Глава 3 (1026185)
Текст из файла
ЛУЧЕВЫЕ ЛИФФЕРЕНБИАЛЫ ПЕРВОГО, ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯЛКОВ В ГРЗДИЕНТНОИ ОПТИЧЕСКОИ СИОТЕМЕ 3.1. Лучевой дифференциал первого порядка Рассмотрим векторную Функцию Н=Н(Н,,Т,,1), описывающую траекторию опорного луча в оптической среде, и ее производную йНlй$= Т(Н ,Т ,Ф) — вектор оптических направляющих косинусов луча. Функции Н=Н(Н ,Т , Ц и Т=Т(Н ,Т ,1) зависят от начальных условий Н,=Н(Н,,Т ,О), Т,=Т(Н ,Т,,О) и параметра луча ~. Рассмотрим новый луч, у которого в начальной точке траектории (при 1=0) векторы линейных координат и оптических направляющих косинусов луча отличаются от Н и Т на бН и бТ соответствино. Траектория луча с такими начальными условиями списывается Функций Н=Н(Н,+бН,,Т,+бТ,,~).
При сесконечно малых бН,, бТ, , ограничиваясь линейными членами в разложении Функции Н в ряд Тейлора, получаем: Н(Н ~бН,Т ~бТ,1) = Н(Н,Т,1)+ дН (Н,Т, 1) дН (Н„, Т„~) — бВ . + — — 62 <'.<<< > д Т Ос<> ~=1 0«~ О<<.) Введем векторную Функцию, описывающую лучевой диКеренциал первого порядка (ЛД1П) линейных координат: б,Н(Н ,бН ,Т ,бТ ,1)=Н(Н +бН ,Т +бТ ,1)-Н(Н ,Т ,$)= бн(н.,т., ц бн(н.,т., с) — — — — бн + — — бт *о(" б т о('' о(( > о(() (3.1) а б,н(н,,бн.,т.,бт,, ц б,т(н,бн., т.,бт.,цс11 =Т(Но+бНО(то+бтоУ~)-т(НО(то(С)= бт(н ,т.„ц о(( > о((~ бт(н.,т., ц + — — бт д Т о("~ о((.> (3.2) В однородной среде траектория луча описывается выражениями (1.4).
Подстановка зтих выражений в (3.1)-(3.2) дает: б,Н= бН + бт 1; б,Т= бт = сопз1 (3.3) Расчет траектории луча в среде с произвольным распределением показателя преломления возможен только численными методами. Поэтому и расчет ЛД1П в таких средах может вестись только численными методами. ПродиФФеренцируем равенства (3.2) по 1 и воспользуемся Формулой (1.10): 6 б т(н ,бн ,т ,бт ,1) 6 б н(н ,бн ,т ,бт ,с) = О( Н(Но+бНО(то+бто($)) — П( Н(НО(тою~)) При бесконечно малых в разложении Функции бН, бТ,, о раничиваясь линейными членами Б(Н) в ряд Тейлора, получаем: 1)(Н(Но+бНо,то+бто,~))=1)(Н(Но,то,~)) + бВ(Н(~),б,Н) где ДиФФеренцируя Функцию (3.1), получим выражение для ЛД1 П оптических направлянщих косинусов луча: 62...
6Э„, 6П, Подстановка функции (3.4) в формулу (3.2) дает." ~ 6,Т~ И =Я(В(Ц,6,Н) среде. Пусть при 1=1 опорный луч (В =В(В,,Т ,1 ); Т =Т(Н,,Т,,1 )) пересекает поверхность Ф(Н)=О. Бесконечно близкий к нему луч встречает ту же поверхность при 1=1 ~б~ Тогда вектор линейньп координат бесконечно близкого луча в точке пересечения им поверхности Ф(Н)=О имеет вид: Н(В,+6В ,Т,+6Т,,Ф +61 ). Введем функции 6В и 6Т: бН(Н,бН,Т,6Т,1,М) = = 6,В(В,бВ,Т,бТ,1) + Т(В,Т,С)61 (З.~) 6Т(В ,6Н ,Т ,6Т ,1,61)= = б,Т(В,бВ,Т,бТ,1) + П( В(В,Т,Ф) )6$ Ограничиваясь линейными членами в разложении К(В +6В,Т +6Т»$ +61 ), Н(Н +6В,Т +6Т,1 +61 ) Тейлора, получаем: Н(Н +6Н ,Т 16Т ,$ +61 )= = В(Н,Т,1 ) + 6Н(Н,бН,Т,бТ,1,61 ) Т(Н +6Н,Т +6Т,1 161 )= = Т(В,Т,1 ) + 6Т(Н,бВ,Т,бТ,1,61 ) функций в ряд » (3.
6) Дифференциальное уравнение (3.5) описывает ЛД1П в градиентной где бН = бЕ(Н ,бН ,Т,,бТ ,1 ,61 ) и бТ"= =бТ(Н,,бН,,Т ,бТ,,1 ,б1 ) являются ЛД1П линейлх координат и ЛД1П оптических направляющих косинусов, принадлежащих поверхности Ф(Н)=О. ЛД1П ~б,Е; б„Т) можно рассматривать в любой точке траектории луча как ЛД1П, принадлежащий поверхности равных значений 1, а ЛД1П (бН; бТ) можно рассматривать как принедлежащий произвольной поверхности. Для определения б1 , при котором ЛД1П принадлежит поверхности Ф(Н)=О, подставим в условие (1.32) выражение ~3.7). После преобразований получим: дФ „б Н...
(Е,бН,Т,бТ,1 ) Е=Н „ Т...(Н ,Т ,1 ) Е=Н Формулу, описывающую преломление ЛД1 П на гран~ще двух сред, можно получить, раскладывая выражение (1.21) в ряд: бТ'= бТ + бИ и + И бп (3.1О) где бТ , бТ' — ЛД1П оптических направляющих косинусов до и после преломления на поверхности Ф~Н)=О; диФФеренщал вектора нормали бИ определяется по Формуле ~1.34).
Раскладывая в ряд выражение ~1.17), получи тождество для ЛД1П оптических направляющих косинусов луча, справедливое для любой среды оптической системы : 6Н... Н=Н(~) д Н... д(п') д Н д(п") д Н, (3.13) Подставляя формулу (3.1Э) в (3.13) с учетом (3.12), получим: д(п' ) д Н, (3.14) 2 ~ [Е,.,7,'., ) Выражения (3.4)-(3.14) позволяют вести расчет ЛД1П в градиентной оптической системе. 3.2. Свойства лучевого ди$ференциала первого порядка Свойство 1. Согласно выражениям (3.1 )-(3.8), можно записать: АбН, + ВбН, = АбН (Н,бН„О, Т,бТ,~, 1,61„)+ +ВбН(Н,бН,О,Т,бТ~~,Ф,61 )= = 6Н (Н,А6Н„~+ВбН~~, Т,АбТ„О+ВбТ~~, 1,А6$„+В6$ ) АбТд + ВбТв —— А бТ(Но,бН о,То,бТ„о,~,б~~)+ В соответствии с тождеством (3.11) в точке преломления луча на границе раздела двух сред имеем: +В 6Т(Н,бН,О,Т,бТ~~,1,61 )= =6Т (Н.,АбН„.+ВбВ...Т.,АбТ,.+Вбт...
~,А6~,+ВЫ,), где А, — произвольные константы. Если ЛД1П (бН,;6Т„) и ЛД1П (6Н,;6Т,) принадлежат поверхности Ф(Н)=0, та, в соответствии с условием (1.32), ЛД1П (АбВ„+ВбН,;АбТ,+ВбТ,) принадлежит поверхности Ф(Н)=О. Преломление ЛД1П (бН,;6Т,) и ЛД1П (бК,;бТ,) описывается формулами: бТ'=6Т„+6И(В ,6В„)ц + И бц~ ; бТ'=6Т +6И(Н ,бН )ц + И бц Из выражения (1.34) следует, что АбИ(В ,бВ„)+ВбИ(Н ,бН )= бИ(В ,(АбН„+В6К )) Тогда АбТ„'+ВбТ'=АбТ„+ВбТ,+6И(В ,(АбВ„+ВбН, ))и+И(Абц +Вбц ) В краткой форме данное тождество будет иметь вид: АбГ(В,,бН„,,Т,„бТ„,)+ВбГ(В,„бВ„,Т,,бТ„ )= =6Г(Н,,АбН ,+ВбН ,,Т ,АбТ ,+ВбТ ,) (3.15) где 6Г(Н,,6Н,,Т,,бТ,)= (6В,;6Т,)'- векторная функция, описывающая преобразование ЛД1П между произвольными поверхностями Ф,(Н)=0 и Ф,(В)=0; (бК,;6Т,) -ЛД1П, принадлежащий поверхности Ф,(В)=0; (бН,;6Т,)- ЛД1П, принадлежащий поверхности Ф,(Н)=0, "Н,,Т, — векторы коорущнат и оптических направляндих косинусов апарнога луча на поверхности Ф,(Н)=0.
Поверхности Ф,(К)=О и Ф, (В)=0 произвольные и могут как совпадать, так и не совпадать с поверхностями раздела оптических сред„ могут находиться в одной или разных средах оптической системы. Таким образом, линейная комбинация двух ЛД1П также является ЛД1П. Коли ЛД1П (бВ„;бТ„ ) является нулевым (6Н„=О;бТ„=О), то Формулу (3.15) можно переписать в виде АбГ(В,„бВ„ „Т,,бТ„,,1,61„)= = бГ(В,,АбВ„,,Т,,АбТ ,,1,АМ„) (3.15) Соотношение (3.16) дает вазможность использовать при расчетах не только бесконечно малые, но и пропорционально увеличенные ЛД1П. Переход от бесконечно малых к пропорционально увеличенньм ЛД1П аналогичен переходу ат параксиальных лучей, бесконечно б~жзких к оптической аси, к нулевым лучам, углы и высоты которых пропорционально увеличены.
Замена бесконечно малых ЛД1П пропорционально увеличенными возможна ва всех случаях использования ЛД1П ~51~. Свойство 2. Рассмотрим ЛД1П (6Н,;6Т,) и ЛД1П (бН,;бТ,) одного и того же опорного луча (Н;Т). Введем Функцию 3 Ь(1~=~ (а,в„„,а,т„„- Ь,В„„Ь,Г.„, ~ ~. =1 ПродиФФеренцируем Функцию Ь(ц па 1. после преобразований получим: с1 1(~) с1 б Н . с1~6  — — * — ' — бЕ '' бЕ Й с1~и ~ и ( "> с1~г А (с> 1=1 бБ. с. (Н(1),б Н )б Н ...— 62...
(В(1),б,В ) б,В „,, = О. св1 Из последней Формулы следует, что Функция Т(1) не зависит от параметра 1: Ь = сопз1 . Из выражений (3.7)-(3.8) следует: э (Юв„...ж..с.— ИН„,,И..с. ~= =) (аР„,„,а,г.,„,- а,в.,„,б,т„„,) = ь = сапа~ . ~з.1т а=1 Преломление ЛД1П на поверхности также не изменяет значения Ь, так как на основании выражения (3.1О) можно записать: (н.",„,ат,,„.,- ав."„,я,,„, )= = ) (ьв„"...и,"...- ан,"...и"„,,)= 1 = сопя~ .
в=1 Таким образом, 1 является инвариантом в оптической системе. Свойство 3. Если ЛД1П принадлежит плоскости з=з(В ,Т,,1) перпендикулярной оси ОЕ, то, согласно выражениям (1.32),(3.7) и (3.8), имеем: бз(В,бВ,Т,бТ,1,61) = О; — б,я(В,бВ,Т,бТ,1) / 1(В,Т,1) = 61 = б 1 Ооозначим 6В(В, юбВ, 1Т ебТ ю~ьб ~) — 6 В(В ебВ, еТ ~6Т, вх(~)) ю бТ (Во ~ 6ВО ~ То ебТО ь ~ ~ б ~ ) б Т (Во ебВО е То 16Т > 1з (~ ) ) Если опорным лучом ЛД1П (б В;б Т) является меридиональный луч осесимметричной оптической системы, то ЛД1П (б В;б Т) удовлетворяет системе диФ$еренциальных уравнений (1.37)-(1.40). Свойство 4. Покажем связь между ЛД1П оптических направляющих косинусов бТ и ЛД1П направляющих косинусов бе. Варьирование соотношения Т=пе приводит к выражению дп бТ = и бе + е 7 6В . дВ.
а=1 Съ) Если среда однородная (п(В)=сопз1), то Формула (3.17) переходит в соотношение (1.30). 3.3. Лучевой диЩеренциал второго порядка Функция В(В,Т,1) описывает траекторию луча в оптической среде, а функция 6,Н (Н,,бН„,Т,,6Т„,, ~) — ЛД1 П линейных координат етого луча. Пусть бесконечно олиэкий луч при 1=0 имеет начальные условия: К~~ 0 =Н,+6Н„; Т~~ 0 =Т,+6Т„ где 6В, и 6Т„ — бесконечно малые первого порядка малости.
ЛД1П, построенный на луче Н(Н +6В„,Т,+бТ„,1), при 1=0 имеет следующие начальные Условия: бВ~~ 0=6В„ +б'В ; бТ~~ 0 =(б'р,;б'ц ;б'1 )' — бесконечно малые второго порядка малости. На основании Формул (3.1)-(3.2) можно представить траекторию луча Н(Н +6В„,Т,+бТ, „1) в виде: Н (Н +бН, Т +бТв(„( 1) =Н (Н, Т, С )+б В (Н > 6Нво, Т, бТв,>, 1), где 6,Н(В,,бН„,Т,,бТ,,Ц вЂ” ЛД1П линейных координат. Введем векторную Функцию, описывающую лучевой дифреренциал второго порядка (ЛД2П) линейных координат луча: б,'В(В,бН,,бН,,б'В,Т,бТ,,бТ„,б'Т, Ф)= о' о' — — — 6В + о(1 > о(1> дВ(В,Т,1), — — '-' —" — О'1 О(1> о((> д В(Н,Т,1) 7 бН , 6Н . + во(1> во(>> (=1 1=1 о(1> о(,>> д'Н(Н.,Т.,~) + дН., „.,дт„,, < < во(<> во()> во(<> Ао(,» д Н(Н,Т,Ф) — — — бТ .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
