перейти к третьему этапу.
Если фильтр реализуется на БИС общего применения или универсальных микропроцессорах, то необходимо минимизировать значение зь, уменьшая его до тех пор, пока заданные требования к характеристикам перестанут выполняться. На четвертом этапе рассчитываются разрядности регистров оперативной памяти таким образом, чтобы мощность собственных шумов фильтра была меньше, чем мощность шума на входе. На пятом этапе осуществляется схемная реализация фильтра на выбранной элементной базе [2.111. 112 4.1.4. Сравнение нерекуреивных и рекурсивных фильтров 4.2. ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ 4.2.1. Требования к аппрокснмируемой функции. Критерии аппроьсимации Целью решения аппроксимационной задачи является определение коэффициентов б~ передаточной функции фильтра.
Аппроксимирующая функция Ф(я, с) должна удовлетворять следующим требованиям: вектор с должен быть связан простой зависимостью с вектором коэффициентов Ь; функция Ф(а, с) должна достаточно просто зависеть от вектора с; при заданных значениях в должно выполняться (4.6). Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации является линейная зависимость функции Ф(я, с) от вектора с: К Ф(и, с) = с ~р (ге) = ~ сг9ч (в). (4.7) е=е Существуют два основных критерия аппроксимации, уточняющие смысл (4.6): средиеквадратический критерий ~ д (са) (В (га) — Ф (ш, с) )з с( ю -э ш1п В~ и наилучший равномерный (чебышевский) критерий шах д (и) ~ В (м) — Ф (в, с) ~ -~- ппп. а,<м<а, !13 (4.8) (4.9) Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему. Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ.
Мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у рф. Она равна нулю, т. е. у НФ отсутствуют собственные шумы в том случае, если операции сложения и умножения выполняются точно. У РФ мощность собственных шумов не может быть сделана равной нулю, поскольку в цепи обратной связи этих фильтров всегда должно выполняться округление при вычислении произведений отсчетов на коэффициенты. Исключение составляет довольно ограниченный класс РФ с конечными импульсными характеристиками, например однородные и триангулярные (см. разд. 7).
Для НФ проще вычисление коэффициентов. Это объясняется тем, что аппроксимирующая функция Ф(ш, с) [см. ф-лу (4.7)) линейно зависит от коэффициентов со, сь"., с~: В системах с изменением частоты дискретизации (см. разд.7) применение НФ сокращает необходимое число арифметических операций. Недостаток перекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными состоит в том, что при одинаковых требованиях к АЧХ, отсутствии требований к линейности ФЧХ и постоянной частоте дискретизации они требуют выполнения существенно большего числа операций, Поэтому схемная реализация их оказывается намного сложнее.
Критерии (4.8) и (4.9) могут применяться совместно — каждый для определенной области частот. Выбор критерия аппроксимации определяется физическим смыслом задачи. Общий принцип определения значений весовой функции д(за) состоит в следующем: чем точнее должно выполняться (4.6) при за=я~я тем больше должно быть значение п(ж~), При использовании критерия (4.9 )для отдельных подынтервалов частот аы(ш(азз задаются значения в, такие, чтобы на этих подынтервалах выполнялось неравенство ( В (за) — Ф (за, с) ! ( еб. (4.10) Тогда для 1чго подынтервала д (пз) =- Р/ез, (4.11) где Р— произвольная константа (нормирующий множитель), общая для всех подынтервалов. '1 прн аыа~ш~~аз1; п(за) = 1О при азз~(ц ~(азз, "ри азз ~ «~ азз.
В соответствии с (4.9) н (4.11) определяется оптимальная функция Ф(ш, с) = =Ф~з)(за, с), удовлетворяющая (4.10). Критерий оптимальности формулируется следующим образом [4.2]: пусть в соответствии с (4.9) и (4.11) построены функции Фл-1(в, с) порядка К вЂ” 1 и Фл(и, с) порядка К 1см. (4.7)], при этом Фк(за, с) удовлетворяет (4.10)„ а Фл,(ю, с) — нет. Тогда не существует функции Ф(ш, с) порядка, меньшего К, удовлетворяющей (4.10), т. е. построенная функция Фл(зз, с) среди всех функций Ф(ш, с), удовлетворяющих (4.10), имеет наименьший порядок и Ф(з)(за, с) =Фл(ш, с). Соотношение (4.11) можно использовать совместно с (4.8). Однако в этом случае (4.11) следует рассматривать лишь как эвристическую рекомендацию. Иногда требования к функции Ф(ш, с) задаются в следующей форме: азу ( Ф (ю, с) ( $зз.
В этом случае 12.11] следует принять: В (ы) = Д,у+ ~ат)!2; Ч (~) )~) 621 $11) и определять оптимальную функцию Ф<з>(за, с) в соответствии со сформулированным выше критерием оптимальности. 4.2.2. Избирательные фильтры с линейной ФЧХ Для этих фильтров аппроксимируемые функции имеют вид: в полосах пропускания В(за)=1; в полосах задержнвания В(за)=0; в промежуточных полосах значение В(за) не задано и может быть принято любым в пределах от Одо 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
