Диссертация (1025342), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть дана динамическая система и ее инвариантнаямера μ на компактном носителе . Пусть также задано разбиениечисло измеримых множествна конечное. Вычислим энтропию каждого разбиения:126(3.78)Если обозначитьто энтропией динамической системыназывается(3.79)т.е. асимптотический прирост неопределенности для разбиения бесконечномалого диаметра.Введены и другие меры неопределенности состояния динамической системы– энтропии Реньи:(3.80)Если подставить в определение энтропии(см. формулу 3.79)то получим обобщенные энтропии динамической системыинтерес среди них представляетвместо,. Наибольший, для которой существуют удачные алгоритмырасчета [29].Расчет энтропии Шеннона (и второй энтропии Реньи) для исследуемыхдинамических систем показал взаимосвязь энтропии и показателей Ляпунова –одинаковую динамику изменения данных величин.
Полученные наблюденияхорошо согласуются с физической сутью исследуемых характеристик: дляположительных показателей Ляпунова система является перемешивающей, абольшое значение энтропии сигнализирует о росте неопределенности системы(высокой скорости производства информации).3.4.3.Показатель Херста и R/S-анализВозьмемвременнойряд,последовательных значений. Определенный элементнижний индекс. Среднее значениевременного рядачтобыпредставитьnбудет включать егоопределяется как127.Стандартное отклонение(3.81)определяется как.(3.82)Нормированный размах рассчитывается путем первоначального изменениямасштаба для «нормализации» данных, посредством выборочного среднего:(3.83)Полученный в результате рядимеет среднее, равное нулю.Следующий шаг создает кумулятивный временной ряд :(3.84)Скорректированный размахявляется максимумом за вычетом минимальногозначения :(3.85)Нижний индексдля.
Посколькузначениепоказывает, что это – скорректированный размах длябыл скорректирован к среднему нулю, максимальноевсегда будет больше или равно нулю, а минимальное значение всегдабудет меньше или равно нулю. Следовательно, скорректированный размахвсегда будет неотрицателен. Этот скорректированный размахявляетсярасстоянием, на которое перемещается система за показатель времени .Херстом [35] была обнаружена следующая зависимость:(3.86).Нижний индексЗначениедляотносится к значениюдля, с – константа.называется нормированным размахом, потому что оно имеетнулевое среднее и выражается в терминах местного стандартного отклонения.Значениеизменяет масштаб по мере увеличения приращения временисогласно значению степенной зависимости, равному H, который обычноназывается показателем Херста.Показатель Херста может быть приближен посредством вычерчиванияпротиви вычисления наклона через простую регрессию методомнаименьших квадратов.
Рабочим является следующее уравнение:128(3.87).подразумевает персистентный временной ряд; персистентныйвременной ряд характеризуется эффектами долговременной памяти. Втерминах хаотической динамики существует чувствительная зависимость отначальных условий. Такая долговременная память имеет место независимоот масштаба времени.подразумеваетантиперсистентностьсистемы.Антиперсистентная система проходит меньшее расстояние, чем случайнаясистема.
Чтобы система прошла меньшее расстояние, она должна менятьсячаще, чем вероятностный процесс.соответствует стандартному Броуновскому движению (беломушуму).Таким образом, основными шагами алгоритма являются:Начнем с временного ряда длины N.1. Разделим период времени насмежных подпериодов длиныПометим каждый подпериодКаждый элемент вдлиныпомечен, так чтос учетом того, что а = 1, 2, 3, …, ., при этом k = 1, 2, 3, …, .
Для каждогосреднее значение определяется как:(3.88)где– среднее значение, содержащегося в подпериоде2. Временной ряд накопленных отклоненийкаждого подпериодаопределяетсядлины .от среднего значения длякак(3.89)3. Диапазонопределяетсяминимального значениякакмаксимальноезначениев пределах каждого подпериодазавычетом:(3.90)1294. Выборочноеподпериодастандартноеотклонение,рассчитываемоедлякаждого:(3.91)5. Каждый диапазоннормализуется путем деления на соответствующийПоэтому повторно нормированный размах в течение каждогоравенподпериода. В шаге 1 получены смежные подпериоды длиныСледовательно, среднее значениедля длины..определяется как(3.92)6.
Длинаувеличивается до следующего более высокого значения, аявляется целочисленным значением. Используются значения , включающиеначальные и конечные точки временного ряда, и шаги 1–6 повторяются до.7. Выполняется простая регрессия методом наименьших квадратов нанезависимой переменной икаккак зависимой переменной. Отрезок,отсекаемый на координатной оси, является оценкой, константой.Наклон уравнения является оценкой показателя Херста H [35].Применение данного алгоритма расчета показателя Херста для исследуемыхданных позволило определить для всех анализируемых сигналов наличиедолговременной памяти, т.е. персистентность временных рядов (, а такжеосуществить дополнительную проверку расчетного значения фрактальнойразмерности при обработке рядов при помощи фрактального анализа (см. раздел3.4.4).Следует заметить, что в литературе (в [35] и др.) не уделяется достаточновнимания вопросу разбиения в процессе работы алгоритма определенияпоказателя Херста временного ряда на подпериодыанализа предполагается увеличение.
На шаге 6 алгоритма R/S-до следующего более высокого значения, аостанов работы метода осуществляется при достижении. В отличие от130фрактального анализа (см. раздел 3.4.4), где предлагается ограничиться всего 6-юитерациями, а количество операций на каждой итерации, можно положить, имеетпорядок, в алгоритме определения показателя Херста количество итерацийможет существенно варьироваться, а количество операций на каждой итерациипревосходит в десяток раз (см. 3.88 – 3.92).
Таким образом, в зависимости от того,как осуществлять на шаге 6 приращениедля переразбивки ряда на подпериоды, существенно меняется количество итераций алгоритма. К примеру, длявременного ряда с количеством элементовименнотакойвариантиявляется, являющимся степенью двойки (апредпочтительнымдляабсолютногобольшинства алгоритмов, в том числе вейвлет-анализа и др.), количествоитераций составляет, если приращениеберется как, т.е.приращение количества итераций (включающих описанную последовательностьшагов 3.88 – 3.92) на каждое удвоение длины ряда составит одну итерацию.Таким образом, для ряда свремя при приращенииколичество итераций составит 9.
В то жена 6ом шаге алгоритма как, приращениеколичества итераций на каждое удвоение длины ряда составит уже не менее двухитерации, а общее количество итераций для рядаимеет порядок. В целом, чем больше итераций будет выполнено, тем точнее будетполученное значение показателя Херстадлинного временно ряда с. Однако в случае анализа достаточновыполнение данного метода обработки,особенно во втором варианте приращения , будет занимать существенное время(сек ), т.к. количество итераций составит уже.
Как видно изРис. 3.27, существенный вклад в определение аппроксимирующей прямой, уголнаклона которой и является показателем Херста (см. шаг 7 алгоритма), вносятзначения, полученные для наиболее высоких значений , в то время какесли бы был использован кратный подход к увеличениюитераций в области больших значений, то количествобыло бы мало. Компромиссом в данномслучае между точностью определенияи временем выполнения данноговычислительноявляетсятрудоемкогоалгоритмавысокопроизводительная131реализация. Как видно из 3.88 – 3.92, данные вычисления очень хорошораспараллеливаются. Поскольку закон увеличенияопределен к началу работыалгоритма, то ничто не мешает выполнять все шаги алгоритма для каждогоразбиения(т.е.длякаждойитерации)параллельно,распределиввычислительную нагрузку на все доступные ядра ЦП. Данное распараллеливаниеможет быть осуществлено очень просто, при помощи автоматическогораспараллеливания внешнего цикла алгоритма, например, с использованиемфреймворка AForge.NET.
Кроме того, в программном комплексе дополнительнореализовано фоновое выполнение данных вычислений. Когда пользовательвыбрал загруженные данные, но еще не обращался непосредственно к вкладке срезультатами R/S-анализа, вычисление показателя Херста начинает выполняться вфоновом режиме.Рис. 3.27.Пример R/S-анализа1323.4.4.Взаимосвязь вариации Аллана и показателя Херста приидентификации шумовых процессовПри обработке сигналов ультразвуковых доплеровских сенсоров скоростикровотока с помощью вариаций Аллана (ADEV, MDEV, TDEV, см. раздел 3.1.1)была отмечена устойчивая взаимная зависимость характера детектируемыхшумовых процессов с показателем Херста H, полученным по временному рядудинамической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
