Диссертация (1025342), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Подобная дискретизация является наиболее распространенной, а сеткадискретизации называется диадической.Хорошо зарекомендовали себя вейвлеты Хаара и Добеши (в частности, D4).Их внешний вид изображен на Рис. 3.9 и 3.10. Пример результата выполненияпрямого дискретного вейвлет-преобразования (Добеши D4) приведен на Рис. 3.11.Крометого,врамкахразработанногокомплексногопрограммногообеспечения в данной работе была реализована функциональная возможность99построения вейвлет-преобразования в режиме реального времени поступления назапись входных данных. Т.е. программный комплекс получает доступ к файлу, вкоторый ведется запись данных сигнала, и перестраивает вейвлет-преобразованиепри получении новой порции данных.
Иллюстрирующий пример можно видеть наРис. 3.12.Рис. 3.11.Вейвлет-преобразование Добеши (на примере кровотока заднеймежжелудочковой артерии): сверху – исходный сигнал, снизу – результатвейвлет-преобразованияа100бвгдРис. 3.12.Построение вейвлет-разложения в ходе получения данныхЗаметим, что для временных рядов большой длины (вычисление коэффициентов вейвлет-разложения)может быть ресурсо- ивременнозатратным. Однако для диадного преобразования разработан быстрыйалгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье (см.
раздел3.2.1), что и предопределило его широкое использование при анализе массивовцифровых данных. Помимо вычислительной сложности расчета самих вейвлет-101коэффициентов,затратнойпреобразованиядлительныхявляетсясигналов.изадачаШироковизуализацииприменимыевейвлет-компонентывизуализации таких данных для разработчиков программного обеспеченияотсутствуют, поэтому необходимо реализовывать отображения карты вейвлетпреобразования с нуля. Эта задача включает в себя следующие подзадачи:Масштабирование отображаемой на форме программного приложениякартины вейвлет-преобразования.
На данном этапе требуется определить,сколько уровней вейвлет-преобразования сигнала получится отобразить наформе программного приложения, т.к. для длинных временных рядоврезультат вейвлет-анализа на верхних уровнях преобразования можетвключать в себя коэффициенты, не подлежащие отображению по причинетого, что их количество превышает количество пикселей, доступных вобласти построения визуализации. Такие уровни разложения нужно либоотбросить, либо предусмотреть дополнительные возможности по работе сними.Определение цвета элемента, которым на карте преобразования будетвизуализирован каждый конкретный коэффициент. Цветовая палитраможет быть разной, в данном случае эмпирически была подобрана gray-scaleпалитра из 8 оттенков (см.
Рис. 3.13). При этом цвет изменяется от светлого ктемному (от меньшего к большему) в соответствии со значениемкоэффициентаотносительно всего диапазона изменения вейвлет-коэффициентов.Рис. 3.13.Палитра визуализации вейвлет-преобразования сигнала102Собственнопроцесспреобразования,отрисовкизаключающийсявизуализацииврезультатапоуровневомвыводевейвлетнаформупрограммного приложения цветных элементов, обозначающих вейвлеткоэффициенты в виде дерева. Для ускорения этого процесса необходимоиспользовать двойную буферизацию.
При таком подходе изображениесначала воссоздается во вторичном буфере памяти без непосредственногоотображения. Только когда процесс построения изображения завершен, ономасштабируется и отображается на форме. Это позволяет избежать такихпроблем, как «мерцание» и «дрожание» картинки при масштабированииприложения или просто в процессе построения визуализации и значительноулучшить восприятие данных пользователем.Рис. 3.14.Визуализация вейвлет-преобразования сигнала кровотокаВизуализациярезультатавейвлет-преобразованиядляисследуемыхквазипериодических сигналов зачастую оказывает дополнительную помощь вопределении анализируемых особенностей рядов, в частности – фаз СЦ.
Примерподобной визуализации можно видеть на Рис. 3.14, где в исследуемом сигналекровотока пациента с патологией именно на визуализации вейвлет-анализа легчеопределить положение и длительность систолы и диастолы. При необходимостиприведения частотно-временного представления сигнала вместо используемого ввейвлет-анализепредставлениявремя-масштаб,значениямасштабных103коэффициентов можно перевести в квазичастоты:центральная частота вейвлета,, где–– интервал дискретизации.3.3.2.Скалограмма сигналаМожно показать, что для вейвлет-преобразования существует аналогравенства Парсеваля (см.
формулу 3.33):(3.39)Поэтому величину(3.40)уместно также назвать плотностью спектра энергии, однако, в отличие отформулы 3.33, величинаопределяет спектральную характеристику нетолько для заданного масштаба, но и для параметра сдвига b. По этой причине ееназывают локальным спектром энергии. В противоположность этому величину(3.41)называют глобальным спектром энергии. Эта характеристика показываетраспределение энергии по масштабам и является аналогом плотности спектраэнергии.
Можно показать, что обе эти характеристики связаны между собойследующим соотношением:(3.42)Т.е. глобальный спектр энергии есть плотность спектра энергии, сглаженная накаждом масштабе спектром Фурье анализирующего вейвлета [6].Если для оценки вейвлет-преобразования последовательности (временногорядавыражение:,)используетсяследующее104(3.43)то можно ввести оценку локального спектра энергии:(3.44)Эту функцию обычно называют скалограммой, подчеркивая тем самым ееспособность описывать распределение энергии по масштабам. На основескалограммыможно ввести также и оценку глобального спектра энергии:(3.45)где– число точек, по которому осуществляется усреднение.
Данную функциюназывают скейлограммой. Бывает так, что широкие контуры линий близких почастоте гармоник мешают проследить за эволюцией их частот во времени. Чтобыотсечь влияние контуров, можно выделить те точки скалограммы, в которых онаимеет максимумы пои b:еслиилив противном случаеВ данной формуле используется обозначение(3.46). Функциюназывают скелетоном. Если в данных имеются гармонические иликвазигармонические компоненты, то топографическая карта скелетона будетсостоять из линий, ориентированных вдоль оси b. В случае шумового компоненталиниискелетонавытягиваютсявперпендикулярномнаправлении,т.е.параллельно оси . Если в данных присутствуют и гармонические компоненты, ишум, то карта скелетона позволяет увидеть их раздельно.Критерий выделения сигнала из шума(3.46)позволяет построить массив значений скалограммы, которые с заданнойвероятностью 1 – qкомпоненту:(q << 1) принадлежат сигнальному, а не шумовому105(3.47)где(3.48)– дисперсия, а– порог обнаружения сигнала.Рис.
3.15.Пример выделения сигнала из шума (сверху: черным – исходный сигнал,красным – очищенный, снизу: карта выделения шума из скалограммы)Иногда бывает целесообразно выделять сигнал не из самой скалограммы, аиз ее скелетона. В этом случае в правую часть формулы 3.47 вместо величиныследует подставлять. Выполнив после этого обратное вейвлет-преобразование, можно получить выделение сигнала из шума.Результаты исследований в области выполнения очистки сигнала от шумапри помощи вейвлетов уже затрагивались в разделе 1.2. Вариаций применения иреализации данного метода множество (в частности, от мягкого задания порога дожесткого определения порога), однако принцип их одинаков. Один из106иллюстрирующих применение данного метода выделения сигнала из шумапримеров можно видеть на Рис. 3.15.3.3.3.Модифицированные вейвлеты Котельникова-Шеннона наоснове атомарных функцийВ системе вейвлетов Котельникова-Шеннона (далее – К.-Ш.) за основуберется ступенчатая функция в частотной области:при других(3.49)Тогда масштабирующей функцией является(3.50)а вейвлет(3.51)Данная функция называется вейвлетом Котельникова-Шеннона [46].
На Рис. 3.16приведены графики функцийи.Рис. 3.16.ФункциииКотельникова - Шеннона107Коэффициентыразложения определяются выражениемнечетноедля остальныхРис. 3.17,а.Исходный сигнал (вверху) и ДВП К.-Ш. #= O (1000) (снизу)Рис. 3.17,б.Исходный сигнал (вверху) и ДВП К.-Ш. #= O (10) (снизу)(3.52)108Данное вейвлет-преобразование было протестировано на различных данныхи с различным количеством коэффициентов в разложении. Примеры результатовизображены на Рис. 3.17,а и 3.17,б. Заметим, что при большом количествекоэффициентов разложения ДВП К.-Ш.
весьма схоже с ДВП Добеши. Ксожалению, в литературе, посвященной вейвлетам К.-Ш., не приводитсяобсуждения и обоснования выбора оптимального количества коэффициентовразложения, хотя выбор разного количествасущественноразличающимсярезультатам(на порядок) приводит кпреобразований.Установление«картины» вейвлет-преобразования происходит только при весьма большомколичестве коэффициентов в разложении (#= O (100)), но использованиетакого количества коэффициентов нецелесообразно с вычислительной точкизрения.МодификациявейвлетовКотельникова-Шеннона.фильтров вейвлетов К.-Ш.
убывают какКоэффициенты. Это медленное убываниекоэффициентов фильтра делает вейвлет К.-Ш. менее удобным в практическомприменении. Кроме того, вследствие разрывности функции(3.53)(3.54)вейвлеты Котельникова-Шеннона слабо локализованы в пространстве. Большейскоростью затухания по сравнению с функцией(3.55)лежащей в основе вейвлетов К.-Ш., обладают атомарные функции(см.сравнение на Рис. 3.18) [55].Атомарные функции(внешний вид представлен на Рис. 3.19)являются финитными решениями функционально-дифференциального уравнения109(3.56)Рис. 3.18.Сравнение затухания функции sinc(x) (слева) и атомарной функции (справа)Рис. 3.19.Атомарная функцияРазберем пример построения вейвлета для, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
