Диссертация (1025509), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Кроме того, допускаем постоянство во96времени средней скорости движения частиц W   W (S ) и стационарностьслучайных возмущений, интенсивность которых охарактеризуем с помощьюпараметраB=B(S)=constв пространстве S.Тогда для описаниягидродинамической стадии эволюции системы в пространстве S можновоспользоваться известным кинетическим уравнением Фоккера-ПланкаКолмогорова в виде:f ( S , t )1 2(W ( S ) f ( S , t )) ( B( S ) f ( S , t )) .tS2 S 2(2.11)С учетом сделанных допущений подстановка выражения (2.9) в уравнение(2.11) дает:n1 B  2 f (S , t )f ( S , t ) C n1f ( S , t ) . A StS S S 2 2(2.12)Известно [70], что уравнение такого же типа будет справедливым и дляфункции распределения f по другим переменным, если выполнены условия,лежащиевосновееговывода:относительнаямалостьизменениянаблюдаемых величин в элементарных актах взаимодействия и линейностьпо f интегрального оператора, выражающего изменение функции благодаряэтим актам.Обозначив B / 2  b0 и вводя безразмерную координату x  S / S0 , получаем:n1  2 f ( x, t )f ( x, t )  cn1 (k  x  ) f ( x, t )  b,tx xx 2где S 0  Rn 10постоянные– постоянная величина, а k  A / Sкоэффициенты,классификационноговоздействия,2n 10(2.13), c  C / S02 , b  b0 / S 02 –характеризующиеинтенсивностьцентробежныхисилслучайныхвозмущений соответственно.При решении уравнения (2.13) воспользуемся в качестве начальногоусловия выражением:f ( x,0)  f 0 ( x) .(2.14)97Функцияf 0 ( x) ,задающаяначальное(вмоментвремениt=0)распределение частиц данного размера dч в пространстве x, считаетсяизвестнойиудовлетворяющейв любоймомент времениусловиюнормировки: f ( x, t )dx  1 .(2.15)0Последнее условие показывает, что функцияf ( x, t ) должна бытьограниченной на интервале (0, ) , не иметь сингулярности в нуле иудовлетворять условию f  0 .xПерейдем к решению уравнения (2.13) с учетом сформулированныхначальных и граничных условий.

Воспользовавшись известным методомразделения переменных, решение будем искать в виде f ( x, t )  U ( x)  T (t ) .Подставляя последнее выражение в (2.13), имеем:dT Tdt(2.16)d (k  xdx n1n1c d U )U   b Ux dx 22.Вначале обратимся к анализу предельного случая n  1, в результатеполучаем:dT Tdt(2.17)d c d U k  U   b 2  Udx x dx2,где  – набор некоторых постоянных величин, нахождение которых исоответствующих им функций обычно называют задачей Штурма –Лиувилля.Рассмотрим подробнее второе уравнение системы (2.17), переписав его ввиде:98d 2U c  dU  cb k    2   U  0 .2x  dx  xdxЭтооднородноелинейноеуравнениевторого(2.18)порядкавида:f 2 ( x)U xx  f1 ( x)U x  f 0 ( x)U  0 . Последнее уравнение может быть приведено кканонической (или нормальной) форме uxx  f ( x)u  0 с помощью заменыU ( x)  u ( x) exp( f1 f11 f1 fdx) , где f  0  ( 1 ) 2  ( 1 )x .2 f2f2 4 f22 f2Применительно к уравнению (2.18) имеем замену:kx 1 k cU ( x)  u ( x)  exp    (  )dx   x 2  e  2b  u ( x)  x 2  e 2  u ( x) , где   c и m  k .bb 2 b bx mxПолагая, что y  mx , для функции u(y) из уравнения (2.18) следует:d 2 u    2  2  b 1    2  u  0 или4 dy 2  2 y4y2k4 y2Введяновуюd 2u  4b  2 1  2  y  2y  (  1)2  1  u .2dyk z  1переменную4bk 2  4byxbk2иобозначая4b    / 2  1  2  , m0  (  1) / 2 , для функции u(z ) имеем:k d 2u4z ( z 2  4z  4m02  1)  u .2dz2(2.19)Известно, что уравнение (2.19) представляет собой приведенную формувырожденного гипергеометрического уравнения, которое обычно называютуравнением Уиттекера [50].

Уравнение (2.19) при m0 = m, 2m  1,2,... имеетследующие два линейно независимые решения:M k ,m ( z)  zM k ,m ( z)  zm12me12z21 m  k  ,2m  1; z  ;2z21e   m  k  ,2m  1; z 299и общее решение u( z)  C1M k ,m ( z)  C2 M k , m ( z) , где ( ,  ; z) – вырожденнаягипергеометрическая функция, а C1 и C 2 – некоторые постоянные, которыеследует искать исходя из начальных условий (2.14) и условий нормировки(2.15).Однако применительно к рассматриваемой модели, для получения явноговида распределенияf ( x, t ) общее решение уравнения (2.19) найдено2z2несколько другим методом, в частности, подстановка u ( z )  z  e  ( z )приводит для функции (z ) к уравнению вида:d 2d  kz 2  [(  1)  1  z ]  1 z  0 .dz 2  k 2  4b dz(2.20)Уравнение (2.20) имеет решение, ограниченное на бесконечности и неимеющее сингулярности в нуле лишь в том случае, когда величинаkk является целым числом, то есть когда  1 1  i ,222  k  4b 2  k  4bгде i = 0, 1, 2, …, что соответствует величинам   z  14bk 2  4bmyxx.2b(  2i)kиРешением уравнения (2.20), котороесоответствует собственному значению   ( 1)многочлен Лагерра [51] Li (k 2 (  i )ib(  2i) 2k 2 (  i ) i , является обобщенныйb(  2i) 2mx) , степени i и порядка (  1) .(  2i )Возвращаясь к искомой функции f ( x, t )  U ( x)  T (t ) с учетом системы(2.17), сделанных замен и обозначений, можно утверждать, что дляпредельного случая n  1, функции вида:  mxm k 2 (  i )   2  2    m  2 2(  2i ) x ( 1)   mx  eLi (x)  exp  i  t  ; x e 2(2i)(2i)b(2i)i = 0, 1, 2, …100являются частными решениями уравнения (2.13).

Тогда общее решение этогоуравнения для предельного случая n  1 может быть представлено в виде:  mx i  m   m  2  2 (   2i ) x  k 2 (  i ) 2 2(  1)    mf ( x, t )   x e  x  eC i Li x  exp  i  t  ,(2.21)2(2i)(2i)b(2i)i0где Ci – постоянные, которые следует искать из начальных условий (2.14) иусловий нормировки (2.15), используя свойства решений и функций, включаясвойства специальных функций.Таким образом, получено в явном виде (2.21) искомое выражение дляфункции распределения f ( x, t ) , которое дает возможность найти зависимостьвида распределения стоксовских безынерционных сферических частиц массыи диаметра dч в пространстве безразмерной координаты x=(R/R0)2mчцилиндрической части гидроциклона радиуса R0 от времени t пребывания внейиконструктивныхпараметроваппаратасучетомрасходныххарактеристик и свойств разделяемой дисперсной системы.При этом к конструктивным параметрам можно отнести величины  , hц,R 0 , Sвх; к расходным и структурным характеристикам потока – величины Q иQin , kγ, kin; к свойствам разделяемой дисперсной системы – μ=μ(T,C),ρч=ρч(dч,), ρс=ρс(T).

В свою очередь эти величины образуют некоторыекомплексы (постоянные), которые можно условно подразделить на внешние,внутренние и комбинированные. Условно к внешним комплексам можноотнести величины Cч , D, C  , c, A0 , Ain , A , k, к внутренним – величины B иb, к комбинированным – m и ϴ.Использование выражения (2.21) не является тривиальным и винженернойпрактикеобстоятельстводелаетможетвызыватьнеобходимымбольшиевведениезатруднения.Этодополнительныхобоснованных допущений, которые позволили бы существенно упроститьпоследующие исследования и расчеты.

В связи с этим далее были проведеныисследования асимптотических свойств предложенной модели.1012.3. Исследование асимптотических свойств разработанной моделиС целью упрощения вида полученной функции распределения f ( x, t ) k 2 (  i )  exp  K i  i  t  , входящиеitрассмотрим сомножители T (t )  exp  2b(2i)в состав выражения (2.21). Влияние аналогичных сомножителей exp  K  i  t  ,но при K=const на вид функций распределения для схожих диффузионныхмоделей процессов измельчения, фильтрования, седиментации, описываемыхс помощью обобщенных многочленов Лагерра, исследовалось многимиавторами [27,94].

При этом было установлено, что с точностью, необходимойдля инженерных расчетов, при   t  3 , вид функций распределения f ( x, t )не зависит от времени t и практически не отличается от предельногостационарного распределения f  (x) , то есть справедливо соотношение:f ( x, t )  lim f ( x, t )  f  ( x) .(2.22)t Другими словами, можно считать, что для моментов временираспределенияt  3видf ( x, t ) не зависит от времени и справедливо равенствоf ( x, t )  f  ( x) .

Среднее время пребывания частицы в цилиндрической рабочейчасти гидроциклона ~t можно оценить с помощью выражения:~t  tf (t )dt  V /(Q  Q )in ,(2.23)0где f (t ) – функция распределения по времени пребывания частиц в рабочейчасти гидроциклона; V=πR02hц – объем цилиндрической части гидроциклона;(Q  Qin ) – полный расход разделяемой дисперсной системы.Для гидроциклонов, имеющих практическое значение, величину ~t ,согласно (2.23), можно оценить на уровне, не превышающем несколькихk (  i )секунд ( ~t ~ 0,1…10 с).

Величину  i  2 можно оценить по порядку2b(  2i)102k2на уровне  i ~ 10 …10 с , так как её составляют сомножителиb38-1и(  i )38с-1, а2 , первый из которых можно оценить на уровне ~ 10 …10(  2i)второй – на уровне, не превышающем нескольких единиц. Соответственно,величины t  3iимеют порядок на уровне не более t  ~10-2 и неравенство~t >> t выполняется для любых практически значимых гидроциклонов.Представленные оценки позволяют сделать вывод, что применениепредельного стационарного распределения f  (x) для определения измененияхарактеристик разделения гидроциклонов является вполне обоснованным иподлежит экспериментальной проверке.Это позволяет существенно упростить решение (2.21), представив его ввиде аналитического выражения (гамма-распределения) для предельногослучая (2.22):cf  ( x)  C0 x  e mx  C0 x b ek xb.(2.24)Принимая во внимание определение гамма-функции Г(x) по Эйлеру [12],t x 1для всех действительных x>0 справедливо: ( x)   e t dt , что с учетом0условия нормировки (2.15) позволяет определить постоянную C0 ввыражении (2.24) как:m 1C0 .(  1)(2.25)Действительно, применяя  dx к обеим частям выражения (2.24), имеем:0C0C0 mxf(x)dxe(mx)d(mx)(  1) и с учетом (2.15) получаем (2.25).0m 1 0m 1Из (2.24) и (2.25) следует, что в процессе классификации через некотороевремяпослевводаразделяемойдисперснойсистемываппарат103устанавливается предельное стационарное распределение f  (x) , вид которогоне зависит от начального распределения f ( x,0)  f 0 ( x) .Указанные обстоятельства позволяют сделать вывод, что непрерывнаяфункцияэффективностиразделениячастицвцилиндроконическихгидроциклонах-классификаторах не зависит от фракционного составаисходной суспензии, поступающей в аппарат.x  0)При этом слева от моды (припредельное стационарноераспределение ведет себя как степенная функция ~ x  , а справа от моды(при x   ) как экспоненциальная функция ~ e  mx .Для нахождения абсциссы xm максимума плотности распределенияприравниваемкнулюпервуюпроизводнуюфункцииплотностираспределения (2.24),  f  ( x)  C0 x  e mx (   m)  0 .

Характеристики

Список файлов диссертации