Диссертация (1025342), страница 18
Текст из файла (страница 18)
атомарной функции. Затем обобщим результат для всех. Возьмем в качествемасштабирующей функции(3.57)Тогда ее частотный образ имеет вид атомарной функциивидизображеннаРис. 3.20),являющейсяфинитным(внешнийбесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения110(3.58)Рис. 3.20.ФункцияТаким образом,и ее производнаяявляется функцией с ограниченной шириной полосы, т.к. еечастотный образ имеет носительНайдем вейвлет.. Для этого найдем частотную функцию измасштабирующего уравнения(3.59)Вейвлетзадается выражениями:(3.60)(3.61)Найдем коэффициентыразложения(3.62)Посколькуто111(3.63)Значения данных интегралов для вычисления коэффициентовполучимчисленно.Примечание.Длявычислениязначенийфункциивоспользуемсяразложением в ряд Фурье по косинусам:(3.64)Некоторые примеры расчетов коэффициентов разложения:(-10) = -0,030038;(-5) = 0,065259;(0) = 0,195937;(5) = 0,065259;(-9) = -0,028776;(-4) = 0,103181;(1) = 0,189048;(6) = 0,030084;(-8) = -0,018552;(-3) = 0,139385;(2) = 0,169315;(7) = 0,001347;(-7) = 0,001347;(-2) = 0,169315;(3) = 0,139385;(8) = -0,018552;(-6) = 0,030084;(-1) = 0,189048;(4) = 0,103182;(9) = -0,028776.На Рис.
3.21 изображен пример результата ДВП с использованием данногомодифицированного вейвлета. На рисунке вейвлет-разложения отчетливо видны вмоменты времени... сек.112квазипериодические пики, соответствующие локальным особенностям сигнала.Большие по величине вейвлет-коэффициенты (обозначены наиболее темнымиоттенками серого) соответствуют пикам кривой сигнала, а наименьшие повеличине (обозначены светлыми оттенками) – «впадинам» этой кривой. Несмотряна общую сильную зазубренность сигнала, на карте вейвлет-разложения легкоопределить локальные особенности цифрового сигнала.Рис. 3.21.Исходный сигнал (вверху) и ДВП модиф.
К.-Ш. #Обобщим результат для любых АФ=O() (снизу):(3.65)Хотя численное вычисление данных коэффициентов разложения весьмаресурсоемко (т.к. при численном взятии интеграла на каждой итерациивычисляется численное приближение значения функций), тем не менеекоэффициенты разложения достаточно вычислить один раз и произвестизапись и сохранение во внешний файл, а затем их можно просто подгружатьиз файла,113большее количество коэффициентов рассчитывать и не требуется, т.к. всепоследующие коэффициенты разложения в обе стороны периодическиповторяются, ввиду того, что зависимость от параметра сдвига n находитсяпод периодической функцией косинуса,по значениям коэффициентов четко прослеживается затухание вейвлета,при том же количестве коэффициентов разложения, в случае ДВП смодифицированным вейвлетом, «картинка» получается более четкой дляопробованных данных, чем при ДВП Котельникова-Шеннона.3.4.
Методы нелинейной динамики в обработке данныхвременных рядовВ данном разделе обсуждаются примененные для цифровой обработкидоплеровских сигналов кровотока методы нелинейной динамики и некоторыедругие алгоритмы, а также их модификации и адаптации, реализованные в рамкахпрограммно-математического обеспечения.3.4.1.Расчет старшего показателя Ляпунова на основемодифицированного алгоритма БенеттинаРассмотрим метод, позволяющий оценить спектр Ляпунова динамическойсистемы на основе временного ряда единственной фазовой координаты системы.Старший показатель Ляпунова [1] (экспоненту Ляпунова) обычно рассматриваюткак количественный показатель чувствительности динамической системы кначальным условиям.
Суть метода заключается в рассмотрении некоторой точки, принадлежащей аттрактору динамическойвозмущения этой точкисистемы, инекоторого, такого, что,(3.66)114где– некоторое малое положительное число. Через промежуток времениэти точки эволюционируют в точкиними станетисоответственно, расстояние между(см. поясняющий Рис. 3.22). Упрощенно, можносчитать, что(3.67),где λ – старший показатель Ляпунова.Следовательно,(3.68)Рис. 3.22.Эволюция двух близких точек динамической системыНеобходимо сделать два замечания.1. В силу ограниченности аттрактора системы (а значит, ограниченностидолжно возрастать до тех пор, покааттрактора, иначе λ будет равен нулю при)существенно меньше размеров.2. Вычисленное в соответствии с данной формулой значение λ следуетрассматривать как усредненное по всем начальным точкаматтракторасистемы.Для оценки старшего показателя Ляпунова наиболее часто используюталгоритм Бенеттина [27, 79].
Пусть имеется– точка, принадлежащаяаттрактору А динамической системы. Траекторию эволюции точкибудем115называть опорной траекторией. Зададимсяположительнойвеличиной,удовлетворяющей условию(3.69)где– диаметр аттрактора А, и выберем произвольным образом такуюточку возмущения, чтобы выполнялось равенство (см. формулу 3.66). Рассмотрим эволюцию выбранных точекив течение небольшогоинтервала времени Т, и обозначим полученные точки черезсоответственно. Вектордлинуиназовем вектором возмущения, а его– амплитудой возмущения. Уже на данном этапе можно произвестипервую оценку величины λ:(3.70)Временной интервал Т необходимо брать таким, чтобы амплитуда возмущениябыла меньше линейных размеров неоднородностей фазового пространства иразмеров самого аттрактора.
Рассмотрим перенормированный вектор возмущения(3.71)и соответствующую ему новую точку возмущения(3.72)Далее продолжим описанную выше процедуру, рассматривая вместо точекточкииисоответственно (см. иллюстрирующий процедуру Рис. 3.23).Повторив данную процедуру М раз, можно оценить λ как среднееарифметическое величин, полученных на каждом шаге вычислений:(3.73)Для численного расчета спектра Ляпунова используют подход, обобщающийалгоритм Бенеттина. В данном случае, кроме просчета опорной траектории,необходимо также отслеживать эволюции не одной, а нескольких возмущенныхточек системы. В данной работе был реализован обобщающий алгоритм116Бенеттина. О дополнительной предложенной модификации расчетаречь пойдетниже.Рис. 3.23.Иллюстрация алгоритма БенеттинаНужно отметить, что чаще всего с разумной точностью удается измеритьтолько старший, наибольший, показатель Ляпуновав спектре [29], т.е.экспоненту Ляпунова.
А для некоторых данных (например, данных снедостаточным количеством отсчетов или таких данных, где единственнаяимеющаяся в распоряжении исследователя траектория не возвращается в малуюокрестность своих точек) не удастся достаточно точно оценить даже старшийпоказатель Ляпунова. Полезную информацию для проверки применимостиалгоритма к расчету показателя Ляпунова для выбранных данных может даватьрасчет показателя для обращенного во времени временного ряда. Данныйалгоритм проверки также был реализован в рамках программного комплекса.Существуют теоретические данные о том, что в различных фазах сердечногоцикла (см.
подробнее раздел 2.2.1) в разной степени проявляются шумовыекомпоненты сигналов. В частности, считается, что систолической фазе в большейстепени соответствуют хаотические компоненты, обусловленные описаннымвыше нелинейным поведением системы, а диастолической фазе – шумовыекомпоненты, доминирующие над хаотическими. В рамках исследования даннойтеории в настоящей работе был опробован алгоритм, основанный на вычислении117изменения показателя Ляпунова внутри фаз сердечного цикла, для разбитой нафазы кривой кровотока.
При использовании данного метода указанные вышетеоретические заключения подтвердились, на протяжении систолических фаз СЦкривой кровотока наблюдалось устойчивое положительное значение старшегопоказателя Ляпунова (см. Рис. 3.24). При этом для различных сердечных циклов(соответствующихсистолическихфаз)этоположительноезначение,сигнализирующее о хаотическом характере поведения системы,сохранялопримерно постоянную величину.Рис. 3.24.График изменения показателя Ляпунова по фазам СЦ (линией черного цветаобозначен исходный сигнал, красным – систолическая фаза, красной линией –усредненное значение показателя Л.
за систолу, синим – диастолическая фаза,синей линией – усредненное значение показателя Л. за диастолу)В то же время, построение графика изменения шумовой характеристикисигнала показало более высокое значение шумовой компоненты в диастолическойфазе в сравнении с систолической.Модификация алгоритма расчета показателей Ляпунова затрагивает, впервую очередь, вопрос выбора точкивозмущения начальной точки опорнойтраектории (см. формулу 3.66).
В литературе [1, 27, 79 и др.] не уделяется118вниманиеметодикенахожденияудовлетворительнойточкивозмущения,постулируется лишь, что ее «удаление» от начальной точки опорной траекториине должно превышать некоторого положительного довольно малого значения(см. формулу 3.66). При этом, очевидно, для различных данных, пусть даже однойприроды, возможности обнаружения достаточно близких траекторий для анализасовершенно разные. Например, для данных кровотока в огибающей артерии(далее – ОА), правой коронарной артерии (далее – ПКА) и в переднеймежжелудочковой артерии (далее – ПМЖА) значение , для которого удастсянайти близкие траектории, может существенно отличаться, даже на порядок.Более того, значениеможет сильно отличаться даже для различных записанныхотрезков (фрагментов) одного и того же сигнала.
Тем острее стоит даннаяпроблема в случае построения графика изменения показателя Ляпунова, в томчисле и по фазам СЦ (см. Рис. 3.24), вследствие крайней ограниченностидоступного отрезка записи единственной фазовой координаты системы длявыбора близких траекторий. Если значениебудет жестко задано для всехданных, то для некоторых временных рядов, весьма вероятно, невозможно будетопределить значение показателя Ляпунова по описанному выше алгоритму, т.к. неудастся найти достаточно близкие траектории для анализа их эволюций.
Поэтомуцелесообразным является применение алгоритма мягкого задания порога для .При данном подходе в начале работы алгоритма определения показателяЛяпунова задается достаточно малое значение– менее 1% от диаметрааттрактора системы. На последующих шагах осуществляется выбор начальнойточки опорной траектории из области фрагмента сигнала, позволяющейосуществитьдальнейшийанализэволюцииэтойтраекторииипоискудовлетворяющей заданному условию точки возмущения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
