Стентон Гланц - Медико-биологическая статистика (1034784), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Lee. Statistical methods for survival data analysis. Wiley, 2nd ed..New York, 1992.АНАЛИЗ ВЫЖИВАЕМОСТИ375Рис. 11.1. Продолжительность жизни плутониан после начала пассивного курения. А. Ход исследования показан в обычной шкале времени. Жизнь плутонианина после начала пассивного курения представлена горизонтальным отрезком. Левый конец отрезка—это начало наблюдения. На правом конце отрезка — черный или белый кружок. Черный кружок означает, что плутонианинумер и, таким образом, продолжительность его жизни нам известна.
Белыйкружок означает, что исследование закончилось до его смерти либо он куда-тоуехал — словом, выбыл из-под наблюдения. Относительно выбывших нам известно только, что они прожили не меньше определенного срока. Б. Ход исследования показан так, как будто все плутониане начали наблюдаться одновременно. Теперь на шкале времени не астрономические часы, а часы наблюдения. Такое представление данных облегчит нам дальнейшие расчеты.376ГЛАВА 11прекратилось ли исследование, уехали они куда-то, — всех ихмы будем называть выбывшими.На рис.
11.1 Б изображены те же данные, что и на рис. 11.1А.Теперь отрезки, соответствующие периоду наблюдения за каждым плутонианином, расположены так, как если бы все наблюдения были начаты в один момент. Это представление данныхболее удобно. Теперь сразу видно, кто сколько прожил посленачала пассивного курения. Кружок на правом конце каждогоиз отрезков показывает, умер плутонианин за время наблюдения (кружок закрашен) или выбыл (кружок не закрашен).Если бы продолжительность наблюдения была одинаковой, мымогли бы рассчитать долю выживших и применить методы, описанные в гл.
5. Однако поскольку участники входили в группунаблюдения на разных сроках исследования, это условие не выполняется. Если бы все наблюдаемые умерли, то можно было быприменить методы, изложенные в гл. 2 или 10. Однако и этого непроизошло, как это обычно и бывает в исследованиях такого рода.Для анализа выживаемости нужны новые методы.
Прежде чем сними познакомиться, сформулируем требования, которым должны удовлетворять все исследования выживаемости.• Для всех наблюдаемых известно время начала наблюдения.• Для всех наблюдаемых известно время окончания наблюдения, а также — умер он или выбыл.• Выбор наблюдаемых произведен случайно.Для начала мы научимся строить кривую выживаемости, азатем перейдем к оценке статистической значимости различийкривых выживаемости.КРИВАЯ ВЫЖИВАЕМОСТИКривая выживаемости задает вероятность пережить любой измоментов времени после некоторого начального события. Этувероятность обычно называют просто выживаемостью. В примере, который мы сейчас разбираем, кривая выживаемости применяется для изучения продолжительности жизни.
Однако кривыми такого рода можно описать продолжительность самых разнообразных процессов. Тогда в качестве исхода будет выступатьАНАЛИЗ ВЫЖИВАЕМОСТИ377Рис. 11.2. Типичная кривая выживаемости. В начале значение функции выживаемостиS(t), естественно, равно 1. В дальнейшем оно уменьшается, постепенно приближаясь кнулю. Время, за которое значение функции выживаемости достигает значения 0,5, называется медианой выживаемости.не смерть, а другое интересующее нас событие, не всегда нежелательное.
Например, можно изучать срок лечения какого-либозаболевания (исход — ремиссия), длительность лечения бесплодия или эффективность контрацепции (исход в обоих случаях— наступление беременности), долговечность протеза (исходполомка).Для начала, как всегда, рассмотрим кривую выживаемостидля совокупности. Такая кривая получилась бы, если бы мы проследили судьбу всех плутониан от рождения до смерти. Выживаемость к моменту времени t обозначим S(t), Дадим определение.Выживаемость S(t) — это вероятность прожить более t смомента начала наблюдения.Для совокупности эта вероятность выражается формулой:Число переживших момент t.S (t ) =Объем совокупностиТипичная кривая выживаемости изображена на рис. 11.2. Понятно, что в точке 0, соответствующей начальному моменту, например моменту рождения, выживаемость равна 1. Затем кривая378ГЛАВА 11постепенно понижается и, начиная с некоторой точки, становится равной 0.
Возраст, до которого доживает ровно половинасовокупности, называется медианой выживаемости.Наша цель состоит в том, чтобы оценить выживаемость повыборке. Никакого другого способа ее оценки не существует.Если бы не выбывшие, это было бы очень просто:Число переживших момент t.Sˆ (t ) =Объем совокупностиВ тех случаях, когда имеет место выбывание (а это бываетпочти всегда), мы не сможем воспользоваться этой формулой.Вместо этого поступим следующим образом. Для каждого момента времени, когда произошла хотя бы одна смерть, оценимвероятность пережить этот момент. Такой оценкой будет отношение числа переживших этот момент к числу наблюдавшихсяк этому моменту.
Тогда, согласно правилу умножения вероятностей, вероятность пережить некоторый момент времени для каждого вступившего в исследование будет равна произведениюэтих оценок от нулевого до данного момента. Рассмотрим этупроцедуру более подробно на примере плутонианских пассивных курильщиков.Будем считать, что все начали наблюдаться в момент времениt = 0, и от этого момента будем отсчитывать все сроки (рис. 11.1Б).Расположим плутониан по возрастанию длительности наблюдения (табл. 11.1) и укажем саму эту длительность во второй колонке таблицы.
Длительность наблюдения выбывших плутонианпометим знаком «+» — это будет означать, что плутонианин прожил более такого-то срока, а на сколько — неизвестно. Первыйплутонианин (К) умер через 2 часа, второй (З) — через 6 часовпосле начала наблюдения. На 7-м часу умерли двое — А и В, наэтом же сроке выбыл из-под наблюдения плутонианин И.Первый плутонианин умер в 2 часа. Наблюдались в это время все 10 плутониан. Значит, вероятность умереть в 2 часа —d2/n2 = 1/10 = 0,1. Соответственно, вероятность не умереть в 2часа для тех, кто дожил до этого времени:d19f2 = 1 − 2 = 1 −== 0, 900.n210 10АНАЛИЗ ВЫЖИВАЕМОСТИ379Таблица 11.1. Результаты исследования продолжительностижизни плутониан после начала пассивного курения.НаблюдалосьУмерлоВремяк моменту tв момент tПлутонианинtntdtК2101З691АиВ782И7+–Е851Ж941Д11+Б1221Г12+–Следующий плутонианин умер в 6 часов.
Наблюдалось к этому времени 9 плутониан. Для доживших до 6 часов вероятностьумереть в 6 часов — d6/n6 = 1/9 = 0,111, а вероятность не умереть в 6 часовd1 8f 6 = 1 − 6 = 1 − = = 0, 889.9 9n6Теперь мы можем оценить вероятность, что плутонианин проживет более 6 часов, то есть Ŝ (6 ). Прожить более 6 часов — этозначит не умереть в 2 часа и не умереть в 6 часов. То есть, поправилу умножения вероятностей,Sˆ (6 ) = f × f = 0, 900 × 0, 889 = 0, 800.26Уже рискуя надоесть читателю однообразными рассуждениями, перейдем к следующему печальному событию.
В 7 часовумерло сразу 2 плутонианина, наблюдалось к этому времени 8.Имеемd2 6f 7 = 1 − 7 = 1 − = = 0, 750,8 8n7Sˆ ( 7 ) = f 2 × f 6 × f 7 = 0, 900 × 0, 889 × 0, 750 = 0, 600.380ГЛАВА 11Внимательному читателю может показаться, что мы зря усложняем дело. Действительно, приведя сложные выкладки, мыполучили то, что и так было очевидно: если через 7 часов умерло четверо из десяти плутониан, то дольше 7 часов прожилошестеро и выживаемость составляет Ŝ (7 ) = 6/10 = 0,600.Еще терпение! До сих пор у нас не было выбывших, поэтому результаты и совпадают. Посмотрим, что будет в 8 часов. В 8часов умирает плутонианин Е.
Наблюдаются к этому времени 5плутониан (4 умерли, 1 выбыл: 10 – 4 – 1 = 5).d1 4f8 = 1 − 8 = 1 − = = 0, 800,n85 5Sˆ (8) = f2 × f6 × f7 × f8 = 0, 900 × 0, 889 × 0, 750 × 0, 750 = 0, 480.Если бы мы считали «долю выживших» старым способом,мы бы получили для Ŝ (8 ) оценку 0,5. В дальнейшем, чем больше будет выбывших, тем больше будет и расхождение.Описанная процедура называется расчетом выживаемостимоментным методом, или методом Каплана—Мейера.Математическое выражение моментного метода:d Sˆ (t ) = Π 1 − t ,nt где d t — число умерших в момент t, nt — число наблюдавшихся к моменту t, П (большая греческая буква «пи») —символ произведения. В данном случае она означает, чтонадо перемножить значения (1 – d t/nt ) для всех моментов,когда произошла хотя бы одна смерть. В принципе, можно перемножать и по остальным моментам, однако, еслиd t = 0, то (1 – d t/nt) = 1, а умножение на единицу на результате никак не скажется.В табл.
11.2 расчет выживаемости моментным методомприведен полностью. Теперь мы можем представить результаты исследования выживаемости плутониан посленачала пассивного курения в виде графика (рис. 11.3). Точки на графике соответствуют моментам, когда умер хотябы один из наблюдавшихся. Эти точки обычно соединяютступенчатой линией. В момент времени 0 выживаемость со-АНАЛИЗ ВЫЖИВАЕМОСТИ381Таблица 11.2.
Расчет кривой выживаемости плутониан посленачала пассивного курения.НаблюДоля переПлутонидалось к Умерло в жившихВыжианинВремя моменту t момент t момент t ваемостьКЗАиВИЕЖДБГtntdt2677+8911+1212+1098–54–2–112–11–1–ft = 1 −dtntŜ (t )0,9000,8990,7500,9000,8000,6000,8000,7500,4800,3600,5000,180ставляет 1,0, затем постепенно снижается. В данном случае умерли не все наблюдавшиеся — поэтому нуля линия не достигает.Медиана выживаемостиНаиболее полная характеристика выживаемости — это криваявыживаемости, которую мы только что построили. Хотелось бы,однако, иметь и обобщенный показатель, характеризующий выживаемость в виде одного числа. Распределение по продолжительности жизни, как правило, асимметрично, поэтому лучшевсего тут подходит медиана. Определение медианы выживаемости для совокупности мы дали выше. Для выборки медиана выживаемости определяется как наименьшее время, для котороговыживаемость меньше 0,5.Чтобы определить медиану выживаемости, нужно построить кривую выживаемости и посмотреть, где она впервыеопускается ниже 0,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
