Глава 1 (1026183)
Текст из файла
ГЛАВА МЕТОДЫ РАСЧЕТА РЕАЛЪНЫХ ЛУЧЕИ И ПАРАМЕТРОВ ВЕСКОВЕЧНО УЗКИХ ПУЧКОВ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 1.1. Расчет хода луча в градиентной оптической системе Траектория луча в среде, показатель преломления которой является Функцией координат точки и не зависит от направления луча„ описывается системой диФФеренциальных уравнений (6,471: Ю/сиз = е й( п е)Л3з=чп (1.2) где к = (Н...,"В„,;Н, „ )'=(х;у;я)' — радиус-вектор точки на траектории луча; з -длина траектории луча; п=п(К) -Функция распределения показателя преломления," т чп = ~ — ; — ; — ~- градиент показателя преломления ; (дп. дп.
дп) 'а ' ° ~ е = (е...;е„,;е, „ )'- вектор направляющих косинусов луча. Так как Н=Е(з)- естественная параметриэация траектории луча, то модуль вектора е равен единице: )е(=1 (1.3) Начальные условия систеви диФФеренциальных уравнений траектории. В оптически однородной среде траектория луча является прямой, которая описывается векторным уравнением ~6,47,57~ в (з) =н,+е,з, е(з)=е, (1.1),(1.2) имеют вид В~ =Н ,е~ =е , где В и е — векторы координат луча и направляющих косинусов в начальной точке Часто используется параметризация В=В (х), в которой система диФФеренциальных уравнений (1.1), (1.2) принимает вид [19,69~: (1.5) (1.6) Аналитически решить систему дифференциальных уравнений (1.1),(1.2) удается лишь в ряде частных случаев распределения показателя преломления [47,65,76,92-93~.
3 общем случае траектория луче рассчитывается численньпи методами. К настоящему времени предложено большое количество численных методов для расчета траектории луча при самых разнообразных параметризациях [14,19,22,80,84,89,9О~. Одним из самых эФФективных методов [38~ считается метод, предложенный в статье [89~, в котором параметризация луча имеет вид В=В (Ц, где йз 1 (з) =~ О и (1.8) При атом уравнение (1.2) принимает вид: (1.9) с1 В/дС = Б(В) (1.10) где Х = 1В~а~ = п аВ~аа = (т„,;т„,;т„,)' = (р,ц,~)' =п(е„,;е„,;е„, )' — вектор оптических направлякщих косинусов луча; 1 0(Н)=пчп = — ч(п') ~ Н=Н 2 ~Н=Н Начальные условия для диФФеренциальных уравнений (1.9),(1.10) четвертого порядка с использованием реккурентных соотношений (5,58,89,90): Н.,=Н.+ Т.+ -' А.
+ 2В. Л1. (1.11) Т. Т, + А. + 4В. + С. (1.12) (1.13) где А.=В(Н. )И. (1.14) В.-П Н.+ Т.И. + А. И. И., С„.=З Н,.+Т,.М,.+ —,' В. М,. М„. (1.1б) ,1=0,1,2,3,...; Н, =Н (С, ) „Т, =Т (1, ) — векторы координат и оптических направлянщих косинусов на шаге ~; 1 =О. Отметим, что согласно (1.3), в любой точке на траектории луча для оптических направляющих косинусов выполняется имеют вид Н~, =Н ; Т~, =п(Н,)е =Т . Дифференциальное уравнение (1.10) численно интегрируется методом Рунге-Кутта тождество: [ТТ]=[(пе)(пе)]=п'[ее]=п' (1.17) Если при В=В луч пересекает поверхность Ф(В)=О, то выполняется условие Ф(В )=О (1 .18) Преломление луча на поверхности раздела двух сред описывается уравнением [6,43,51,91] и'е'= ие + И и , Ф (1 .19) где е",е' — векторы направляющих косинусов луча до и после преломления; и,и' — показатели преломления предыдущей и последующей (по ходу луча) сред в точке пересечения лучом поверхности; дФ дФ дФ И=(И ;И ;И ) =(И ;И ;И ) =1~Ф~ ~В=В дх ду де — вектор нормали к поверхности Ф(В)=0 в точке пересечения ее лучом.
Из условия единичной длины векторов е и е' определяется скалярная величина и [43,51„91] Замена направляющих косинусов е , е' на оптические направляющие косинусы Т , Т' приводит уравнение (1.19) к виду Т'= Т'+ Ип, (1.21 ) где Т'=и'е', Т =ие". 1 1,, [Ие ]'и' [Ие ] [Ие ] и= — (и') -(и) + — зщи — и — . (1.20) )И~ [ИМ] и' [ИИ] Взаимное положение двух систем коорднат О,Х,У,Е, и О„Х„У„Е„ описывается вектором 6, указывающим положение точки О„ в системе координат О,Х,У,Е,, и матрицей Я. Каждый элемент Я.. ., матрицы Я равен косинусу угла„ образованного ~-й осью системы координат О,Х,У,Е, с ~-й осью системы координат О„Х„У„Е„, если нумеровать оси в следующем порядке: ОХ,ОУ,ОЕ.
Матрица Я, как и всякая матрица поворота, ортсгональна, то есть обратная ей матрица совпадает с транспонировавной Я ' = Я'. Переход от вектора координат какой либо точки пространства в системе координат О,Х,У,Е, к вектору коорд~нат этой же точки в системе координат О„Х„У„Е„ списывается Формулой ~43,91~ Обратное преобразование имеет вид: ж ~х тх х (1 . 22) Векторы направляющих (оптических направляющих) косинусов луча при параллельном переносе начала координат не изменяются, поэтому имеем ~43,91~: е„=ч, е,; е,=Я', е„, Функции распределений показателей преломлен~я оптических сред и уравнения поверхностей„ разделяющих зти среды, могут быть заданы в разных декартовых прямоугольных системах координат. Компьютерный расчет оптических систем наиболее удобно вести, когда положение каждой последующей системы координат указывается относительно предыдущей (описание последовательного типа ~431).
где е„,Т„,е,,Т, — координаты вектора направляющих (оптических направляющих) косинусов луча в системах координат 0„Х„У„Е„ и О,Х,У,Е,. 1.2. Расчет бесконечно узких пучков в оптических системах Вопрос о распространении узких пучков в неоднородных средах, как зто отмечено в работе [231, изучен мало.
Известны три основных подхода к компьютерному расчету узких пучков лучей через градиентные оптические элементы [1 4,21,22~. Первый из них предполагает замену бесконечно узкого пучка лучей пучком реальных лучей, идущих на малом расстоянии от опорного луча пучка. Метод прост в реализации, нс может привести к потере точности [14,22,б1,77). Второй подход базируется на теории эйконала. Направление луча в каждой точке траектории ортогонально поверхности геометрического волновогс Фронта, который представляет собой поверхность равного зйконала Ф[Н)=сопз1. Тогда для поверхности В[К)=соней по извест~им Формулам дпФФеренциальной геометрии можно найти величины главных радиусов кривизны и ориентацию главных нормальных сечений волновой поверхности, которые являются параметрами, описывающими бесконечно узкий пучок.
Впервые задачу распространения узкого пучка через неоднородные среды рассмотрел Ж. Нащот.11оп [9,71]. Как показано в [23], полученные им формулы оказались малопригодными для практического использования. А. Спц.з~гвпй [7Р) получил волнового Фронта в меридиональном и сагиттальном сечении т и т удовлетворяют дифференциальным уравнениям [14,2Э] с1 т~п, 2 = гс' + — [у гп)' — ч' ч(чп)' у; (1.26) йз ° и 2 2 6 ~п = пт — ч 7(чп) у С1Б 1 (1.27) где ч,,ч,, — единичные векторы ортогональной "лучевой" системы координат (ч,,"ч,;е), в которой единичный орт ~, принадлежит меридиональной плоскости; орт ч, — принадлежит сагиттальной плоскости.
Преломление бесконечно узкого пучка лучей с опор~нм меридиональным лучом описывается Формулами [1 4,20) Л(п соз'а т )=р Л(п соз е) + пригодные для практических вычислений уравнения, описыванщие распространение произвольных (не обладающих свойством с~иметрии) пучков лучей через оптически неоднородные среды. В работах [21-24~ повторяется вывод Формул Сц11з~гзпй'а на основе современного математического аппарата вариационного исчисления. В случае, когда опорным лучом пучка является меридиональный луч в осесимметричной оптической системе, 4юрмулы для расчета ориентации и кривизн главных нормальных сечений поверхности волнового фронта могут быть упрощены.
Главными нормальными сечениями волнового фюнта в атом случае являются сечения, образованные меридиональной и сагиттальной плоскостью в любой точке траектории опорного луча. Кривизны +Л(а~п е (2[Кап] — з~п е [агап])); (1.28) Л(п ~ )=р Л(п соз а), где символ Л означает разность соответствуюших величин до и после преломления; е — угол между касательной к траектории опорного луча и нормалью к поверхности; К вЂ” единичный вектор, который принадлежит меридиональной плоскости и перпендикулярен вектору нормали к поверхности", р и р -кривизны поверхности раздела сред в меридиональном и сагиттальном сечениях. Для оптической поверхности, разделяющей две однородные среды, Формулы (1.28)-(1.29) переходят в формулы Аббе — Инга ( Инга Гульстранда ) [59].
Сушественным недостатком рассмотренного метода является то, что кривизны т и ~ на траектории луча могут принимать любые, в том числе и бесконечно большие, значения, что может привести к потери точности при использовании численных методов интегрирования. Чтобы избежать этого в работах [20,22] предлагается провести замену переменных в дифФеренциальных уравнениях (1.26),(1.27). Третий подход к расчету бесконечно узких пучков основан на использовании лучевых диФФеренциалов. Луч, бесконечно близкий к опорному лучу (В;Т), будет характеризоваться векторами В+5В и Т+бТ, где бВ и бТ бесконечно малые ди(Щеренциалы [50,51,66].
Таким образом, расчет бесконечно близкого луча можно свести к расчету дифФеренциалов бВ=(бВ„,;бВ„,;бВ, „ ) = (бх;бу;бъ) и бТ = (бТ„,;бТ„,;бТ„,) = (бр;бд;И) , составляющих вместе лучевой дифференциал (ЛД). По аналогии с параксиальным и бТ = ибе (1.30) где п — показатель преломления оптически однородной среды. Выражения, описывающие перенос ЛД в оптически однородной среде от начальной точки до ограничивающей среду поверхности Ф(Н)=0, получены в [51~ варьированием выражений (1.4) бН =бН +бе з +е бз о о о бе =бе, (1.31) где бН, бе — 3И, принадлежащий поверхности Ф(Н)=0; бН, бе ЛД в начальной тачке траектории; я — расстояние между точкой нулевыми лучами, можно рассматривать не только бесконечно малые ЛД, но и пропорционально увеличенные ЛД [51~.
Окрестность опорного луча, в которой остаются справедливыми линейие соотношения между ЛД, называется гауссовой областью опорного луча [51~. В отечественной литературе формулы для расчета ЛЦ через обычную оптическую систему впервые опубликовпы Д.Ю. Гвльперном в [8~. Теория ЛД получиля развитие в работах М.М.Русинова, С.А. Родионова [50,51,55-57~. Кроме традиционной задачи расчета положения точек Фокусировки бесконечно узких пучков лучей, ЛД стали использовать при синтезе оптических систем, при анализе габаритов пучков, подгонки положения входного зрачка, в процедурах оптимизации оптических систем. Наиболее полна теория ЛД в неградиентных оптических системах рассмотрена С.А.
Родионовым в книге [51~. Вместо ЛД оптических направляющих косинусов бТ в работе [51~ используется ЛД направляющих косинусов бе. Они связаны между собой соотношением входа луча в среду Н и точкой Е пересечения опорного луча с поверхностью Ф(В)=О. Величине бз определяется из условия „бЕ,', = О В=В Так как Ф(Е )=О, следовательно, бВ... =0 Н=Е (1.32) Таким образом диФФеренциал линейных координат бВ" считается принадлежащими поверхности Ф(Н)=0 тогда, когда диФФеренциал линейных координат находится в плоскости, касательной к поверхности в точке пересечения опорного луча с поверхностью Ф(к)=О [51~. Из выражений (1.31) — (1.32) следует: Е(„ ' дФ „бе .
1 ба"=7 В=В ' ' '~ ~,дН... „бя., „.,+бео, „., Б" Ди$$еренцирование Формулы (1.19), описывающей преломление луча на поверхности Ф(Е)=0 дает: и'бе'= пбе + бац + И би где бе',бе — диФФеренциалы направлепщих косинусов после и до преломления на границе двух оптически однородных сред„ бЫ вЂ” ди$$еренциал вектора нормали: М (би(11Д~2) Д~(3) ) (~и„и я ) ™(~ я ) пересечения бесконечно близкого луча (В+бН;е+бе) с поверхностью Ф(Н)=0 в точке Н +бЕ . Тогда, согласно условию (1.18), имеем: Так как модуль вектора направляющих косинусов луча равен единице„ то для бесконечно близкого луча можно записать [(е+бе)(е+бе))=1 ; [(е'+бе')(е'+бе')1=1 Пренебрегая величинами второго порядке малости, из последних Формул имеем: [ебе)=О ; [е'бе'1=0 Для определения величины би используем тождестве (1.35) и Формулу (1 .34). В результате имеем: е,' , бе... бп = и'е,',, бе...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
