Диссертация (1025509), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Полученное выражениеxпоказывает, что распределение (2.24) является одномодальным с абсциссоймоды:xm  c .m k(2.26)С практической точки зрения соотношение (2.26) является полезным,посколькувпространствебезразмернойкоординатыxнетолькоустанавливает взаимосвязь между коэффициентами c и k, характеризующимиинтенсивность центробежных сил и классификационного воздействия, но инаделяет их отношение наглядным физическим смыслом. Более того,соотношение (2.26) позволяет сделать вывод о том, что положение абсциссымоды xm распределения (2.24) в пространстве безразмерной координаты x независит от интенсивности случайных составляющих b.Обратимся к рассмотрению уравнения (2.13), которое также допускаетвесьма наглядную интерпретацию.

Его можно записать в виде, аналогичномвиду обычного уравнения неразрывности [94]:f ( x, t )  J ( x, t )  0 , гдеtx104n 1cf ( x, t ) J ( x, t )  (k  x n1  ) f ( x, t )  b – плотность соответствующего потока. Дляxx стационарного состоянияf J0 иt xJ ( x)  J   const , что позволяетзаписать:xdf , n ( x)dx2nJ  m  x n 1    f  , n ( x)    x .b(2.27)Данное линейное уравнение первого порядка вида: f 2 ( x)U x  f1 ( x)U  f 0 ( x) .Последнее уравнение имеет решение [36]: U  C1e F  e F  e FF ( x)  f 0 ( x)dx , гдеf 2 ( x)f1 ( x )dx . Тогда решение уравнения (2.27) можно представить вf 2 ( x)виде [40]:Jf ,n ( x)  e F  C1   e  F  dx  ,bn 1гдеF ( x)    (m  x n1 (n  1) n1)dx  m  x  ln x   ln C0 , аx2n2nC0 ,C1 –некоторые постоянные. В результате получаем: m(n  1) ( n2n1)   m(n  1) ( n2n1)  J  f ,n ( x)  C0 x exp x C   C0 x exp  2n  x dx  .  12nb  (2.28)В наиболее общем виде процедура определения вида полученногостационарногораспределенияf  , n ( x)сводитсякнахождениюпредставленного в выражении (2.28) интеграла, исследованию его свойств иопределению постоянных.

Однако в рассматриваемом случае даннаяпроцедура может быть существенно упрощена. Для этого необходимосопоставить распределение (2.28) с распределением (2.24), принимая вовнимание, что последнее является его предельным случаем (при n  1).Очевидно,чтовусловияхстатистическогоравновесияJ  0распределения (2.28) и (2.24) совпадают между собой.

С физической точки105зрения для стационарного распределения условие J   0 эквивалентнодопущению не только о постоянстве полного количества частиц данногоразмера в цилиндрической части гидроциклона, но и о постоянствеотносительногоколичествачастицданногоразмеравкаждомрассматриваемом интервале ( x, x  dx) . В противном случае, при J   0 , встационарных условиях происходит либо непрерывное накопление частицданного размера в цилиндрической части гидроциклона с последующим егозабиванием, либо их непрерывное удаление в количествах, превышающихпоступление, приводящее к полному отсутствию частиц данного размера вцилиндрической части аппарата.

И то и другое противоречит сделаннымдопущениям, законам сохранения иимеющимсяэкспериментальнымданным.Это позволяет сделать важный практический вывод о том, что дляобеспечениястационарныхусловийработыгидроциклонаплотностьсоответствующего потока частиц любого размера d ч в пространстве xдолжна быть равна нулю J ( x, t )  J ( x)  J   0 .Полагая, что J   0 ,   2n /( n  1) и m  m /  из (2.28) получено: m(n  1) ( n2n1)   C0,n  x em' x . (2.29)f ,n ( x)  C0,n  x exp  x2nПрименяя операцию dxк обеим частям выражения (2.29), с учетом0(2.15), имеем:0f ,n ( x)dx C0 ,n  m1 (mx )( 1)1e mx d (mx )  1 .

Далее,0используя определение гамма-функции по Эйлеру, найдено: 1C 0 ,n  m .  1  (2.30)106Выражениястационарного(2.29)и(2.30)распределенияполностьювf  ,n ( x)определяютпространствефункциюбезразмернойкоординаты x, при n  [0,5;1] в зависимости от коэффициентов k, c и b,характеризующихинтенсивностьклассификационноговоздействия,центробежных сил и случайных составляющих соответственно. При этомопределяющими величинами по-прежнему являются не сами коэффициентыk, c и b, а относительные величины (комбинированные комплексы)m k (n  1)cи   , характеризующиеb2nbсоответственно относительныеинтенсивности классификационного воздействия и центробежных сил посравнению с интенсивностью случайных возмущений.Возникаетестественныйвопросоправомерностииспользованияпредельного стационарного распределения f ,n ( x) при оценке измененияхарактеристик разделения гидроциклонов, так как аналитическое решениеуравнения (2.13) осуществлялось лишь для частного случая n  1 , а оценоктого, что этот случай действительно является предельным и в частивременных оценок, не проводилось.Обратимся к рассмотрению этого вопроса, начиная с качественногорассмотрениястадиивводаразделяемойдисперснойсистемывцилиндрическую рабочую часть гидроциклона.

На этой стадии в начальныймомент времени частицы дисперсной фазы сосредоточены на конце входногопатрубка и имеют координату абсциссы моды x0  1 . Далее, в процессе вводаразделяемой дисперсной системы, независимо от величины n [0,5;1],координата моды меняет свое положение на величинуsn  x  x0 .Аналогичный процесс происходит и на гидродинамической стадии эволюциипроцесса классификации до тех пор, пока абсцисса моды не достигнет своегостационарногозначенияxm ,nsn  smax,n  xm,n  x0 для n  [0,5; 1].ибудетвыполняться соотношение107Для нахождения абсциссы xm ,n максимума плотности стационарногораспределения f ,n ( x) приравниваем к нулю первую производную функцииплотности распределения (2.29),f,n ( x)   C m,n  x  e mx   m    x  1   0 .xПолученное выражение показывает, что распределение (2.29), также какраспределение (2.24), является одномодальным, но с абсциссой моды:1xm ,n1    c     .mk(2.31)Соотношение (2.31) не только устанавливает взаимосвязь междукоэффициентами c и k, характеризующими интенсивность центробежных сили классификационного воздействия, но и показывает, что положениеабсциссы моды xm,n , также как положение абсциссы моды xm распределения(2.24), в пространстве безразмернойкоординатыx не зависит отинтенсивности случайных составляющих b.При этом для n  [0,5; 1), α  [0,66; 1) и 1/   [1,5; 1) выполняется x m, n < xmприcc< 1 и xm ,n ≥ xm при≥ 1.

Соответственно имеет место неравенствоkkS max, n > Smax,1 при n  1 .Иначе говоря, система проходит минимальный эволюционный путь впространстве безразмерной координаты x при n=1. Поскольку значенияабсцисс модыxmиxm ,nне зависят от интенсивности случайныхсоставляющих b, можно считать, что время изменения положения абсциссмоды обратно пропорционально средней скорости соответствующегоcxcxпроцесса W    k   и Wn   kx 1   . При этом для x0  xm и x0  xm,n.

,независимо от положения абсциссы моды при прочих равных условиях,выполняется Wn ≥ W  .108Указанное обстоятельство позволяет предположить, что после вводаразделяемой дисперсной системы в гидроциклон промежутки времени, закоторые устанавливаются стационарные распределения f  (x) и f ,n ( x) , имеютодин порядок. Таким образом, в первом приближении выполненные вышеоценки для распределенияf  (x)могут быть распространены и нараспределение f ,n ( x) .Представленные оценки позволяют сделать вывод, что применениепредельногостационарногораспределенияf  ,n ( x)дляопределенияхарактеристик разделения гидроциклонов является вполне обоснованным иподлежит экспериментальной проверке.Следует особо подчеркнуть, что в общем случае коэффициенты W (S ) иB(S )вуравненииФоккера-Планка-Колмогоровавыражаютсячерезусредненные характеристики процесса и в этом смысле их вычисление можетбыть сведено к чисто механической задаче. Однако при наличии в процессеклассификации состояния статистического равновесия, фактически нетнеобходимости в раздельном вычислении коэффициентов W (S ) и B(S ) вкинетическом уравнении (2.11).

В частном случае эти коэффициенты могутбыть выражены друг через друга из условия обращения в ноль плотностисоответствующего потока в состоянии статистического равновесия. В нашемслучае эта задача при необходимости может быть решена путем подстановкитого или иного предельного стационарного (равновесного) распределения вуравнение J   0 .Сцельюопределениятрансформациипредельныхстационарныхраспределений в зависимости от изменения диаметра частиц и радиусацилиндрической части гидроциклона R0 перейдем к новой безразмернойпеременной r=R/R0.

Как уже отмечалось ранее, уравнения того же типа, что икинетическое уравнение (2.11), будет справедливо идля функцийраспределения f по другим переменным, если только выполнены условия,109лежащие в основе вывода уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, –относительнаямалостьизменениявеличинвэлементарныхактахвзаимодействия и линейность по f интегрального оператора, выражающегоизменениефункцииблагодаряэтимактам[70].Применительнокрассматриваемой задаче, процедура нахождения стационарных функцийраспределения f по другим переменным может быть существенно упрощена,посколькунетребуетсоставленияирешениясоответствующегокинетического уравнения.Действительно, принимая во внимание известныеf  ( x)dx  f  (r )drf  , n ( r )  f  , n ( x)dx,drиf ,n ( x)dx  f ,n (r )dr ,получаем:соотношенияf  ( r )  f  ( x)dxиdrчто в свою очередь с учетом обозначений (2.24), (2.25) и(2.29), (2.30) позволяет записать:f  (r )  2C0  r 21  exp( mr 2 ) ,(2.32)f ,n (r )  (n  1)C0,n  r ( n1)n  exp(mr 2n ) .(2.33)Выражения (2.32) и (2.33) полностью определяют функции стационарныхраспределений f  (r ) и f , n (r ) в пространстве безразмерных координат r приn  1 и n  [0,5; 1] соответственно, в зависимости от коэффициентов k, c и b,характеризующихинтенсивностьклассификационноговоздействия,центробежных сил и случайных возмущений.

Характеристики

Список файлов диссертации