Диссертация (1025342), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

ДПФ для дискретныхданных рассчитывается с использованием быстрого преобразования Фурье,если число отсчетов является степенью двойки.Преобразование Фурье и СПМ являются функциями положительных иотрицательных частот f:двусторонняягде(3.31)– преобразование Фурье.Поскольку СПМ определяется как математическое ожидание, необходимопроводить усреднение, чтобы точно представлять зашумленные процессы. Дляпоследнего метода из описанных выше подпунктов, либо СПМ рассчитываетсядля последовательности периодов времени эргодических данных, и промежуткивремени СПМ усредняются, или СПМ рассчитывается для всего периода данных,и значения СПМ в соседних частотах усредняются с большим усреднением наболее высоких частотах.ОдносторонняяСПМпредставляетсобойполовинуотзначенийдвусторонней СПМ для положительных f, потому что для вещественныхвременных рядов значения СПМ для положительных и отрицательных частотравны:93односторонняя(3.32)Значение СПМ, соответствующее 0 частоте, является квадратом среднеговременного ряда и обычно не включается в график СПМ в логарифмическоммасштабе.

Действительно, по причинам, связанным с численными вычислениями,тренд часто удаляется из данных перед вычислением БПФ и СПМ.По формуле Планшереля для непрерывного преобразования Фурье или потеореме Парсеваля для дискретного преобразования Фурье, полная мощностьвременного ряда(3.33)Таким образом, СПМ в квадратных единицах на герц представляет собойэнергию временного рядав единицах, деленных на частотные компоненты.Пик в СПМ представляет синусоиду в данных либо от внешних факторов навходе, либо из-за погрешностей считывания. В случае с реальными данными,будет присутствовать определенное количество шума в кривых графика из-занеточности измерений СПМ.В действительности, несмотря на утвердившееся положение примененияспектрального анализа в области исследования биофизических сигналов, в томчисле сигналов кровотока, обрабатываемые ряды относятся не к периодическимпроцессам, а к квазипериодическим процессам.

Вследствие чего для анализа этихданных больше подходят другие методы, нежели спектральный анализ. Вчастности,заслуживаетавтокорреляционныйвниманияанализи(подробнееприменяетсяприменениевданнойработеавтокорреляционногоанализа обсуждается в разделе 3.5) и вейвлет-анализ.3.3. Пространственно-временной (вейвлет) анализ943.3.1.Вейвлет-преобразованиеСреди известных решений проблемы единообразного и достаточно простогопредставления сложных функций можно отметить разложение в ряд Тейлора,полиномиальную аппроксимацию, представление функций и сигналов рядамиФурье и т.д.

В последние годы стало очевидно, что традиционный аппаратпредставления произвольных функций и сигналов в виде рядов Фурьеоказывается малоэффективным для функций с локальными особенностями, вчастности для импульсных и цифровых сигналов. Это связано с тем, что базиснаяфункция рядов Фурье определена на пространстве от –∞ до +∞ и по своейприроде является гладкой и периодической, и на практике (в условияхограничения числа членов ряда или спектра разложения) не способна описыватьпроизвольные сигналы [12].Соткрытиемвейвлетовосновойэтогорешениясталаразработкапринципиально нового базиса и класса функций, которые используются длядекомпозиции и реконструкции функций и сигналов.

Вейвлет-спектрограммыболее информативны, чем обычные Фурье-спектрограммы, а возможностивейвлетов в обработке сигналов для широкого спектра задач, от, например,передачи данных по сети, до обработки медицинских сигналов, поистине велики.Вейвлеты – это обобщенное название особых функций, имеющих видкоротких волновых пакетов с нулевым интегральным значением и с той или иной,часто очень сложной, формой, локализованных по оси независимой переменной испособных к сдвигу по ней и масштабированию (сжатию/растяжению).

Вейвлетысоздаются с помощью специальных базовых функций – прототипов, задающих ихвид и свойства и удовлетворяющих целому ряду специфических условий.В математической теории сигналов принято считать, что они определены каквекторы в некотором пространстве V. Не претендуя на строгость, можно считать,что вектором является некоторый набор чисел, представляющих сигнал.Бесконечно-размерное пространство, часто используемое в теории вейвлетов,называетсягильбертовымпространствомL2[R].Вейвлет-функцииΨ,95принадлежащие пространству L2[R], принципиально должны иметь нулевоесреднее значение и затухать на бесконечности. Именно это свойство побудилосчитать вейвлеты короткими волнами.Отметим, что, если имеются две функциии, определенные впространстве L2[a, b], тогда их скалярное произведение обозначается как(3.34)На основе понятия о векторном пространстве общепринятым подходом канализу сигналовстало их представление в виде взвешенной суммы простыхсоставляющих – базисных функций Ψk(t), помноженных на коэффициенты Ck:(3.35)Так как базисные функции Ψk(t) предполагаются заданными как функции вполнеопределенного вида, то только коэффициенты Ck содержат информацию оконкретном сигнале.Базисными функциями вейвлетов могут быть различные функции, в томчисле, близко или отдаленно напоминающие модулированные импульсамисинусоиды, функции со скачками уровня и т.д.

Это обеспечивает легкоепредставление сигналов с локальными скачками и разрывами, наборамивейвлетов того или иного типа и открывает простор в подборе наиболееподходящих вейвлетов, исходя из условий решаемых задач, вместе с тем делаятакое решение не тривиальным.Вейвлеты характеризуются своим временным и частотным образами.Временной образ определяется некоторой пси-функциейчастотный образ определяется ее Фурье-образомвремени, акоторый задаетогибающую спектра вейвлета.

Фурье-образ определяется выражением(3.36)96Важноотметить,чтоневозможнахорошаялокализациявейвлетоводновременно во временной и частотной областях. Если вейвлет в пространствесужается, его «средняя частота» повышается, спектр вейвлета перемещается вобласть более высоких частот и расширяется. Этот процесс можно считатьлинейным: если вейвлет сужается вдвое, то его средняя частота и ширина спектравозрастают также вдвое.Таким образом, с помощью вейвлетов сигнал представляется совокупностьюволновых пакетов – вейвлетов, образованных на основе некоторой исходной(базовой, образующей, материнской и т.д.) функции. Этасовокупность, разная в разных частях временного интервала определения сигналаи корректируемая множителями, и представляет сигнал с той или иной степеньюдетализации.

Такой подход называют вейвлет-анализом сигналов. Числоиспользуемых при разложении сигнала вейвлетов задает уровень декомпозициисигнала. При этом за нулевой уровень декомпозиции часто принимается самсигнал, а последующие уровни декомпозиции образуют обычно ниспадающеевейвлет-дерево того или иного вида (иногда дерево задается «растущим» вверх)[12].Таким образом, прямое вейвлет-преобразование (ПВП) означает разложениепроизвольного входного сигнала на принципиально новый базис в видесовокупности волновых пакетов – вейвлетов, которые характеризуются четырьмяпринципиально важными свойствами:имеют вид коротких, локализованных во времени (или в пространстве),волновых пакетов с нулевым значением интеграла;обладают возможностью сдвига по времени;способны к масштабированию (сжатию/растяжению);имеют ограниченный (или локальный) частотный спектр.Однаизосновополагающихидейвейвлет-представлениясигналовзаключается в разбивке приближения к сигналу на две составляющие: грубую(аппроксимирующую) и детализирующую, с последующим их уточнениемитерационнымметодом.Каждыйшагтакогоуточнениясоответствует97определенному уровню декомпозиции и реставрации сигнала.

Это возможно какво временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами.В основе непрерывного вейвлет-преобразования (далее – НВП) лежитиспользование двух непрерывных и интегрируемых по всей оси t (или x)функций:вейвлет-функцияопределяющаяс нулевым значением интеграла (деталисигналаипорождающая),детализирующиекоэффициенты;масштабирующая или скейлинг-функцияинтеграла(),с единичным значениемопределяющаягрубоеприближение(аппроксимацию) сигнала и порождающая коэффициенты аппроксимации.Примеры широко известных вейвлетов и их скейлинг-функций можно видеть наРис. 3.9 и 3.10.Пси-функциясоздается на основе той или иной базисной функции, которая определяет тип вейвлета. Базисная функция должна удовлетворятьвсем тем требованиям, которые были отмечены для пси-функции.

Она должнаобеспечивать выполнение двух основных операций:смещение по оси времени :масштабирование:Параметри b функцияприпри;изадает ширину этого пакета, а b – его положение. Для заданныхи есть вейвлет.Рис. 3.9.Скейлинг-функция (слева) и вейвлет Хаара98Рис.

3.10.Скейлинг-функция (слева) и вейвлет Добеши (Daubechies D4)Прямое непрерывное вейвлет-преобразование (ПНВП) сигналазадаетсяпутем вычисления вейвлет-коэффициентов по формуле(3.37)Непрерывное вейвлет-преобразование требует больших вычислительныхзатрат при его проведении и труднее интерпретируется исследователем, поэтомудля практического применения необходима дискретизация значенийи b. Такимобразом, прямое дискретное вейвлет-преобразование сводится к вычислениюкоэффициентов:(3.38)где– детализирующие коэффициенты для вейвлет-декомпозиции сигналауровня k. Для избегания избыточности вейвлет-преобразований можно задаватьдискретные значенияии b на некотором множестве Z = {… -1, 0, 1, …} равные, где j и k – целые числа. Параметр j называется параметроммасштаба.

Характеристики

Список файлов диссертации