Диссертация (1025509), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

При этом определяющимивеличинами по-прежнему являются не сами коэффициенты k, c и b, аотносительныеm величины(комбинированныеck (n  1)и   , характеризующиеbb2nкомплексы)mk,bсоответственно относительныеинтенсивности классификационного воздействия и центробежных сил посравнению с интенсивностью случайных возмущений.110Длянахожденияабсциссиxm (r )xm,n (r )максимумаплотностистационарных распределений f  (r ) и f ,n (r ) , приравниваем к нулю первуюпроизводную функций плотности распределения (2.32) и (2.33), в результатеполучено: f  (r )  2  C0  r 21e mrf2(2  1 2mr)  0 иr( n 1)  n mr 2 n (n  1)  n(r)(n1)Cre( 2nm  x 2 n1 )  0 . ,n0,nrПолученные выражения показывают, что распределения (2.32) и (2.33)являются одномодальными с абсциссой моды соответственно:12 2  1 rm   , 2m (2.34)1rm,n (n  1)  n  2 n . 2nm (2.35)Выражения (2.34) и (2.35) показывает, что положения абсцисс моды впространстве безразмерной координаты r уже зависит не только ототносительной интенсивностицентробежных сил по сравнению склассификационным воздействием, но и от интенсивности случайныхвозмущений b, точнее, от относительной интенсивности случайныхвозмущенийвоздействия.посравнениюПриклассификационногоэтомсинтенсивностьювопросвоздействияиобклассификационногоопределяющемслучайныхвозмущенийвлиянииостаетсяоткрытым и требует как экспериментальной, так и расчетной проверки спривлечением соответствующего программного обеспечения.Представленноеисследованиеасимптотическихсвойствмоделигидродинамической стадии эволюции процесса классификации в аппаратахциклонного типа позволяет перейти к решению важной прикладной задачи –определению характеристик разделения суспензий в гидроциклонах.1112.4.Определениехарактеристикразделениясуспензийвцилиндроконических гидроциклонах-классификаторах с инжекциейРаспределение (2.29) остается справедливым для частиц любого размераdчразделяемойдисперснойсистемы,чтопозволяетзаписать:f ,n ( x )  f ,n ( x, d ч ) .

Тогда непрерывная функция эффективности разделениячастиц в гидроциклонах T  T (d ч ) , которая показывает долю частиц любогоразмера, уловленных в гидроциклоне и поступивших в нижний слив, можетбыть определена в виде:T  T (d ч )   f , n ( x, d ч )dx .(2.36)1Соответственно функция D   D  (d ч ) , которая показывает долю частицлюбого размера, прошедших гидроциклон и поступивших в верхний слив,может быть представлена в виде:1D   D  (d ч )   f ,n ( x, d ч )dx .(2.37)0При этом выражения (2.36) и (2.37) связаны очевидным соотношениемT  D  1 . Фактически это означает принятие допущения о том, что рабочаястенка аппарата не оказывает непосредственного влияния на дальнейшееповедение частицы любого размера и любая стоксовская безынерционнаячастица дисперсной фазы, достигшая этой стенки, при x  1 рано или позднопопадает в нижний слив.

В противном случае она поступает в верхний слив.Распределения (2.29), входящие в состав характеристик (2.36) и (2.37),являются трехпараметрическим семейством кривых и формально (посленекоторых преобразований) совпадают с универсальными эмпирическимиформулами Свенссона и Авдеева [54]. Последние описывают аналитическиеформы кривых распределения частиц продуктов измельчения. Кроме того,распределения (2.29) совпадают с аналитическим выражением Шифрина для112описания числа капелек в облаках в зависимости от их размера [54].

Однако вотличие от последних распределений, которые получены эмпирическимпутем, распределения (2.29) могут быть отнесены к разряду теоретическихформул, поскольку они были найдены исходя из вполне конкретныхфизических предпосылок. При этом все эти распределения можнорассматривать как обобщение большинства известных эмпирических итеоретических законов статистического распределения случайных величин. Вчастности, при определенных значениях параметров они могут бытьпреобразованы в нормальный закон Гаусса, в законы Максвелла, Пирсона идругие статистические закономерности, а также формулы Розина-Раммлера,Годена-Андреева-Шумана, Ромашова и т.п.Вместе с тем необходимо отметить, что, несмотря на разработанныемеханизмы применения (специальные таблицы и методы вычисления)трехпараметрических универсальных эмпирических формул, эти процедурынаходятвесьмаограниченнуюобластьпримененияиз-засвоейотносительной сложности.Врезультате,поискдополнительныхобоснованныхдопущений,направленных на упрощение вида распределения (2.29) путем сокращенияколичестваопределяющихпараметровследуетпризнатьнетолькообоснованным, но и практически значимым.Для решения этой задачи обратимся к рассмотрению одного важногосвойства нормального распределения Гаусса – к свойству статистическогосамоподобия[55],котороеможнозаписатьвследующемвиде:Law( xa ,  0)  Law(bx ,  0) .

Эта запись означает, что для любых a>0 и b>0две случайные величины xa и bx имеют одинаковое распределение, вчастности одни и те же математические ожидания и дисперсию. Тогда,например, для характеристики разделения T можно записать: s2 1Texp   2 ds 2 2 x2r'  2 2 1s2  exp   2r'  2 ds .r 'x113При этом замена переменных s  r'u в последнем интеграле сводит его кпредыдущему. Непрерывная функция эффективности разделения частицостается неизменной при преобразовании переменных s'  ks  ' 2  k 2 2 , гдеk  r' - коэффициент масштаба, то есть если масштабы радиуса аппаратаменяются в k раз, то для неизменности нормальной функции разделения Тмасштаб дисперсии следует изменить в k2 раз. Иначе говоря, в нормальномраспределении имеет место одинаковый результат при замене либо s'  ks ,либо  ' 2  k 2 2 , соответствующий инвариантному преобразованию функции.Поскольку для относительно крупных частиц разделяемой дисперснойсистемы  >>1 ираспределения (2.24) и (2.29) стремятся к δ-образнымпредельным распределениям, хорошей аппроксимацией которых являетсянормальный закон распределения, можно считать что здесь свойствостатистическогосамоподобия(2.24)и(2.29)будетвыполнятьсяснеобходимой точностью.

Для средних и относительно мелких частиц можнопредположить, что это свойство будет выполняться лишь частично, только винтегральных оценках величины T, так как здесь распределения (2.24) и(2.29) имеют координаты абсцисс моды в области x<1, а при x>1 обладаютниспадающими «хвостами» ~ e  mx и ~ e  mx примерно одинаковой площади.При этом частичное самоподобие распределений (2.24) и (2.29) дляинтегральных оценок величины T можно записать в виде:cbT  C0  x e1k xbdx  C0,n x1cb kexp    x  dx . b(2.38)Выражение (2.38) показывает, что изменение масштаба величиныпоказателя степени ( '   ) для интегральных оценок величины Т должноприводить к тому же самому результату, что и изменение масштабавеличины постоянного коэффициента (b'  b) .

Полагая   1 , приходим квыводу, что при соответствующем выбореbтрехпараметрическоераспределение (2.29) в части интегральных оценок может быть сведено кболее простому двухпараметрическому распределению (2.24). При этом114отсутствие строго математического доказательства выполнения соотношения(2.38) требует его экспериментальной проверки.Определяющее воздействие коэффициента b в рассматриваемой моделинезаканчиваетсялишьвозможностямимасштабированияиучетаинтенсивности случайных составляющих классификационного процесса.Кроме того, на этот коэффициент возлагается также учет влияния стенок иколлективного поведения частиц в рабочей части аппарата и ряда другихфакторов.Кпоследнимвпервуюочередьследуетотнестигидродинамические особенности потоков в аппарате и физико-химическиесвойства разделяемой дисперсной системы и так далее.Очевидно, что детальное теоретическое исследование всех факторов,которые учитывает коэффициент b, включая проявление «fish-hook» эффекта,является самостоятельной междисциплинарной задачей, далеко выходящейза рамки данной работы.

В связи с этим уже на самом первом этаперассуждений откажемся от использования «точных» законов – физических,физико-химических, гидродинамических, кинетических и т.п. Воспользуемсядругим подходом – феноменологическим, базирующимся на приближенныхэвристических соображениях, которые следуют из этих «точных» законов. Вприкладных технических исследованиях такой подход обладает, по меньшеймере, одним достоинством – ясностью представления физических явлений иинтерпретации полученных результатов.Проводя аналогию с физическими процессами переноса и, в частности, сдиффузионными процессами [98], можно утверждать, что в стационарномсостоянииосредненная«диффузионная»v(d ч )  v dч с размером dчнекоторыйскоростьдвижениячастицможет быть определена в пространстве x черезосредненныйкоэффициентинтенсивностислучайныхсоставляющих этих частиц – B(d ч )  Bd ч в виде:vdч ~ Bdч  (d ч  l )  N (d '  d ч ) ,(2.39)115где d ч  l – эффективный диаметр взаимодействия частиц; l  const –изменение эффективного диаметра взаимодействия частиц за счет физикохимических, гидродинамических и подобных явлений, например, за счетсольватных оболочек частиц или отклонений от закона Стокса и других;N (d '  d ч ) – число частиц в единице объема, размер d’ которых большеразмера dч.Выражение (2.39) учитывает не только изменение относительнойскорости движения частиц и эффективного радиуса при их взаимодействии,но и факт взаимодействия частиц размера dч с частицами более крупныхразмеров d '  d ч .

С другой стороны, скорость v d может быть определена вчвиде:vdч ~ B  (dч  l )  N  ,(2.40)где B – некоторый постоянный коэффициент интенсивности случайныхd ч  l – эффективный диаметрсоставляющих для частиц всех фракций;взаимодействия частиц; l  const – постоянное осредненное изменениеэффективного диаметра взаимодействия частиц при их взаимодействии счастицами всех фракций; N  – полное число частиц всех фракций в единицеобъема.Поскольку для частиц размером dч b  bd ~ Bd и b ~ B  const , из (2.39) ичч(2.40) получена эмпирическая зависимость для коэффициента bd :чbdч  b (d ч  l )N.N (d '  d ч ) (d ч  l )(2.41)Величины b , l и l , входящие в выражение (2.41), можно считатьпостояннымидлячастицлюбыхразмеровлишьдляконкретнойгидродинамической обстановки в гидроциклоне, и по мере ее изменения онитакжебудутизменяться.Этопозволяетвпервомприближениипредположить, что b  b (Q, Qin ) , l  l (Q, Qin ) и l  l (Q, Qin ) . Таким116образом, нахождение явного вида последних зависимостей можно отнести кодной из основных задач экспериментальных исследований данной работы.Отношение N  / N (d '  d ч )  1 / TN (d ч ) есть не что иное, как величина,обратная остатку TN (d ч )  N (d ч  d ч,i ) / N  , представляющему собой долюколичества частиц, диаметр которых больше некоторого фиксированногозначенияd ч .

Для нахождения величины остаткарассмотрениефункциюплотностираспределенияTN (d ч )введем вколичествачастиц (dч )  dD(dч ) / d (dч ) в рабочей части гидроциклона по их диаметрам dч.Тогда с помощью «одночастичной» функции плотности распределения (d ч ) , величину остатка TN (d ч ) можно определить как:TN ( d ч )    ( d ч ) d ( d ч ) .(2.42)dчСоответственно средний диаметр частицприсутствуютвциркуляционнойрабочейdч ,которые постоянночастигидроциклонавстационарном режиме его работы, может быть определен в виде:d ч   d ч (d ч )d (d ч ) .(2.43)0Выражение (2.43) представляет собой одно из ограничений на видфункции (d ч ) .Вторымограничениемявляетсяобычноеусловиенормировки функции  (d ч ) :  (dч)d (d ч )  1 .(2.44)0Будем считать, что в состоянии статистического равновесия частицыдисперсной фазы в рабочей части гидроциклона идеально перемешаны иникаких других ограничений на вид функции  (d ч ) , помимо (2.43) и (2.44),не задано. Воспользуемся известным принципом максимума энтропии:117~S ( (d ч )    (d ч ) ln  (d ч )d (d ч ) .Для решения задач отыскания условного0экстремума функции обычно используют известный метод неопределенныхмножителей Лагранжа.

Характеристики

Список файлов диссертации