Диссертация (1025342), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3.3.Графики полиномиальной аппроксимации ADEV:нормальный (слева) и патологический (справа) коронарный кровотокРис. 3.4.Графики полиномиальной аппроксимации ADEV: микроциркуляторный кровоток833.1.2.Фильтрация и сглаживание временных рядов скоростикровотокаБорьба с эффектом маскирования частот, описанным выше, приводит кнеобходимости предварительной фильтрации сигнала, исключающей частотывыше половины частоты дискретизации (АЦП), причем ввиду несовершенствареальных фильтров частоту среза выбирают заведомо более низкую, чемтребуемая теоретически.
Это практическое ограничение носит фундаментальныйхарактер, т.к. сигнал с ограниченной частотной полосой в принципе не можетбыть конечной длины, а если он конечен во времени, то содержит бесконечную поширине полосу частот [48]. Поэтому чересчур высококачественный фильтр будетиметь слишком большое время установления, а «идеальный» – вообщебесконечное.В данном исследовании фильтрация сигнала проводится в том числе иаппаратными средствами – при помощи ВЧ и НЧ фильтров (см. раздел 2.1).Действие этих фильтров основано на пропускании высоких (или, соответственно,низких) частот входного сигнала, при этом подавляя частоты сигнала ниже (или,соответственно, выше) частоты среза.Задача сглаживания входит в вопросы фильтрации сигнала, понимаемой вшироком смысле слова (а не только как удаление некоторых частот), т.к.сглаживание происходит в частности при помощи различных фильтров.Вычислительно простой и эффективный метод сглаживания – это скользящееусреднение. Суть метода состоит в расчете для каждого значения временного рядасреднего значения по нескольким соседним данным.
Число точек m, участвующихв расчете такого среднего, называют окном скользящего усреднения. Чем онобольше, т.е. чем больше данных участвует в расчете среднего, тем болеесглаженная кривая получается в результате обработки. Однако с шириной окнаможно и ошибиться, если сделать его очень большим, тогда могут быть потерянысущественные изменения сигнала, а не только сглажена кривая [51]. Наиболееоптимально использовать центрированный алгоритм расчета скользящего84среднего, т.к.
в данном исследовании самое начало и конец кривой редкоподвергаются анализу (как правило, исследуется некоторый интервал в серединезаписи данных, как наиболее вероятно соответствующий установившемусясигналу после начала снятия показаний и установки датчика в нужноеположение), поэтому проблем с расчетом сглаживания в крайних точках ряда небудет.
В то же время центрированность окна позволяет избежать «запаздывания»сглаженной кривой при использовании расчета среднего с использованием mпоследующих значений. Формула расчета центрированного скользящего окнаследующая:(3.18)Данный эффективный алгоритм хорошо подходит для его использования вкачестве предварительных шагов других, более сложных, алгоритмов анализасигнала – например, фазового анализа [51]. Пример подобного сглаживанияможно видеть на Рис.
3.5.Рис. 3.5.Сравнение участка исходной кривой (синий) и сглаженной кривой (красный)85Однако если сглаженная кривая будет использоваться и в других методахцифровой обработки сигнала, то целесообразно использование и более сложных свычислительной точки зрения алгоритмов сглаживания, к примеру, при помощисплайнов.
Например, хорошо зарекомендовал себя [15, 24] метод аппроксимациисигнала при помощи кубических B-сплайнов с процедурой определения весовквазиинтерполянта при помощи линейного дискретного фильтра Калмана (далее –ЛДФК).Если некоторый сигнал определен на отрезкев точках-отсчетахи задан значениями, то кубическим сплайном называется функция,удовлетворяющая следующим условиям: на каждом отрезкеявляется многочленом степени не выше третьей:(3.19) имеет непрерывные первую и вторую производные на всем отрезке, в точкахточкахвыполняется, т.е. сплайн интерполирует сигналв, выполняются граничные условия видаИз условий непрерывности.и всех производных до второй включительно вузлах, а также условий интерполяцииопределяются коэффициентысплайна, которые обычно рассчитываются методом прогонки.Для каждого измерения сигнала проводится процедура калмановскойфильтрации для весов квазиинтерполянта – использование рекурсивного фильтра,оценивающего вектор состояния динамической системы в два этапа: на этапепрогнозирования экстраполируются значения переменных состояния и ихнеопределенности, на втором этапе по данным измерения результат уточняется.Подробнее процедура использования ЛДФК описана в [24].
Иллюстрациюиспользования данного метода на примере участка кривой кровотока в заднеймежжелудочковой артерии можно видеть на Рис. 3.6.86Рис. 3.6.Пример использования ЛДФК(черный – исходная кривая, розовый – результат обработки)Во многих источниках и публикациях, упомянутых в литературном обзоре(см. раздел 1.2), в качестве иллюстраций представлены сглаженные кривые,например, артериального давления, однако при этом вопрос примененныхалгоритмов сглаживания не обсуждается, хотя и очевидно, что сглаживаниеприменялось. Уровень сглаживания в подобных иллюстрациях зачастуюнастолько высок, что, по сути, представленная кривая являет собой тренд сигнала.Пример такой кривой (из [91]) можно видеть на Рис.
3.7.Рис. 3.7.Пример сглаженной кривой артериального давления [91]87В некоторых исследовательских целях подобное сглаживание может бытьуместным, однако в других методиках обработки (например, определениевариации дисперсии, и прочие методы исследования высокочастотных вариацийсигнала) подобное сглаживание может оказаться избыточным. В некоторыхработах, к примеру, в [105], упоминается о том, что несколько уровнейдетализирующихвейвлет-коэффициентовотбрасываются,каксодержащиешумовую информацию, однако, снова, не упоминаются посылки, позволившиесделать данные заключения. Конкретный алгоритм фильтрации и сглаживания, атакже степень этого сглаживания в рамках предварительной обработки сигнала,должна определяться исходя из конкретной задачи исследования и ее условий (вчастности, при решении задач в режиме реального времени вычислительносложные алгоритмы, скорее всего, будут неуместны).3.1.3.Устранение тренда временного рядаКогда основная цель исследований заключается не в анализе медленныхвариаций сигнала (при этом, как правило, еще используется сглаживание), а ванализе быстрых его изменений, то возникает необходимость еще одной задачипервичной обработки данных – устранения тренда.
Трендом называют те самыемедленные вариации, на которые накладываются определенным образомбыстрые, или высокочастотные, вариации. Обычно тренд имеет заранеепредсказуемый вид – например, линейный. С этой целью выполняют регрессиюданных (например, линейную) исходя из априорной информации о виде тренда, азатем вычитают из данных полученный тренд.
В данной работе интересисследования представляет весь сигнал в целом, поэтому устранение трендаиспользуется только как подготовительный шаг более сложных алгоритмованализа данных, например, расчета показателя Херста. Пример устранения трендаможно видеть на Рис. 3.8.88Рис. 3.8.Пример устранения тренда(синий – исходная кривая, коричневый – после устранения тренда)Таким образом, при использовании АЦП для оцифровки сигнала каждыйдополнительныйразрядАЦПулучшаетотношениесигнал-шум,однакоувеличение количества разрядов снижает возможную скорость дискретизации иувеличивает стоимость аппаратуры. Аналогично с использованием фильтров –должен быть компромисс между эффективностью и сложностью оборудования ивременем работы (установления).
Поэтому важно применять методы первичнойобработки сигналов (руководствуясь условием конкретной задачи и выбираясоответствующей сложности метод), прежде чем приступать к основной целиисследования данных.3.2. Спектральный анализ данных временных рядовскорости кровотокаСпектральный анализ – это один из методов обработки, который позволяетохарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурьеявляетсяматематическойосновой,котораясвязываетвременнойили89пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с егопредставлением в частотной области. Методы статистики играют важную роль вспектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой илислучайный характер.
В действительности по одному-единственному отрезкусигнала можно получить только некоторую оценку его спектра.3.2.1.Преобразование ФурьеПреобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа.Хотя преобразование Лапласа(3.20)позволяет выполнить общий анализ поведения непрерывной линейной системыпри произвольном экспоненциальном входном воздействии, часто наибольшийинтерес представляет оценка ее поведения относительно оси мнимой переменной,т.е. при(3.21)В этом случае преобразование Лапласа сводится к некоторой функции от f,определяемой выражением(3.22)В этой форме функцияназывается преобразованием Фурье с непрерывнымвременем (или непрерывным преобразованием Фурье, далее – НПФ).
Переменнаяf в комплексной синусоиде соответствует частоте, измеряемой в герцах, еслипеременная t измеряется в единицах времени (секундах). По сути, НПФидентифицирует амплитуды и частоты тех комплексных синусоид, на которыеразлагается некоторое произвольное колебание. Обратное преобразование Фурьеопределяется выражением90(3.23)Существование прямого и обратного преобразований Фурье с непрерывнымвременем для данной функции определяется целым рядом условий. Одно издостаточных условий состоит в том, что сигналдолжен быть абсолютноинтегрируемым:(3.24)Одно из других, менее ограничительных достаточных условий существованияНПФ, состоит в том, что сигнал должен иметь конечную энергию:(3.25)НПФ действительного сигналаобщем случае функция– это всегда симметричная функция.
Впредставляет собой комплексную функцию, поэтомув полярных координатах ее можно записать следующим образом:(3.26)где действительные функциииопределяются выражениями(3.27)(3.28)Функция, а функцияназывается амплитудным спектром импульсной характеристики– ее фазовым спектром.Пара преобразований (прямое и обратное) для определения дискретногопреобразованияФурье(далее–ДПФ)N – точечнойвременнойпоследовательности x[n] и соответствующей ей N – точечной последовательностипреобразования Фурьезадается следующими выражениями:91(3.29)(3.30)Быстрое преобразование Фурье (далее – БПФ) – это название рядаэффективных алгоритмов, предназначенных для быстрого вычисления дискретновременного ряда Фурье (далее – ДРФ).
Основная идея БПФ – деление N –точечного ДРФ на два меньших ДРФ, каждый из которых можно вычислитьотдельно, а затем линейно просуммировать с остальными, с тем, чтобы получитьДПФ исходной N – точечной последовательности. Эти ДРФ меньшего размераможно в свою очередь поделить на еще меньшие ДРФ соответственно меньшихпоследовательностей. N – точечное БПФ требует выполнения примерносложений иумножений комплексных чисел, что меньше техопераций, которые необходимы для раздельного вычисления N значенийпреобразования по N – точечной последовательности данных.3.2.2.Спектральная плотность мощности сигналаСпектральная плотность мощности (далее – СПМ) временных рядов данныхявляется характеристикой шума и других процессов в данных как функциячастоты.СПМ определяется как преобразование Фурье автокорреляционной функцииданных, где автокорреляция – математическое ожидание данных, умноженное насебя с задержкой (смещенное на величину τ).
Для стационарных эргодических(эргодичность – специальное свойство некоторых динамических систем,состоящее в том, что в процессе эволюции эргодичной системы почти каждаяточка её с определённой вероятностью проходит вблизи любой другой точкисистемы) временных рядов автокорреляция может быть оценена как усредненныйпо времени интеграл от данных, умноженных на себя с задержкой, взятой по92времени, а СПМ равна квадрату ожидаемого значения величины ее Фурьепреобразования.СПМ может быть рассчитана несколькими различными способами:Измерение среднеквадратичного значения сигнала в последовательностиполос частот, в которых сигнал в каждой полосе был пропущен черезполосовой фильтр, поскольку СПМ представляет собой энергию сигнала какфункцию частоты.Выполнение преобразования Фурье автокорреляционной функции.Вычисление преобразования Фурье данных по конечным промежуткамвремени и усреднение либо по последовательным промежуткам времени,или, если имеется более одного длительного промежутка времени, попоследовательности диапазонов рабочих частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
