Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Точность восстановления в этом случае определяется числом проекций и ошибками их измерений. В качестве второй модели рассеивающей среды выберем такую, в которой параметры среды представляют собой непрерывную функцию с малой дисперсией флуктуаций в исследуемом сечении обьекта При этом мы по-прежнему будем считать рассеяние однократным, но будем учитывать затухание рассеянной волны вдоль пути распространения Такое приближение называется первым приближением многократного рассеяния В этом случае изменение интенсивности рассеянного поля в направлении и (см. рис 3 7), вызванное неоднородностями, лежащими на оси Е, будет обусловлено двумя факторами.
приростом интенсивности за счет рассеяния в направлении и первоначального поля и ослаблением интенсивности за счет рассеяния при распространении вдоль оси во все направления В силу приближения однократного рассеяния излучением, пришедшим от других неоднородностей, не лежащих на выделенной оси наблюдения Е, можно пренебречь. Тогда уравнение переноса излучения запишется в виде 61(Е, п)/Я =1,(Е, и,) а, (Е, п — па) У(Е, и) аа(Е). (3.20) Решение данного линейного дифференциального уравнения ищется в виде у=Се-э+ ) 1,(Е, п)~,(Е) е е-"М где С определяется с помощью подстановки в уравнение граничных условий. Граничные условия в нашей задаче таковы, что ( интенсивность рассеянного поля в точке $=0 рава 1(0) =1з(0).
Поэтому мы получаем значение С=О. В этом случае решение (3.20) запишется в виде и Е и /(, /-(/.з../ °,((/ р ). ((/а р — );((/а]р/,(зз(/ о где 0 и и — граничные точки сечения. Для определения коэффициента экстинкции рассеивающих сред в исследуемом сечении ху будем использовать излучение с известным распределением интенсивности в этом сечении 1з(Д. Предположим также, что индикатриса рассеяния Г(=о((ч)1пз($) известна и обладает свойством однородности, т.
е. Г(=сапа( для каждой точки среды. Заметим, что в выражении (321) присутствует интеграл с переменным верхним пределом от искомой функции пи(х,у), поэтому решение интегрального уравнения относительно оз невозможно, Покажем, что оптические свойства среды можно определить, выбирая в качестве исходных данных интенсивность поля, рассеяняого в противоположных направлениях (п и — п), т, е, используя сумму 1з = 1(и, и)+1(0, — и).
Выражение для 1(0,— и), также полученное решением уравнении переноса излучения, имеет вид, аналогичный выражению (3.21)( и и и /(з,— /=/,(/,((/,((/ар (,(//а' р — ),(ца]и((ззз/ а з з огда и Г е Г и / =(,(/,((/;((/(-р()..а р-р("(..р(]) х з , поля в исследуемой среде учитывается только однократное рассея; ние и затухание поля невелико, т.
е. и 1р/ = ) иа (з) з(с ( !. о з Раскладывая сумму экспонент в выражении (3.23) в ряд, после несложных преобразований получаем (3.24) и и Е и / / ) / (//,((/ з(-(рг(((р(.р (,з('(,и(] х о й и х *р [ — (;((/р(] а. (3.23) ' При дальнейшем анализе предположим, что при распространении и х-р (-).,((/а]а. (3.25) 95 Считая, что интенсивность зондирующего излучения постоянна ч плоскости ху, т. е.
1и=сопз(, и вспомняая условие )',=сонэ(, получаем 1, к: 1и1~ (2+1с+ )сто) йе и. (3.28) Предположим, что член )тз(4 равен по величине погрешности из. мерений 1з, которая, как правило, при томографическнх измерениях составляет около 5 ~й, т. е. й~/4~0,5 (2+)7). Максимально допустимое значение )с в этом случае будет равно 0,7. Полагая, что затухание в среде не превышает найденного значения, что справедливо для широкого класса обьектов, переписываем урав. неиие (3.25) при условии 1в=сопз( в виде 1з = 1оЛ (2 + )г') )с' е-".
(3.27) Таким образом, измеренная величина 1з представляет собой некоторую функцию от интеграла искомого распределения ог(х,у) по выбранной прямой наблюдения $. Учитывая это, перейдем л нормальной записи луча наблюдения хсозО+уз(пО=р и пере. пишем уравнение (3.27) в виде 1,(р, 6) =~1, (2К(р, 6)+1т'(р, 6)) е-и~Р'1, (328~ где 1~(р,6)= Ци,(х, у)6(р — хсозй — уз1пй)с(хну (329) — преобразование Радона функции ав(х,у). Следовательно, измеренные проекции 1з (р, 6) связаны с преобразованием Радон.
коэффициента экстинкции ов(х,у) нелинейным уравнением (3.28) Функция (217+17')е и является двузначной; однако в нашем случае двузначность исчезает, так как при Н<)/2 функция (2Я+ +Я')е-е мочотонно возрастающая. Решая (3.28) относительно преобразования Радона )7(р,О) для каждой пары (р,О), можно затем восстановить оч(х,у) с помощью алгоритмов вычислительчой томографии. Таким образом, измеряя в диапазоне углов 0«0(2и суммарную интенсивность поля, которое рассеяно в плоскости, перпендикулярной к падающему полю, мы получаем набор данных, необходимый для решения обратной задачи, т.
е. для определения оптических свойств среды. 3.4.3. Диагностика оптического излучения В случае исследования распределения интенсивности в поперечном сечении светового потока также целесообразно использовать схему измерений, описанную выше.
Роль рассеивающей среды играет тонкий тест-объект с заведомо известным распределением коэффициента экстинкции ое(х,у), расположенный перпендикулярно вектору светового потока с искомым распределением интенсивности 1,(х, у) в сечении ху. Исходными данными для обработки служит, как и ранее, интенсивность поля 1(р,О), измерен- 96 иая для различных лучей наблюдения. Очевидно, что в качестве тест-объекта с известным распределением оа(х,у) могут быть использованы среды, распространение поля в которых описывается различными уравнениями. Так же как и в $ 3.4.2, рассмотрим два вида таких сред. В первом случае — случае однократного рассеяния — тест-объект представляет собой тонкий слой дискретных рассеивателей с малой концентрацией.
Уравнение для проекций в этом случае описывается выражением (3.19). Очевидно, что восстановление искомой функции 1, при заданном аэ(х,у) представляет собой достаточно простую задачу. В ряде случаев использование такого тест-объек1та может быть затруднено, поэтому представляет интерес рассмотрение второго случая, когда среда ослабляет волну за счет рассеяния во все направления и распространение волны в ней описывается уравнением (3.20). Воспользуемся выражением (3.21) для определения 1э(х,у), которое является решением уравнения (3.20). Выберем тест-объект с постоянным значением од=сопз1, при этом условии выражение для скорректированной величины интенсивности 1'(и, п)е"" запишется в виде и 1'(и, и) =~лэо~ 1э(Ц е"Ж.
о Выражение (3.30) отличается от известного экспоненциального преобразования Радона положительным показателем экспоненты. Однако, как показал анализ выражении (3.30), аналогичный приведенному в [92), это ие приводит к существенному изменению алгоритма восстановления. Согласно этому анализу при переходе полярным координатам в плоскости томограммы х=гсоз р, =г з(п гз формула обращения скорректированных проекций р,й) запишется в виде 1,(г. ~р)е"'=) Ю ') и'э! м ( ехр [1огсоз(й — 7)]Х (3.30) Х О' )' аз+ аз~, 6 — зЬ (3.3!) ~ где 6'~ — одномерный фурье-образ скорректированных проекций (по переменной р. Однако алгоритм вычисления томограммы по 'формуле (3.31) значительно сложнее обычных алгоритмов.
В этой , связи представляет интерес рассмотреть возможность получения (проекций, которые можно обрабатывать с помощью более просто1го алгоритма восстановления томограмм за счет усложнения схемы 'эксперимента. Для этого, измеряя интенсивность поля уже в диапазоне углов 0<0~2я, выберем в качестве исходных данных суммарную интенсивность 1з, как и ранее при диагностике оптических свойств. Тогда выражение (3.28) удобно записать в виде 7 — Ы57 97 6(р, 9) =~1Я 1,(х, у) а,(х, у) Цр — хсоз9 — уз!п6)г(хну Х Х р+ я(р, Е)1е.— о'>, где )т(р,9) = Я1 сгв(х, у) Ь(р — х соз 9 — у и!п 9) Нхг(у — известная величина, так как предполагается, что распределение оз(х,у) в тест- объекте заранее задано. Отсюда видно,' что скорректированные проекции 1,'(р, 8) =Ь(р, 8)(2+)т) 'елявляются преобразованием Радона функции Ув(х,й) оо(х,у): Г, (р, 6) = ~1 Ц !Дх, у) ч, (х. у) 8 (р — х соз 9 — у з!и 9) с~хЫу.
(3.32) Восстанавливая изображение сечения по какому-либо алгоритму вычислительной томографии и зная соответственно о„(х,у), мы получаем значсиис Уо(х,у). Следует отметить, что шумы, обуслов ленные поправочной функцией (2+)т)-'е", не будут существенно влиять на обработку изображения, поскольку (2+)т) -'ел — медленно меняющаяся функция в силу условия (3.24). Отметим еще одно преимущество использования суммарных проекций: в этом случае для диагностики излучения могут исгользоваться среды с произвольной функцией оа(х,у), в то время как при обработке проекций, измеренных в интервале углов 0(9(л («с одной стороныэ), необходимо использовать схемы с постоян ным коэффициентом экстинкции, В целях исследования возможности применения томографгческих методов для исследования структуры проникающего излучения был проведен модельный эксперимент.
В качестве тест-объекта была выбрана правильная шестигранная плексигласовая призма с отполированной поверхностью. Предварительные измерения гоказали, что распределение ар в сечениях призмы можно считать постоянным. На призму перпендикулярно к ее основанию падали четыре лазерных пучка со взаимной интенсивностью 1: 1; 0,3: 0,5 Параллельно каждой грани призмы фиксировалась фотопленка, На нее падало излучение, рассеянное средой перпендикулярно грани После операции фотометрирования полученные данные сглаживались и обрабатывались с помощью итерационного алгоритма.
Это приводило к существенному уменьшению шума на реставрированном изображении. Восстановление осуществлялось на матрице 32Х32 отсчета, при этом использовалась априорная информация о положительности функции 1о(х,у) и ограниченности области ее задания. В результате восстановления после 100 итераций была получена томограмма, представленная на рис. 3.9 в виде изолиний. Из рисунка видно, что расположение максимумов на томограмме практически совпадало с истинным положением максимумов функции 1О(х,у), которые показаны на рис. 3.9 крестами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
