Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В полупроводниках характер поведения электронного газа зависит от концентрации носителей заряда (электронов и дырок), которая обычно значительно меньше, чем концентрация электронов в металле. Для многих чистых беспримесных полупроводников электронный газ может оказаться невырожденным уже прн температуре Т >300 К. Такой электронный газ следует рассматривать как классический газ, подчиняющийся статистике Максвелла — Больцмана.
В примесных полупроводниках при высокой концентрации донорной примеси электронный газ может оказаться вырожденным вплоть до температуры Т-10 К. Такие полупроводники з называются вырожденными полупроводниками. Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми-частицами, температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей области температур вплоть до температуры сжижения являются невырожденными н для описания нх статистических свойств используется классическая статистика Максвелла — Больцмана.
370 Подводя итог описанию поведения электронного газа в метал,ах остановимся на явлении сверхпроводимости. Сверхпроводимость была обнаружена в 1911 г. Х. Камерлинг-Оннесом в опытах по измерению сопротивления ртути при очень низких температурах. ()на заключается в том, что при температуре Т„называемой критической (для ртути Т, =4,15 К), металл переходит в сверх- проводящее состояние, находясь в котором не оказывает никакого сопротивления движению потока электронов.
Таким образом, сверхпроводимость представляет собой сверхтекучесть электронного газа. Но электроны являются ферми- частицами, а сверхтекучесть, как уже отмечалось в 6.1 и 6.3, может наблюдаться только в системе бозе-частиц. В 1957 г. Дж. Бардин, Л. Купер и Дж. Шриффер показали, что электроны, взаимодействуя через решетку кристалла, могут объединяться в так называемые куперовские пары. Суммарный спин такой пары равен нулю, а это означает, что куперовская пара является бозоном. Направленное сверхтекучее движение куперовских пар электронов и создает сверхпроводящий ток в металлах.
Задача 6.5. Вычислите интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при Т = 0 вблизи уровня Ферми. Считайте, что концентрация свободных электронов в = 2. 10ж см з. Решение. Воспользуемся выражением (6.58), переписав его в виде 3/2 Ьл= )ЕЬЕ, гйз где Ьв — изменение числа электронов лри переходе иа соседний энергетический уровень, а ЬŠ— разность значений энергий ближайших энергетических уровней.
Поскольку, как уже отмечалось, на каждом уровне при Т =0 находится два электрона, то Ьл = 2. Подставляя в приведенное соотношение выражение для энергии Ферми (6.60), получаем ЬЕ 3 2'10 эВ. 2я" 1 -гг (Зя~в) Это значение настолько мало, что обнаружить его практически невозможно. Поэтому энергетический спектр свободных электронов в металле можно считать непрерывным (квазвнепрерывным). 371 Задача 6.6. До какой температуры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов была равна средней энергии свободных электронов в серебре при Т =0 К7 Энергия Ферми для серебра Ег (0) = 5,51 эВ.
Решение. Среднее значение энергии свободных электронов в металле определяется в соответствии с (6.59) как ') Ег ( Е)х1Е (Е) — о 5Г(Е)1Е о При Т = 0 функция распределения свободных электронов по энергиям г(Е) имеетвид (6.57), позтомуверхннй пределинтегрирования следует заменить на Ег (0). Интегрируя, получаем к,(о) ЕэчйЕ 3 (Е) о Е (О) )' ЕЦ'И о Средняя энергия электронов в случае классического электронного газа (Е) = — яТ. Посколысупо условию задачи (Е) = (Е), то температура Т, при которой выполняется зто равенство, г Е,(О) Т = —. 5 к Подставляя в зто выражение значение Е„(0) для серебра, получаем Т=2,55 10 К. Отметим одно важное обстоятельство. При нагреве вырожденного электронного газа лишь очень незначительная часть электронов изменяет свою энергию.
Это те электроны, энергия которых лежит в интервале (Ег (0)-кТ, Ег (0)). Действительно, поскольку вплоть до температуры плавления мегалла выполняется условие 372 1Т « Ек (О), то долЯ электРонов, измеиающих свою энеРгию пРи нагреве металла, оказывается ничтожно малой. Поэтому средняя энергия электронов при изменении температуры меняется столь незначительно, что этим изменением можно пренебречь и считать, что 3 (Е) = -Е (О) и не зависит от температуры. Таким образом, из 5 квантовой теории следует, что электронный газ в металле, в отличие 3 от классического газа, для которого (Е) = — ИТ, не обладает теп- 2 лоемкостью.
Этот результат согласуется с экспериментальными данными по теплоемкости твердых тел. Задача 6.7. Сколько свободных электронов приходится на один атом калия, если энергия Ферми калия Ег = 2,14 эВ? Плотность калия р = 862 кг/м . Решение Энергия Ферми при не очень высоких температурах зависит от температуры слабо (см. соотношение (б.бЗ)). Поскольку в широком диапазоне температур вплоть до температуры плавления калия выполняется условие КТ « Е (О), то с достаточной точностью мож- но считать, что г г Е =Е (О)= — (Зп л)з. — з 2аь Пусть на один атом калия приходится Ч свободных электронов, тогда концентрация свободных электронов л и концентрация атомов калия а, связаны соотношением л =Чл,.
Найдем концентрацию атомов калия л,. Относительная атомная масса калия А„= 39,1, молярная масса М= 0,001.А„= = 0,0391 кгlмоль. Число молей в единице объема вещества ч = —, а Р М количество частиц в одном моле равно постоянной Авогадро Мх. Следовательно, концентрация атомов калия л = — Ма, а концен- Р м трация свободных электронов л = и — М„. Подставляя л в выраже- Р М ние лля энергии Ферми, получаем 373 Отсюда з С учетом численных значений входящих в это выражение величии находим, что на один атом калия приходится т) = 1,07 свободных электронов. Это означает, что концентрация свободных электронов в металле может быть сравнима с концентрацией атомов.
П Задача 6.8. Найдите среднюю скорость свободных электронов в металле при Т =О, если энергия Ферми для этого металла Е (0) = = 5,51 эВ. Решение. При решении этой задачи можно использовать распределение электронов как по энергиям (6.56), так и по скоростям (6.65). Продемонстрируем обаметодарешения. Воспользуемся сначала распределением электронов по энергиям. Скорость свободных электронов в металле связана с их кинетической энергией соотношением о(Е) =~ — =~ — ГЕ. )2Е Г2 Полагая в выражении (6.59) у (Е) к п(Е), находим, что При Т = О, заменяя верхний предел интегрирования на Е.
(0), получаем яг(о) ч'Е НЕ о 374 где о — скорость Ферми (макснмальная скорость электронов в металле при Т =0). Подставляя численные значения, получаем (о)= -1,05 10 мыс. Используем теперь распределение электронов по скоростям. В этом случае ) юР(о)о(о (е) о )Р(ю)оо о где функция распределения Е(о) представлена выражением (б.б5). При Т=О з ~%~ г Р(о)= кгйз о аког О, о>юг Подставляя Г (ю) в подынтегральные выражения и заменяя верхний предел интегрирования на юг, получаем 21 3 (о) — ог.
г 4 ~ г, о Задача 6.9. Найдите коэффициент сжимаемости (коэффициент упругости) а электронного газа в меди при температуре Т = 0 К. Решение. Коэффициент сжимаемости, или упругости газа характеризует относительное изменение объема газа при изменении давления: 1 НУ Н()пУ) У Ыр (р где р — объем газа; р — давление. Поскольку число частиц газа )з' остается постоянным, то при сжатии газа его концентрация будет возрастать, причем 375 л= —, 1пУ =1пЖ вЂ” 1пл, М У' где 1пМ=сопаь В соответствии с этим Н(1пУ) р1(1пи) Нр р1р Из кинетической теории известно, что давление, которое оказывает газ на стенку, определяется средней энергией поступательного движения частиц этого газа (Е) р = — л(Е). 2 3 Для вырожденного электронного газа при Т = 0 К (см.
задачу 6.6) (Е) = — Е (0), 3 5 или, с учетом (6.60), 3 й г г/3 (Е) = — (Зкги) 5 2лрс Поэтому зависимость давления электронного газа р от его концен- трации л при Т=О К нмеетвид 2 3 й г г'3 1й гг'3 5м р=-л — — (Зк л) = — (Зк ) л 3 5 2л3е 5 3ио Отсюда грз .1335 -[р "Р 1р Р) р"' =рр"' йг где А =сонм. Таким образом, 1п и = 1п А+ — 1п р. 3 5 376 Подставляя это соотношение в выражение для коэффициента сжи- маемости, получаем 1()вл) 3 1()»р) 3 1 лР 5 Ыр 5 р Воспользовавшись найденной выше зависимостью р от л, придем к выражению Коэффициент сжимаемости электронного газа можно также выразить через энерппо Ферми Ег (О). С учетом ( б.бо ) получаем 3бя а (Е (0))-532 )3/2 Взяв значение энергии Ферми для меди Ег (О) = 7,04 эВ = = 1,13 10 ' Дж, получим численное значение коэффициента сжимаемости электронного газа в меди — 35 Зб(3,14) (1,05 10 ) а= ' ' (1,14.10 ") =1,33 10 " Па ' = (8.9,1 10 3') =1,38 10 атм Отметим, что давление электронного газа является одним из основ- ных факторов, определяющих сжимаемость металлов.
6.6. Эмиссии электронов из металла Одним из наиболее важных практических приложений квантовой статистики Ферми — Дирака является изучение эмиссии электронов из металлов — физического явления„заключающегося в испускании электронов металлом. Эмиссия электронов может воз"икать при нагреве металлов (термоэлектронная эмиссия), при об"учении металлов различными частицами, например фотонами (фо- 377 тоэлектронная эмиссия), при приложении к металлу сильных электрических полей (холодная, нли автозлектронная, эмиссия) и т. д. Фотоэлектронная эмиссия (внешний фотоэффект) подробно рассмотрена в 1.4. Здесь же основное внимание уделено термоэлектронной и холодной эмиссии электронов из металлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
