Глава 5 (1026187)
Текст из файла
— 137— ГЛАВА 5 АБЕРРАПИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГРАДИЕНТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МАЛЫМИ НАРУШЕНИЯМИ ОСЕВОИ СИММЕТРИИ 5.1. Геометрические параметры оптической системы с малыми нарушениями осевой симметрии На рис.5.1,а показана исходная осесимметричная оптическая система, описанная в разделе 2.1. Рассмотрим оптическую поверхность й, разделяющую среды й и 1+1. Функция распределения показателя преломления среды к в системе координат О,Х,У,Е, описывается выражением: п(х,„у,,з,) = и (а,)+п,(з,)(х, +у, )+ (5.1 ) Функция распределения показателя преломления среды Ы1 в системе координат О„,Х„,У„,Я„, описывается выражением: Уравнение поверхности й в системе координат О„Х„У„Е„ где р — кривизна поверхности в вершине. Системы координат Обозначим: Ь=Ь,„,, Н=Н,„,, имеет вид: 2 О*Х*УЛ начальн~е точки О,, О„, (рис. 5.1,а). О„,Х„,У„, Е„, совмещены и их О„, находятся в вершине поверхности к б) Рис.
5.1 Исходная осесимметричная оптическая система (а) и оптическая система с нарушенной осевой симметрией ~б) Оптическая система с нарушенной осевой симметрией (рис.5.1,б) отличается от исходной осесимметричной оптической системы тем, что оси О,Е,, О„Е„, О„,Е„, не лежат на одной прямой. Оптическая система с нарушенной осевой симметрией может быть представлена состоящей из двух осесиьяетричных оптических компонентов, являюшихся составными частями исходной осесимметричной оптической системы, и поверхности й.
Первая часть включает: предметную плоскость, оптические поверхности от первой до й-1 включительно и среды с первой (пространство предметов) по й. Ось О,Е, совпадает с осью свпетрии первой части оптической системы. Вторая часть включает: поверхности от (йМ ) до ш, плоскость изображения и среды от 1+1 до и+1 (пространство изображений). Ось О„,Е„, совпадает с осью симметрии второй части оптической системы. Учит ы вая с деланный в раба т е ~27 ~ вывод, ограничимся рассмотрением случая, когда в оптической системе сохраняется одна плоскость симметрии, совпадаюцая с меридиональной плоскостью. При этом оси О,Х,„ О„Х„, О„,Х„, остаются параллельными друг другу, точки О,, О„, О„, принадлежат меридиональной плоскости.
Точка О„ в системе координат О,Х,У,Е, имеет координаты (х,=О;у,=а;х,=О), а точка О„, в системе координат О„Х„У„ Е„ имеет координаты (к„=О;У„=Ь;я„=О). Переход от системы координат О,Х,У,Е, к системе координат О„Х„У„Е„ можно описать вектором переноса 6, и матрицей поворота Я, 140 О О О соя ф я~п ф 0 -я1п ф соя ~р где ф — угол между осами О„Е„ и О,Е,. Переход от системы описывается вектором переноса О, и мятрицей поворота Я,: 1 0 О 0 соя ф я1.п ф О -я1п ф соя ф позволяет представить матрицы Я, и Я, в виде: 1 О О 0 1 О -ф 1 0 0 О 1 ф 0 -ф 1 5.2.
Расчет хода луча, совпадающего с осью симметрии первой части системы Рассмотрим расчет луча, который совпадает с осью симметрии первой части оптической системы — осью О,Е,. Векторы линейных координат и оптических направляющих косинусов луча в точке О, в системе коорджат О,Х,У,Е, согласно Формулам (4.21) имеют вид: В = |О;О;0)', Т = ~0;0;и, )', где и, = п (О). В системе координат О„Х„У„Е„ векторы линейн|х координат и оптических направляющих косинусов луча в точке О, в где ф — угол между осями О„,Е„, и О„Е„ .
Параметры ад,Ь,ф будем считать бесконечно малыми первого порядка малости, что — 141 относительно параметра а точка О, является точкой встречи луча с поверхностью (5.1). Преломление луча на границе двух сред описывается уравнением (1.19): где = (О; -ра + О(о,'); -1 ) И„= чФ Н=Н„ Вектор линейных координат луча в точке встречи луча с поверхностью в системе координат О„,Х„,У„,Е„, имеет вид: Н„,=Я (Н„-6 )= (О; -(а+Ь);О) (5.7) Показатель преломления среды 2+1 в этой точке равен: и' (х„,,у„,,з„,)= и' + О((а+Ь)'), где и,' =и,'(О). Из Формулы (1.2О) следует: и=и -и,' .
Вектор оптических направляющих косинусов после преломления на поверхности согласно Формулам (5.4)-(5.7) имеет вид: Вектор Т,', в системе координат О„,Х„,У„,Е„, : Т' „,=Я,Т' „ = (О; и,ср — ра (и -и,' ) + и' ф; и' )' . (5.9) Векторы линейных координат Н,',', и оптических направляющих косинусов Т,',', луча в плоскости з„,=О равны Н,',', = Н„,; Т,',', = Т,' „ . Представим каждый из этих векторов в виде сумвн соответствии с Формулами (1.22),(1.24),(1.25) равны: Н„=а, (Н „-а, )= (О;-а;О)', Т„=Ю,Т„„ = (О; и ~„и. )' . (5.
) С точностью до величин второго порядка малости двух векторов: =Н, „„+бН„ ~5.10) Т" ХХХ тктах ХХХЮ где Н„, =~О;О;О)', Т„, =~О;О;и.)', бН„„=~О;-<а+Ь); О)', бТ„„ =~О ; п (р-ражип,-п,' ) + и,'ф;О)'. Векторы Н„, , Т„, описывают луч, совпаданщий с осью симметрии второй части оптической системы.
Координаты векторов бН„„ и бТ„„ являются величинами первого порядка малости. Векторы бН„, бТ„„ описывают ЛД1П, построенный на луче (Н„, ;Т„, ) и принадлежащий плоскости э„,=О. Этот ЛД1П является АЛД1П для второй части оптической системы и его параметры связаны„ согласно выражениям (4.13), с параметрами эквивалентного параксиального луча : а =О( а = -(п,~-ра(п-п' )+и' Ф~ /и'; Х=О; Р = -(а;-Ь~ . (5.(1) Таким образом, расчет луча ~Н,',',; Т,',',) через вторую часть оптической системы сводится к расчету параксиального луча, параметры которого в плоскости э„,=О определяются выражениями (5.11). 5.3. Расчет лучевого диФФеренциала первого порядка Рассмотрим ЛД1П, построенный на луче ~Н ;Т ).
Так как этот ЛД1П является АЛД1П для первой части оптической систежн, то в плоскости я,=О его параметры бН,=(бх;бу;О)', бТ,=(бр;бд;О)'. Параметры этого ЛД1П в плоскости я„,=О после преломления на поверхности й определяются с использованием Формул (1.3б), (3.7)-(3.14) М... =(бх„.бу;Ю)', бТ...
=(бр...,бо...;И...)', (б.1г) где бр,',', = бр + рбх по-по ; бд,',', = бц ~ лбу(п -и') б1'' = — бя'' (~ у — Р~~~ -~~) ~. ~~ ф) '~~ — Е~'(с~~Ь)бу; ххх~~ тххх б~,' ' бТ,',', (5.13) где М„, „= (бх;бу;О)'; бТ,„„„= (бр...; бо...; О)' вежливы первого порядка малости, б Н„„=(0;0;О) ; б Т,' „ =(О; О, "б1,',',) — величины второго порядка малости. При атом во второй части оптической системы (бН„, ;бТ,' „ ) представляет собой АЛД1П в плоскости к„,=0.
АЛД1П (бН„, ;бТ' „, ) не зависит от параметров а,~р,Ь,ф и в плоскости я„,=0 в исходной осесимметричной оптической системы он так же равен (бН„, , "бТ' „, ). Векторы б Е„„ и б Т,' „, описывают АЛД2П, который построен на двух АЛД1П, а именно: ( Вхжка~' ~тжо~ )' ( кгпв' ткано)' и,' =и'(О). Представим векторы линейных координат и оптических направляещих косинусов ЛД1П (бН„,;бТ,' „ ) в виде сумм двух векторов 5.4. Расчет лучевого диф$еренциала второго порядка параметры имеют вид: б'Н, = (О;О„.О)'; б'Т, = (О;О;б'Ц' где б*), = Пп,[бх,бх,~бу„бу,~ — [бр,бр,~бп,бц,1/и.; и,' =и,'~о).
Параметры этого ЛД1П в плоскости к„,=О после преломления на поверхности й определяются с использованием Формул (3.25)-(3.31): б*х... = — ~ар-И) [бр„бу,--бр,бу„1/и,+ + (бР,',' „ бу,+бР,',' „ бу,)(~Р+Ф)/и,' ~ (5 14) б*у,',', = -~ар р) [бб,бу,+бр,бу,1/п. ~~при))[бб,','„бу, ~ бц,','„бу,)/и,' + ркиб)~бх,бх.+бу„бу,)- — р[ и б-па~и;и,') ~ и,' а) [бх„бх,+бу„бу,)/и' (5.15) (5.16) '~111 = — ~п, (оо-~[)) (бх„бу,+бх,бу„)- -р(ар-а) ~п;И') [бр„бу, бр,бу„)/и,— 83 а(бх бу + бх бу )(и и ) Рессмотрим ЛД2П, построенный на луче (Н ;Т ), ЛД1П (бН,;бТ,) и ЛД1П (бН,;бТ,).
Так как этот ЛДЕП является АЛЬП в первой части оптической системы, то в плоскости я1=О его — Р'а(п;И) <бх„бу, + бх,бу,)/И' х- +2п,' (ра+ф) (бх бу +бх бу ) б*я,',', = (ар-р) <бр„бр, х- бц,бц,)/И— -гп,(ар-ср)(Збу„бу.+бх,бх„)- и р(ар-(р)(Збу бу +бх бх )- 1 1 -р(ар-Ф) (бу,бд,+бу,бд, ) (и -и' ) — + — + "О "О ~ р р*(и;и,')(бу,бу,~бх,бх,) + гр*р бу бу и <п -и )/и -8а,а(п,-п') (Збу,бу,+бх,бх„) + ап,'р(а+а) (Збу бу +бх,бх„)+ ~ и'р(ар~ф)(ббу„бу,~бк,бх„) — ур а бу,бу, <и;и,'~ /и' + Яп,' (ар+ф) (Збу„бу,+бх,бх,)— — (арну) <бр„','„бр,','„х- бб,','„бц,','„~/и,' (5.18) 'ХХ1 = гп, (бу,бу,+ бх,бх„)— — б~х( б~х( + бл(х бл(( 3 /и У ЛХХХ Р"ВХХХ 'хВХХХ 'ау 111~/ О где д(п,'(я„,) ) и' д(п,(~,)) П дк, Представим векторы линейных координат и оптических +Ярп,"(а+Ь) (бх бу + бх бу„) + р и' (ар+ф) (бх„бу +бх бу„)- -рп (ар-а) (бх,бу,+бх,бу,)- р(арр) (и,-п,') <бх„бд, + бх,бб,)/и,'~ ~ р*п,р(п;и,') <бк„бу ~ бх бу )/и' направляющих косинусов ЛД2П в плоскости з„,=0 в виде сумм двух векторов: второго порядка малости; б Т,'„=(б р,',',;б д,',',;О), б Н„, =(б х,',',;б у,',',;О) — величины третьего порядка малости.
ЛД2П (б Н„,; б Т,'„) построен на ЛД1 П (бН„„;бТ„„, ) и ЛД1П (бН„„„бТ,„, ) и является ЬЛД2П во второй части оптической системы. ЛД2П (б'Н„, ;б'Т,' „ ) не зависит от параметров а,Ьд,ф. Следовательно АЛД2П в плоскости к„,=0 в исходной осесимметричной оптической системе также б ~хжк ) ~~~~~р~ б ~тххх' б ~ххххх описывают ЛДЗП, построе~ный на трех ЛД1П: (бН„„, ;бТ„' „, ), (бН„„ ;бТ,' „, ), (бН„, ;бТ,' „ ); соответствующих им трех б*Т'„„ ). Опорным лучом является луч, совпадающий с осью О„,Е„,. Таким образом, ЛДЗП (б Н„„, б Т,' „, ) является АЛДЗП во второй части оптической системы.
5.5. Определение величины смещения изображения Из Формул (2.1 5)- (2.1 8), (5.1 2), (5.13) следует, что в параксиальном приближении координаты х„ ,у„ точки пересечения луча с плоскостью изображения оптической системы с нарушенной осевой симметрией равны: — 147— 'из= "из"у. ' уиз= "изи', ' 'уиз где У ,К' — меридиональная и сагиттальная составляюшие У' х полевых нормированных координат луча; Н„ — высота второго вспомогательного луча в плоскости изображения. Величина смещения изображения Лу„' не зависит от нормированних координат луча.
Так как в параксиальном приближении координаты х„ ,у не зависят от апертурных нормированных координат луча и линейно зависят от полевых нормированных координат, то предметная плоскость и плоскость изображения оптически сопряжены [51. При У =У =О =й =О луч совпадает с осью О,Е, и пересекает плоскость изображения в точке А', которая оптически сопряжена с осевой точкой А предметной плоскости. Из выражений (5.21) следует, что точка А' принадлежит меридиональной плоскости и смещена с оси О„,Я„, на Ьу„' Для определения величины смещения изображения запишем инвариант ~3.4б) в виде: Ь =а'и' бу„, + Ь бц,'„ бс,'„, = п,~ -ра~п,-п,' ) + и' Ф где бу„„= -(а+Ь), 5.6. Определение коэКжциентов аберраций второго порядка Так как плоскость изображения оптически сопряжена с предметной плоскостью, то в оптической системе с нарушенной параметры ЛД1П ~бН„, ;бТ,' „,) в плоскости я„,=О. Смещение Лу„' точки А' с оси О„,Е„, определяется как: а' и' Ьу' = 1 = -а'п'~а+Ь)+Ь~п р-ра(п -и' )+и' ф).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
