К. Шмидт-Ниельсен - Размеры животные почему они так важны (1035534), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Линна регрессив для разных показателей степени в уравнении у ахь имеют разные наклоны в зависвмостн от величины Ь. Наклон Ь может свидетельствовать о пропорцвональности, но часто закономерным образом отклоняется от пропорциональноств. Все графика построены в логарифмическом масштабе. А. Стоимость яблок увеличивается пропорционально количеству купленных яблок; объем крови у млекопитающих пропорционален размеру тела (Ь 1,О), Б. Скелет млекопитающих увеличивается ие пропорционально размеру тела, а быстрее (Ь=1,08). В. Интенсивность обмена веществ уаелвчиаается прн увеличении размеров тела, но медлеяиее, чем прн пропорциональной зависимоств (Ь=0,78).
Г. Объем зрнтроцитов (гематокрит) у всех млеко. пвтающих не зависит от размеров тела (Ь=О). Д. Число сердечных сокращенвй в 1 мин снижается при увелнчении размеров тела; наклон линии регрессии отрицательный (Ь= — 0,28). концентрация гемоглобина в крови одинакова у всех млекопитающих. Наблюдающиеся отклонения от средней.
не связаны с размерами тела. Существуют функции, которые уменьшаются при увеличении размеров тела, что дает отрицательный наклон линии регрессии. К ннм относится частота сердечных сокращений. Услона частота сердечных сокращений может быть 25 — 30 ударов в минуту, тогда как у мыши — несколько сотен. В целом у млекопитающих частота сердечных сокращений при увеличении размеров тела снижается и линия регрессии имеет отрицательный наклон — 0,25 (рис. 2.6, Д). Все графики на рис. 2.6 построены в логарифмическом масштабе и линии регрессии представляют собой прямые (какими они и должны быть, когда выражают логарифмические функции). Интересно сравнить два графика одной и той же функ- Проблемы размеров и масштаба Псгарифмиееский масшгаб Пииейимй масииаб 10 1000 1ОО 10 боо 1 10 100 1000 1000 0.1 ООО Рис.
2.7. Есля графики степенных функпвй построить з линейном масштабе, то они будут сильно разлячаться. Еслв же построение провести в логарифмвческом масштабе, то получаются сходные прямые линии. Следует отметить, что явно небольшие различия в наклонах двух линий регрессам в логарифмнческом масштабе могут в числовом выражевви быть очень сушественными. ции, построенных в арифметическом и в логарифмическом масштабах. На рис. 2.7 показаны функции с показателями степени, равными 1,0 и 0,75. В первом случае прямая линия получается только при наклоне, равном 1,0, и различие между линиями очень велико, Когда графики тех же функций строятся в логарнфмнческом' масштабе, получаются прямые линии '(рис.
2.7), почти ие отличающиеся друг от друга. Следует обязательно помнить то, что небольшие различия в показателях степени оказываются весьма значительными в арифметическом выражении. Размерности Ньютоновская механика оперирует фундаментальными понятиями массы, длины н времени. Их можно обозначить как М, 1. н Т. Важно отметить, что они не связаны с реальными числами.
Символ 1 обозначает размерность длины нне зависимости от числа или единиц. Вместе с тем данное расстояние есть физическая величина и выражается определенным численным значением в определенных единицах. Символы размерности представляют собой простой, но важный математический язык. С ними можно манипулировать по определенным правилам, причем самое главное заключается в том, что используют их только в операциях умножения и деления, но не сложения и вычитания. Важное применение символов размерности †э операции, получившие название анализа Глава 2 размерностей и имеющие огромное значение в инженерии, но пока мало используемые в биологии.
В данном контексте стоит вспомнить слова физика П.В.Бриджмена: «Следует особенно отметить, что результаты анализа размерностей нельзя осмысленно применять к системе, фундаментальные законы которой не сформулированы в форме, независимой от величины фундаментальных единиц. Например, анализ размерностей нельзя применять к результатам многих биологических измерений, хотя как описание явлений они могут быть совершенно обоснованными с точки зрения физики. По-видимому, в настоящее время биологические явления можно полностью описать уравнениями только с помощью такого количества размерных констант, сколько имеется физических переменных. В этом случае, как мы видели, анализ размерностей неинформативен» (Р. %. Вг1бншап, 1937, с.
53). Одно из существенных правил использования размерностей состоит в том, что уравнения должны быть однородными, или согласованными по размерностям. Это правило 150 лет назад сформулировал Фурье, но важными следствиями из него часто пренебрегают. Рассмотрим, как это относится к хорошо известному уравнению Пуазейля, описывающему поток жидкости через цилиндрическую трубку: Скорость потока = —.
зрРг' зч~ Здесь использованы следующие обозначения и размерности (см. приложение Д): р — плотность жидкости М1 Р— разность давлений МИ-'Т-' г — радиус трубки Ь ц — вязкость жидкости М1. 'Т ' ( — длина трубки Ь. Подстановка размерностей каждой нз переменных в уравнение дает следующее выражение: Размерность уравнения Пуазейля сводится, таким образом, к отношению массы ко времени, т. е. скорость потока выражается как масса жидкости в едияицу времени.
Это показывает, что уравнение однородно по размерности н что две константы уравнения и и 8 являются, следовательно, безразмерными и, кроме того, что это уравнение справедливо для любой адекват« ной системы единиц. Проблемы размеров н масштаба Иногда уравнение Пуазейля представляют так: Скорость потока = —. мрге зтф Это отличается от формы, которую мы использовали выше и которая, как мы обнаружили, правильна в отношении размерности. Быть может, эта вторая форма уравнения неверна? Проверка дает следующий результат: (МЬ-зт ) уе) (Мй-Ч-зр(ц Теперь мы видим, что это уравнение имеет размерностьобьема в единицу времени, т. е. тоже выражает скорость потока.
Сравнение этих двух уравнений показывает, что во втором отсутствует величина плотности жидкости (р). Таким образом, анализ размерностей показал, что оба уравнения являются правильными с точки зрения размерностей, и позволил быстро обнаружить, в чем состоит различие между ними'. Безразмерные величины Некоторые величины пе имеют размерности. Наиболее очевидная безразмерная величина †э отношение двух физических величин одного рода. Например, мы определяем отношение длинной и короткой сторон этой страницы н обнаруживаем, что оно равно 1,5.
Это число †отношен двух величин одной размерности длины, и оио безразмерно. Отношение не зависит от выбора единиц измерения в будь это миллиметры, сантиметры или дюймы (но обе величины должны быть выражены в одних н тех же единицах). Другие примеры величин, не имеющих размерности,— это механическое напряжение (зтга!п) и коэффициент трения.
Механическое напряжение — это отношение изменения величины к общему значению величины, в которой это изменение произошло. Коэффициент трения — это отношение силы, необходимой для перемещения одной поверхности относительно другой, к силе, прижимающей этн поверхности друг к другу. Обе эти величины безразмерны'. ' Ответам, что рззмерностн М, Ь н Т не следует збсолютнзвровзть, В нвженервой првктвке в качестве фундзментзльвой резмерноств попользуется свлз, которая вместе с длввой н временем дает систему РЬТ.
В етой свстеме сила Р, мессе=РЬ-'Т', рзботз=РЬ, мощность=РЬТ-' н т. д. Это можно срзвннть с рззмервостямв снстемы МЬТ, првзеденнымв в прнложеввн Д. з Везрззмервые отношения опвсенвого здесь тапа имеют те же мзтемзтнческне свойства, что в символы размерностей: нх можно умножать в делать, но нельзя складывать нлн вычитать, Глава 2 В гидродинамике часто используется безразмерное отношение †чис Рейнольдса, являющееся отношением между силами инерции и вязкости. 0 значении числа Рейнольдса речь пойдет в последующих главах, н здесь мы этого касаться не будем. Будет полезно, однако, кратко коснуться нескольких безразмерных отношений, которые характеризуют тело млекопитающих. Рассмотрим пример: наблюдения показали, что сердце млекопитающих в целом с определенным допуском на изменчивость составляет 0,87а массы тела, а объем крови у млекопитающих составляет 5а~р' массы тела.
Напишем оба этих утверждения в виде уравнений Поскольку обе величины — массу сердца и массу крови — мы относим к массе тела„то они должны быть связаны и между собой, поэтому мы можем написать = — = 8,3. Мыравв О, ООО Это уравнение утверждает, что масса крови (нли, что удобнее, ее объем) у млекопитающих в восемь раз больше массы сердца (нли его объема). Полученное нами соотношение (от которого могут быть отклонения) описывает объем крови и размеры сердца у млекопитающих и в общем применимо к животным с любыми размерами тела — будь то мышь или слои.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
