Глава 6 (1026188)
Текст из файла
— 157— ГЛАВА 6 РАСЧЕТ АБЕРРАЦИИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯКОВ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АСФЕРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ И ГРАДИЕНТНЫМИ СРЕДАМИ ТИПА "ПСЕВДОАКСИКОН" 6.1. Перенос аксиальных лучевых ди4$еренциалов первого и второго порядков в среде с распределением показателя преломления типа "псевдоаксикон" Рассмотрим осесимметричную оптическую систему, состоящую из к поверхностей„ каждая из которых описывается уравнением (2.56). Плоскости предмета и изображения оптически сопряжены. Среды пространства предметов и пространства изображения являются однородныви.
Функции распределений показателей преломления остальных сред описываются выражением: и' (х,у,я) = и' (я)~ п, (я)(х'+у' ) ~ т~, (я)(х'~у' )'" ~ и (2) (х ~-у ) + т~ (я) (х +у ) + ..., (6.1) где п (я), п,(т,), т~,(я), п,(к), г),(г), ... — Функции, зависящие только от координаты к. Введем в оптической системе плоскости 0...,0'„,, ((=1,2,3,...,ш), перпендикулярные оптической оси и проходящие через вершину поверхности (.
Плоскость Р... находится в среде (, плоскость О,',, — в среде И1 (рис. 4.1). Рассмотрим перенос АЛД1П и АЛД2П в среде ~ между плоскостями О,', „, О,,, В системе координат градиентной среды плоскости О,' ,, „О, , описываются уравнениями я=я , т.=я,. Честные производные но координатам х,у для функции (6.1) имеют вид: — = 2п,(я)х + Зт~,(х)х(х +у )" + 4п,(я)х(х +у')+...; (6.2) 2 = 2п, (з)у + Зт~, (г)у(х +у ) + 4п, (з)у(х +у )~...; (6.3) Ы = Еп (е) , 3„ Се)-~2"*' *~- . 4п Се)~ЗХ*.У*). .; (6.4) бх' а а)~ а г а = т~,(з)ху(х'+у') '" + 8п,(з)ху + дхду д'и' (2у +х ) = 2п,(з) + 31),(з),, „, + 4п,(з)(Зх'+у') +...;(6.6) ду (х+у ) — — З~) (з)(2х +Зху )(х +у ) ' + 24п (з)х+ ...; (6.7) з г З~), (з)у'(х'+у') '" ~ 8п,(з)у ~ дх'ду 3 2 31), (з)х'(х +у ) + 8п,(я)х + ...; ау'ах (6.9) Зт~(з)(2у+Зух)(х+у)+24пг(з)у+ вида (О/01.
Для их раскрытия перейдем к полярным координатам ф,~: у= ~ соз ~р , ~' = х' + у' . (6.11) х= 1 з1п р Для луча, бесконечно олизкого к оптической оси, условия х О, у 0 эквивалентны условию ~ О. Тогда: При х=О,у=О в Формулах (6.2)-(6.12) возникают неопределенности д и' . - д и' . - д и' ).2п †, = 2п,(х); 1йлп — = 0; 1злп †, = 2п,(з). (6.12) ~'0 дх' ' ~'0 дхду ~. 0 ду' уравнений: а б р ЫЬ = п,(~)б,х ; а б,о /а~ = и, (х)б,у ; д б ~ 1 д' и' (з) о дС 2 дх' а б,хЫ~ = б,р; д б,у/дт, = б,ц; д б,я/а~ = б,~ (6.13) Система диФФеренциальных уравнений (6.13) аналогична системе диФФеренциальных уравнений (4.23), которая описывает АЛД1П в среде с распределением квадрата показателя преломления (4.20).
Параметры АЛД2П в среде с Функцией распределения квадрата показателя преломления (6.1) в соответствии с выражениями (3.23),(3.24),(6.2)-(6.12) удовлетворяют системе диФФеренциальных уравнений: 2п (х) (с1 б,р / дх ) = 2п,(я)б,х + т),(х)(б з~п ~р+ + Эзоп р соз'~)бх,бх,+ 31),(и)соз'у (бх,бу, + бу„бх,) + + 3т~, (х)зьп'~ бу„бу,; 2п,(х) (с1 б,д / дх ) = 2п,(х)б,у + т),(х)(б соз <~ + +9соз 4т з1.п'р)бу„бу, + Зт),(х)зш'у (бу,бх, + бх„бу,) + + Зтт,(з)соз'р бх,бх, ; дб',~ 1 д'и,'(х) , д п,(г) и (х) — ~ = — б х + ' (бх бх +бу бу ); о де 2 де~ ~ д е А в А а Ы',х/дх = б,'р/п.(х); дб',у/дх = б',о/п.(х); с1 б,х/с1я = б,1/и (з) Параметры АЛД1П в среде с Функцией распределения квадрата показателя преломления (6.1) в соответствии с выражениями (3.4)-(3.6),(6.2)-(6.10) удовлетворяют системе диФФеренциальвых - 16О- Параметры АЛД2П в плоскости з=з„ в соответствии с Формулами (3.25),(3.26) имеют вид: б х=б х(е„); б у = б у(2„);б е =б 2(2„) + и (е„)б г; б~р=б~р(з ); б'ц=б~ц(з„); о( б21=б2 1(е ) + и (е ) О Условие (3.27) для АЛД2П, принадлежащего плоскости х=х,, имеет вид: б'я=О.
Следовательно: б $ = — б е(е„)/и (е„) (6.16) Так как параметры б'х, б'у, б*р, б'с не зависят от б'й, то индекс "С" при их обозначении спускается. Рассмотрим перенос АЛД1П и АЛД2П между плоскостями О... и О,',, Уравнение поверхности ( описывается Формулой: Ф(х,у,з) = -х + (р/2)(х'+у') + а,(х'+у')' ' + + В, (х'+у' )' + а, (х'+у' )"' + ... =О Координаты вектора нормали этой поверхности имеют вид: ('6.17) И= рх +За, х(х+у*)' + 43х(х+у ) + ...
И = ру + За,у(х +у ) + 4В,У(х'+у') + ... (6.18) Функции распределений квадратов показателей преломления сред ( и (+1 имеют вид." 6.2. Перенос аксиальных лучевых диФФеренциалов первого и второго порядков через преломляющую поверхность типа "псевдоаксикон" и'(х,у,з) = и'(з)+и, (х) (х'+у')+т~, (з) (х'+у')'" + (и'(х,у,з))'=(и'(з))' + и,'(з) (х'+у') + + 1),'(з)(х +у ) + ... яз Формул (1.20), (1.21 ), (2.12), (4.21) (б.20) следует, что оптические направляющие косинусы луча, совпадакщего с оптической осью, в средах ~ и ~+1 равны: р „ = р „ =0; ц „ =ц „ =О; ~ „ =~ „-п (б.21 ) Ф(х,у,з)=О, так как плоскость О...
является касательной к вершине поверхности. Из Формул (1.34),(3.10),(3.14) следует, что преломление АЛД1П на поверхности Ф(х,у,з)=0 списывается выражениями: бр'= бр+ рбх и; бс'= ба+ обу и; б1' = -бы=О . (б.22) Очевидно, что лучевой дифференциал бх,бу,бз=О,бр',бц',б1'=0 принадлежит плоскости О,',, Формулы (6.21),(б.22) совпадают с выражениями (4.31),(4.32).
Следовательно, ксзФ$ициенты а,,а,, уравнения ас4ерической поверхности (б.17) не влияют на АЛД1П и не оказывают влияние на параксиальные характеристики оптической системы. В плоскости О... параметры АЛД2П обозначим как: б х(е)=б х, б у(е)=б у, б е(е)=б 2=О, б р(е)=б р, б Я(е)=б Я, где р , ц , 1 =п,(О) — оптические направляющие косинусы в среде (; р' , ц' , Г =и,'(О) — оптические направляющие косинусы в среде 1+1; п=п (0)-и'(О). Параметры АЛД1П в плоскости О... равны: бх, бу, ба=О, бр, бц, И=О.
Одновременно данный АЛД1П предлежит и поверхности — 162— б'1(з)=б'1. Из тождества (3.30) следует, что б'~=(п, (0) (бх,бх,+бу„бу,)-бр„бр,-бо бо, Рп (0). Перенос АЛД2П от плоскости О,,„ до поверхности Ф(з,у,з)=0 описывается выражениями (3.25),(3.26), которые после раскрытия неопределенностей и с учетом величин, тождественно равных нулю, примут вид: б'х =б'х; б'у'=б'у; б'з'=п.(0)б'~; б'р'=б'р; б'ц =б'ц; о( б1=б 1+и (з) дз Для АЛД2П, принадлежащего поверхности Ф(з,у,в)=0, условие (3.27) имеет вид: б'з' = р(бх„б,х+бу,бу,)=0. Тогда б'~ = б'з'~п (0)= р(бх„бх,+бу,бу,)~п,(0) .
Из Формул (3.28),(3.29),(6.18) следует, что преломление АЛД2П на поверхности Ф(х,у„з)=0 описывается выражениями: б р '=б Р + б Я ы, "б ч '=б я + б М й; б 1 '=б 1 -б и, (6 25) где б И„= рб х + а,(6 з1п Ф + 9 з1п Ф соз Ф)бх„бх,+ За, соз'Ф (бх„бу, + бу,бх,) + За, зш'Ф бу,бу, ; б М = рб у + а,(6 соз Ф + 9 соз Ф з1п Ф)бу„бу,+ + 3 а,з1п Ф (бу„бх, + бх„бу,) + За, соз Ф бх„бх,.
На основании тождества (3.30) запишем: б' ~" =(и, (0)(бх,бх,+бу„бу, )- бр,бр, — бс„бо, Рп. (0) дп,' (з) дх р(бх„б х,+ бу,бу,). Тогда бп — б1 — б1 Параметры АЛД2П (или его продолжения) в плоскости О,',, на основании Формул (3.25),(3.26) равны: б'х =б'х"=б'х; б'у"=б'у"=б'у; б'х"=б'х +и (а)б'~ ', а б р'"=б р '; б о''=б а дп,' (х) б'1 =б'1" + п,(е) дх Так как аИ2П б'х", б'у", б'х", б'р", б'д, б'~" принадлежит плоскости О,'... то б*х' '=О; б'~'' = -б'х"~п'(О) = -с(бх б х+бу бу Рп'(О) 6.3.
Определение поперечных аберраций второго порядка Траекторию луча, бесконечно близкого к оптической оси, в градиентной среде можно„ на основании свойства 3 ЛД2П, представить в виде: Последовательно применяя 4юрмулы (6.23)-(6.29), можно рассчитать АЛДЯП ат плоскости предмета до плоскости изображения оптической системы. При этом необходимо определить угол у, который входит в эти 4юрмулы.
(6.31) где (бЕ;бт) — ~Лд1П; (б'Е;б'Т) — АЛдгп, построенный на двух равных АЛД1П (бЕ;бТ). На основании 4)ормул (6.30),(6.31 ), координаты х,у луча можно представить в виде: х = бх + '; б'х + О(3) ; у = бу + ,†' б'у + О(3) После подстановки Формул (6.32) в выражения (6.11) имеем (л=агс~я(бх~бу) + О(1) . При (() = агс1я (6.33) имеют место равенства: бх = У бх + бу ххп хх ( бу = У бх ~. бу иии у (6.34) Так как бх и бу являются Функциями координаты я, то угол также зависит от я: ~(1)(я). Перепишем систему ди4$еренциальных уравнений (6.14) для (6.35) Йе и (у) После подстановки выражений (6.33),(6.34) в Формулы (6.26) случая, фсрмуле а б'р Š— Е +бЕ+ б Е+О(З) Т = Т„„+ бТ + —, б'Т + О(3) когда бЕ=бЕ,=бЕ,; бТ=бТ,=бТ,, а угол (1) определяется по (6.33) п,(х)= п, (х)б*х + 3 б, (х)бх х бх* + бу* п, (х) = и, (х )б*у + б б, (х)бу х' бх' ~ бу* с1 б'х /йя = б'р ; и (я) й б'у /йя = б'д аи = рбх + аа,ах ./ох* ~ юг* 6 Е = Рб у + ба оу /бх ~ бу (6.36) (6.32) можно представить в виде: Х =бХ ~.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
