Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобин В.К. - Распознование и цифровая обработка изображений (1033973), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Будем говорить, что вершины а (с) и Ь (зз) противолежат вершинам с (а) и з( (Ь) в порядке упоминания. Все другие комбинации из двух вершин (точнее, сами вершины) прилежат друг к другу. Таким образом, каждая вершина имеет одну противолежащую ей вершину и две прилежащие. Теперь из четы14О х аппликат, соотв вующих кам а Ь с и ( выб рем три мень (а) ., ( ) и х. (~4), см. рис. 4.2), однозначно определяющие в остранстве некоторую плоскость Я»». Оставшейся аппликате х» (Ь) " есте с аппликатами х» (а) и х» (с), соответствующими прилежащим вершине Ь вершинам а и с, отвечает другая поскость 9»ь,+1. Проня линии пересечения этих плоскостей на плоскость фоО проходит рез вершины а и с, определяя тем самым тип разбиения прямоуголька аЬсЫ на два треугольника: асИ и аЬс. Условимся, что полученные ким образом плоскости Д», и (;)»„+1 исключаются из рассмотрения ' я значений ф и О, лежащих соответственно вне ограниченных упомя- утыми треугольниками областей плоскости фоО.
Рассмотренную про- 'едуру повторим для каждого элементарного прямоугольника этой 'лоскости. Полученную кусочно-линейную поверхность будем считать ппроксимирующей зависимость х» (ф, 6). Требуемая точность ап- роксимации может быть обеспечена надлежащим выбором шагов .' вантования по осям оф и о9. Помимо характера функции х» (ф, 0) на определяется еще точностью фиксации последней в дискретных ~очках.
Согласование этих показателей всегда может быть реализовано азумными средствами Пронумеруем треугольники плоскости фоО. Положим, что тре- , гольник ас1з (см. рис, 4.2) имеет номер ». Введем в рассмотрение ап- , ' роксимирующие зависимость к» (1р, 0) функции г сп, сп, х. (ф, О) = — — ф — ' — Π— -С.. (»=1, 2, ...,Н»,), = (,и„., + вч» .Где Н»„В»», С»» — коэффициенты уравнения (4.7); Л( 2ф01'(ЛфЛО) — число треугольников плоскости 1роО; Лф, ЛΠ— шаги вантования по осям о1р и оО. Будем считать каждую из этих функций определенной только на соетствующем ей треугольнике плоскости фоО.
Тогда 7 7С11» -„, ~ О<Риф, х» (ф, О) ж — ~ — ф + — Π— С 1~, (4. 8) 1 Н ВН 1 ) О<О<О. » Π— 81, ΄— 81, ΄— О„ Х,— Х1 Х вЂ” Х1 хз» (4. 9) »2»»1»1 фз» ф1» Отсюда )» С Ф 1 821,1 ф„„о„,( О» » 1з 4 О„, х„, В в фЗ1 ХЗ1» ф21» 21» 141 Для определения коэффициентов Н„В„С, (индексы 1 н ) временззо опущены) обозначим три точки, через которые проходит плоскость 1Ф» кортежами (1р„, О„, х„), (фз», О,», х„), (фз», Оз», х„).
Тогда уравйхеиие этой плоскости можно записать в матричном виде: где Емч хает ~ ~ фз1ч хзгу ] р„, е„, ю (у,1 =у — у1 , .с 2,3; у=вр, Е, х). Подставляя значения Н„Вч, Су в (4.8), получим выражение (р — р„) '" "' +(е — е„) «р. е) = — ~)'„ ч=1 1ч (4. 10) Рнс. 4.5. Пример кусочнолнвейной аппрокснмацвн зависимости хц (ф Е) Рнс. 4.6.
Проекция линна Еа на плоскость врОЕ: ! — З номера частеа обаастн О, Порядок нумерации точек не имеет значения, поскольку через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Найдем плотность йтц (х1) распределения 1'-го признака /-го объекта для случая, когда плотности распределения углов обзора ф, 0 и системы этих случайных величин соответственно имеют вчд у~ (ф) = =1)ф, дт(0) = Не, ла(ф, 0) = 1)(фе); (О< р<ф, 0<0<0).
Получим вначале выражение для функции распределения 1'-го признака: ОЦ(Х1) в Р (Х' < ХЦ), (4,1!) где хц — ..екоторое значение случайной величины Х'ц (признака х, объекта А в). Для иллюстрации вывода положим,что аппроксимированная кусочно-линейной поверхностью зависимость хц (ер, О) имеет вид, показанный на рис. 4.5. Проведем плоскость 9, йараллельную плоскости врое, на расстоянии хц от нее.
Эта плоскость пересечет поверхность хц (ф, О) по некоторой пространственной ломаной линии Е а (на рисунке она замкнута, но может быть и незамкнутой или может состоять из нескольких ветвей). Спроецируем ее на плоскость ерое (рис. 4.8), при этом проекция разделит плоскость тро8 на две области: для одной— 142 сота поверхности над плоскостью ероО будет мекыпе хц, а для дру- ой — больше хц. Обозначим через 17о первую область. Чтобы выпол- ялось соотношение (4.11), случайная точка (вр, О) должна, очевидно: опасть в область 1)о.
Следовательно, оц(х,)-Р((р, е) п,1=)") ут(ф, е)уфм. о, В данном случае в„в*,в -=' ) ~ вмв- — ' а' [Ц внв ]. ' де 17, — области элементарных треугольников плоскости трое с но,мерами тв = 1,2,..., 7, составляющие область Ра. Дифференцируя 6~~ по хц, получим плотность распределения случайной величины 1)рбаут)у) ,х',: у вцв*,в-в;, в*,в-= у "— Ц вМв]. врЕ, ~ "хц оч 143 т. е.
птва р ), Р1узрврзр) уц( 1)-гуцу( „). уцч( 1у)=01)у( 1у)= ~~то Ум) Р 1 Е ухцч "" Рнс. 4Л. Пример графического предстааленяя зависимости хгч (вр, Рассмотрим процедуру вычисления произ,', вольной элементарной плотности распределе:; иия йвц, (х1,) несколько подробнее. Предположим, что хе, (тр, 01А)) ' имеет вид, показанный на рис. 4.7 (ниже индексы а и) для упрощения ,; записи опускаются). Здесь 1 < ач< Зч' фау вузч' !у Зу) ч ( .1 4.
2) в р„— ф„=лр, е„— е„=ле Пусть далее уравнение плоскости О, (рис. 4.7) в отрезках имеет вид ф/и +е)Ву+ху)с„=1. Тогда, используя формулы (4.8) и (4.12), нетрудно показать, что ЬвРЬЕх1.„— ЬРЕ (х „— х ) авф1 ч (хзч —" у)+афавх1 ч 'ф(" .-" .) ],~Ф. леФ,„( „— „) — лче„( „- „) л ле Н Л1р(х — х ) Н, в, ле лф ле х ( зч «1»)» хзч х1» ч хз» «2ч в, Л егко понять, что 6» (х,) = О, зт, (х ) = О при х, я. х,». Покажем, что при хз, (~ х» (~ х„имеют место равенства ч( ч) и Н 2Ф О Н» Ф2ч Ф1» + В, ń— О„ ач( ч) ре Нч Фг,— Ф1» +— В, ΄— О„ Л1РЛЕ(х — «1 ) ( Зч 1ч)( 2» «1ч) Действительно, прямая ез1 (рис.
4.8) представляет собой проекцию линии пересечения плоскости Я, с плоскостью, параллельной плоскости вро8 и отстоящей от нее на расстоянии х„ ( хч ( х,„. Нетрудно найти ординату 8, точки пересечения этой прямой с прямой сзй1 ч Ф2ч Ф!» е в Н» Ч12» Ф1» +— в, о„— егч Как отмечалось ранее, где Яз1и — площадь тРеУгольника ЬР(. Тогда в 2 лФло 1 Н Г В вЂ” — — (х — С )+ Фг +01» 21р О 2Ф Вч ч ч Следовательно, — » (х — С )+ Фг»+01» лрле(х — ) Ф 0(хзч «1») (хз» «2») действительно, яв Е1ч ВзИ ) ) "01ЗФ Я2» Чв Н в, в, где 1р — (х С ) 01» 1Ъ (» ч) Н ч » Рис 4 Е ГРафаческаЯ ил лаве»рация определеиия плотности распределеиия я (х ) при х1 < х ~ «2» Р 1» Рис.
4.9, ГРафииескаЯ Яллострацяя определеиия плотности распределеиии Уч (зч) пи хч<х <х с и» Ф1 + — 01„+ — (х — С ) ч ч Тогда Нч Ф2ч 'Р1ч В 02» — 01 Наконец, 144 Е1» я, 0 (х ) я~ ввФвво „О о' ФЕ) ) 2ФЕ е. я что и требовалось показать. Здесь Зо, — площадь области 12, или треугольника ест; » 2» 1ч Легко понять также, что (рис. 4.9) л рле Ч ( Ч) — — — ВЗ1Ю 2» в ~~ ЗЧ ев г В 1 е' В Е2» е211 Вч — —" (х — С )+ — Фг»+01» ч ч Л рЛО д (х) — —, я (х)=0 при «»~хзч 2~р О Таким образом в случае распределения углов обзора 1р и 8 по вако иу равной плотности плотность распределения 1-го признака 1-го 145 объекта будет равна »т дц(л;) ~и~~ йц,(л, ), Чс» ЛАЛО (л — хгт) драв(лз,—,) ~р 8(хз — л~т) (хз — л ) ят(» ) = к»д зцкы к,"», »1 кв», ке к» к(»1 Рис, 4ЛО, Плотность рзспределеиия лт (лт) иа всем дязиззоие измеиеиия лт Рис.
4,11. Пример плотности рзсиределеиия к» (лй 147 где яц (хез) — элементарная плотность, соответствующая плотности, определяемой выражением (4.9); (индексы 1, 1 и этом соотношении опущены). Вид распределения д», (х„) иллкзатрирует рис. 4.10. Можно было бы показать, что изменение.х,„' в диапазоне (х„, хзт) приводит лишь к яеремещеиию отрезка й, в той же диапазоне.
Если же х,„= х,„= х,„, то ят (х„) есть б-функция, площадь под кривой которой равна 17д( Лфйй/(2~р9). Найденные за висимости ац (х,) в случае необходимости корректируются усреднением по несущественным параметрам, дополнительно влияющим на случайность описания формы проекции. Типичный пример распределения йц (х») показан на рис. 4.11. Описанная процедура получения а» (х») легко реализуется на ЭВМ.
Ее недостатки — ограниченность распределения углов обзора законом равномерной плотности; большой объем памяти, требуемый для хранения каждого распределения а» (хз) и достигающий в худшем случае 2 (р)Ь<р+ 1) (91»з9 + 1) ячеек; сравнительно большое время, необходимое для подсчета значений дц (х~) в промежуточных точках, что связано с нерегулярностью'разбиения оси абсцисс по диапазону,— е нетрудноустранить. Действительно, аппроксимируя произвольное р спр деление углов обзора ступенчатой функцией, прн которой их рас- апределение в пределах каждого элементарного прямоугольника плосности уо9 равновероятно, можно компенсировать первый недостаток.
14о ,Устранение же последних двух недостатков достигается ступенчатой аппроксимацией плотностей йц (х~) при равномерном разбиении диапазона изменения х~ на поддиапазоны. Однако'более простое решение дает метод статистического моделирования. Определение плотностей распределения признаков при произволь' ных распределениях углов обзора по методу статистического модели- рования. Введем в ЭВМ информацию для вычисления зависимости .
ров (4.10). Это в основном аппликаты, соответствующие вершинам элементарных прямоугольников плоскости ~ро9. Пусть в машине имеется два д атчика псевдослучайных чисел ае и аз, диапазоны изменения и зако". цы выработки которых соответствуют диапазонам изменения и законам распределения углов ~р и 9 (упомянутые датчики легко реализуются программно). Тогда каждой паре чисел (а,з, аз) отвечает единственная .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
