Диссертация (1025342), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если данный поискуспехом не увенчался, то процедура повторяется для другой подходящейначальной точки опорной траектории. Если ни для одной такой точки не удалосьподобрать удовлетворяющую условию (см. формулу 3.66) точку возмущения (сучетом того, что она также должна быть так расположена в анализируемом119фрагменте сигнала, чтобы была возможность отследить ее эволюцию), топроисходит наращивание порогового значения , процедура поиска повторяется.Приитерационномувеличениипороговогозначениядлядолженосуществляться контроль условия 3.69.
Таким образом, формально алгоритмпервого шага определения показателя Ляпунова по подбору анализируемыхэволюционирующих достаточно близких траекторий выглядит следующимобразом:1. Определение начального значения, задающего пороговое значение длярасстояния между начальной точкой опорной траекториивозмущенияи точкой.2. Выбор подходящей (согласно вышеозначенным умозаключениям) точки3. Осуществление поиска удовлетворяющей условию 3.66 точкивыбранной точкидля.4. В случае неудачи на шаге 3, выбор новой точкиновой точки., повторение шага 3 для.5.
В случае неудачи на шаге 4, повторять шаг 4 до тех пор,5.1. пока удовлетворяющие условию 3.66 точки не будут найдены,либо5.2. пока не будут исчерпаны все возможные варианты выбора опорнойтраектории.6. В случае завершения шага 5 результатом 5.2, увеличить пороговое значениедля, повторить шаги 1-5 до тех пор,6.1. пока не будут найдены удовлетворяющие условиям точки,либо6.2. пока пороговое значение на следующей итерации наращиваниянепревысит удовлетворяющего условию 3.69 значения.С высокой степенью вероятности данный алгоритм позволяет подобратьблизкие анализируемые эволюционирующие траектории для изучаемого сигнала120(для всех исследуемых сигналов показатель Ляпунова был найден), а также дляфрагментов сигнала при построении графика изменения показателя Ляпунова.Такжемодификацияреализованноговданнойработеобобщенногоалгоритма Бенеттина затронула процедуру выбора и определения количестваанализируемых траекторий.
А именно, был предложен и реализован просчетвозмущений не одной опорной траектории (как предполагает обобщенныйалгоритм Бенеттина), а нескольких. При этом исследуемый временной ряд былразбит на несколько «секторов»(по числу исследуемых наборов «опорнаятраектория-возмущение»), в которых был произведен выбор опорных траекторийи набора их возмущений {.
Изначальное разбиение временного ряда насектора поиска близких эволюционирующих траекторийадекватности полученного расчетного значенияспособствуетдля целого временного ряда,обеспечивая равномерность анализа эволюций выбранных траекторий по всемуряду, а не в одной его части, как наиболее вероятно произойдет при произвольномвыбореблизкихтраекторийдляанализа.Крометого,длявысокопроизводительной реализации данного метода обработки ряда простонеобходимо выполнить такой шаг: при распараллеливании алгоритма, узкимместом является выбор каждой последующей опорной и возмущеннойтраекторий, так, чтобы они не повторялись, поэтому для автоматическогораспараллеливания основных циклов расчета данный шаг (выбор начальных точекопорной и возмущенной траекторий) целесообразно вынести за пределыосновного цикла алгоритма, что наиболее просто обеспечивается именно путемразбиения ряда на сектора (в идеале, при достаточном количестве отсчетоввременного ряда, на непересекающиеся), в которых затем будет осуществленвыбор анализируемых траекторий.
В противном случае, нужно осуществитьвыбор сначала первой опорной траектории и ее возмущений, затем – второй, и т.д.Аналогичные соображения используются и в процессе построения графикаизменения показателя Ляпунова, когда экспонента Ляпунова определяется для121участка сигнала, исходя из достаточности имеющихся в распоряжении отсчетоввременного ряда.Рис. 3.25.Схема реализованного алгоритма расчета показателя Ляпунова122Также небольшие дополнения к реализованному алгоритму включиликорректную обработку различных крайних случаев, отдельно не рассмотренных влитературе, посвященной описанию алгоритма Бенеттина. Например, к такойситуации относится получение на очередном шаге вектора возмущения, такого что.
Тогда оценка на данном шагестановится невозможной. Поэтому следует учесть не только условие выбораинтервала анализа Т исходя из достаточной малости амплитуды возмущения, но и ее отличности от нуля.Таким образом, схематически и укрупненно представленный реализованныйалгоритм вычисления экспоненты Ляпунова можно видеть на Рис.
3.25. При этом,расчет,указанный на схеме, осуществляетсяпо описанному вышеобобщенному алгоритму Бенеттина с приведенными уточнениями.Фазовый портрет. Существуют теоретические данные [1] о том, чтосистемы с нелинейным поведением, обусловленным хаотическими компонентами,обладаютстранным(илихаотическим)аттрактором,поэтомусцельюисследования хаотического поведения физиологических систем в работе такжебыли построены двумерные и проекции трехмерного аттракторов систем свычислением диаметров соответствующих скаттерограмм.
Также данные методыисследования имеют практический интерес с точки зрения определения диаметрааттрактора систем для описанной выше методики вычисления показателяЛяпунова.В случае, когда система описывается конечным набором параметров ( ), еединамику удобно рассматривать в некотором абстрактном пространстве, осикоторого образованы переменными.
Это– мерное пространствоназывают фазовым пространством. Каждому состоянию динамической системысоответствует точка в этом пространстве, и каждой точке из этого пространствасоответствует единственное состояние системы. Изменения состояния системыможно интерпретировать как движение некоторой точки в фазовом пространстве.Траектория такой точки, то есть последовательное положение в фазовом123пространстве, называется фазовой траекторией. Фазовые диаграммы являютсямощным средством для изучения хаотических систем, так как позволяютпредставить поведение фазовых траекторий в геометрической форме.
Призначении управляющих параметров ниже критических траектории динамическойсистемы могут притягиваться к некоторым простым аттракторам: точке,предельному циклу, тору. Если управляющий параметр превышает критическоезначение, появляется странный аттрактор (Рюэль и Такенс, 1971 г.). Т.о.аттракторы бывают разные: статические (фиксированная точка), периодические(предельный цикл), квазипериодические (тор) и хаотические. Последний типаттрактора и называют странным аттрактором.Основой для реконструкции фазового портрета служат экспериментальныеданные, полученные в процессе функционирования систем.
Ранее считалось, чтодляописанияпространстванелинейных(пространствадинамическихсостояний)системвнеобходимотерминахзнаниефазовоговременныхзависимостей всех фазовых переменных, которые в действительности доступныдля наблюдения крайне редко. В условиях недоступности полной информации осостоянии системы требуется оценить и смоделировать динамическую сложностьпо единственному измеряемому скалярному выходу. Этот выходфункцией неизвестного вектора внутренних состоянийявляетсясистемы:(3.74)Метод, позволяющий восстанавливать пространство состояний системы и еединамику, был предложен Паккардом.
Алгоритм основывается на реконструкциисостояний системы со скалярного выходного сигнала с использованиемвременных задержек,, …,:(3.75)Такенс показал, что для скалярного выходного процесса, выбранныхвременных задержеки размерностиреконструированного аттрактора (124, где– хаусдорфова размерность) идентифицируется отображение,котороеобеспечиваетвзаимно-однозначноепредставлениеаттрактора (теорема Такенса).В результате применения метода Паккарда-Такенса восстанавливаетсяотображение определением состояния, где,,, … – времяпоследовательных пересечений соответствующим образом выбранного сеченияПуанкаре в пространствевосстановленных состояний.Рис.
3.26.Трехмерный фазовый портрет физиологической системы (снизу) и его проекциина координатные плоскости (вверху)Исследуемые физиологические системы, согласно применению данногометода к изучаемым сигналам кровотока, как правило, не стремятся к какомулибо простому статическому аттрактору, они обладают странным (хаотическим)аттрактором (см. на Рис. 3.26 пример для микроциркуляторного кровотока).1253.4.2.Расчет энтропии динамической системыВ теории информации энтропию вводят для систем, которые могутнаходиться в некоторых состоянияхс некоторыми вероятностями.Тогда информативность «сообщения» о том, что система достоверно находится внекотором состоянии, зависит от «неопределенности» системы. Проблемаколичественного измерения неопределенности и информации в данном контекстерассматриваласьШенноном[29],которыйпоказал,чтоподходящейхарактеристикой является энтропия, определяемая как(3.76)В свою очередь мерой информации, содержащейся в сообщении, являетсяизменение энтропии:(3.77)Пусть задана некоторая динамическая система и ее инвариантная мера.Разбив фазовое пространство на непересекающиеся множествабольше ε и вычислив меру каждогос диаметром не, можно определить информацию,которую дает знание текущего состояния системы с точностью ε.
Если системахаотическая, т.е. перемешивающая, то с течением времени образ почти всехбудет иметь непустое пересечение со всеми остальными. Это означает, что,хотя при t = 0 неопределенность с точностью ε отсутствовала, в дальнейшем онабудет увеличиваться.
Перемешивающая система с течением времени увеличиваетнеопределенность своего состояния. В таком случае иногда говорят, что системапроизводитинформацию.Скоростьпроизводстваинформацииилинеопределенности при ε → 0 является энтропией динамической системы.Можно привести определение метрической энтропии динамической системыпо Колмогорову-Синаю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
