Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Это объясняется тем, что число электронов в металле, энергия которых Е заметно превышает энергию Ферми Е., весьма малб, а вероятность туннелирования электронов с энергией, меньшей энергии Ферми, существенно уменьшается из-за увеличения ширины потенциального барьера. Действительно, как следует из эксперимента, энергетический спектр электронов, покинувших металл в результате холодной эмиссии, является достаточно узким.
При не очень высоких температурах его ширина составляет примерно 0,1 эВ. Плотность тока холодной эмиссии / пропорциональна коэффициенту прохождения Р через барьер. Следовательно, плотность тока как функция напряженности электрического поля 8 имеет следующий вид: / =,/о ехр~ — ), ( Ео1 (6.73) 392 где Яо — усредненное по энергиям электронов значение Во. Для большинства металлов Яо -10 ...10 В/м . Это означает, что значительная сила тока холодной эмиссии может быть достигнута при приложении к металлу электрического поля, напряженность которого В -Во -10 В/м.
В частности, американский физик Р.Э. Милликен, подтвердивший в 1929 г. зависимость (6.73) на эксперименте, получал достаточно сильные токи холодной эмиссии уже при 6=4 10 В/м. Холодная эмиссия электронов находит широкое применение при изучении физических свойств поверхностей, адсорбции газов, явлений катализа и коррозии.
Эмиттеры с холодной эмиссией (автозлектронные эмитгеры) используются в технике, особенно в тех случаях, когда необходимо получить высокую плотность тока В частности, такие эмиттеры применяются в качестве интенсивных точечных источников электронов, например в электронной микроскопии. Чтобы создать большую напряженность электрического поля В вблизи поверхности металла, автоэлектронные эмитгеры делают в виде поверхностей с малым радиусом кривизны: в виде острия, лезвия, торца нити и т. д. На рис. 6.22 приведена электронная микрофотография эмиттера полученного советскими учеными из Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна). Плотность остриев эмитгера порядка 10 на квадратный сантиметр.
По форме они представляют собой конусы высотой 6,6 мкм с диаметром основания 1,5 мкм. Средний радиус кривизны вершины конусов составляет 0,1 мкм, угол раствора конуса 12о. Рис. 622. Электронный эмиттер с коническими остриями Автозлектронная эмиссия наблюдается также в графите и графитоподобных материалах. Лучшие параметры автоэлектронной эмиссии достигаются в графитовых пленках, получаемых методом химического осаждения из газовой фазы. Так, например, для пленки из пластинчатых кристаллитов графита с плотностью эмитиРующих центров порядка 10 см пороговая напряженность электрического поля, при которой возникает холодная эмиссия, составляет 1,5 10 В/м.
Важным достоинством эмиттеров с холодной эмиссией является то, что они не требуют энергетических затрат на подогрев, а также их безынерционность. Однако в ряде случаев холодная эмиссия может играть и негативную роль, способствуя утечкам тока и развитию вакуумного пробоя. Для снижения влияния хо- 393 лодной эмиссии в таких ситуациях необходимо уменьшить поле 8 у поверхности проводника или повысить работу выхода А„ подбирая соответствующие материалы или покрытия. 6.7. Многоэлектронные атомы Выше в качестве системы ферми-частиц была рассмотрена система свободных электронов в металле. Еще одним примером системы фермионов являются электроны многозлектронного атома.
Пусть заряд атомного ядра равен Ле, тогда в таком атоме вблизи ядра находится Н = У электронов. Чтобы описать состояния этих электронов, нужно решить уравнение Шредингера для волновой функции системы Ф электронов с гамильтонианом Н (6.1), учитывающим кулоновское взаимодействие электронов как с заряженным ядром, так и друг с другом. Решение такого уравнения для многоэлектронных атомов связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые в ряде случаев не удается даже с применением ЭВМ. Метод Хартри — Фока.
В квантовой механике были разработаны специальные методы нахождения приближенного решения уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов. Один из них, предложенный английским физиком Д. Хартри и развитый в дальнейшем советским физиком В.А. Фоком, получил название метода Хартри — Фока, или метода самосогласованного поля. В этом методе состояние каждого электрона в атоме описывается волновой функцией Ч', (г), где л; — набор четырех квантовых чисел л, 1, гл и т„а волновая функция всей системы атомных электронов представляется в виде произведения Ч'(гп г2, ..., щ)=Ч'„,Я)Ч'„зЯ)...Ч'„, (щ).
(674) В нулевом приближении волновые функции Ч' (г1) берутся из набора волновых функций водородоподобного атома, т. е. считается, что на движение отдельного электрона другие электроны не оказывают никакого влияния. Затем по этим волновым функци- 394 ям определяют энергию электрического взаимодействия каждого ~лектрона со всеми остальными электронами атома.
Эта энергия описывается выражением (7 ~~~ 2 ~! лй ("А )! (6.75) Полученные значения энергии взаимодействия (6.75) вводят в виде поправок в гамильтониан (6.1), и с учетом этих поправок решают уравнение Шредингера для каждого электрона. В результате получают новые волновые функции, которые уже не совпадают с волновыми функциями водородоподобных атомов. С помощью этих новых волновых функций снова вычисляют поправки к гамильтониану и т. д. Такие итерационные операции повторяют до тех пор, пока последующие результаты не будут с достаточной точностью совпадать с предыдущими, т.
е. пока эти результаты не станут самосогласованными. Обычно число таких итераций не превышает десяти. В.А. Фок учел в таких расчетах принцип Паули для системы электронов. Требования этого принципа в данном случае состоят в том, что в комбинациях квантовых чисел л; в выражении (6.74) не должны встречаться четыре одинаковых квантовых числа. Методом Хартри — Фока были рассчитаны характеристики целого ряда многоэлектронных атомов, причем результаты расчетов оказались в хорошем согласии с данными экспериментальных исследований. Этот метод применяется также в теории рассеяния, физике твердого тела и ядерной физике.
Метод Томаса — Ферми. Для тяжелых атомов с большим числом электронов успешно применяется другой приближенный метод учета влияния электронов друг на друга, предложенный американским физиком Л. Томасом для электронного газа высокой плотности и развитый Э. Ферми применительно к многоэлектронным атомам. Этот метод основан на предположении, что на расстоянии порядка дебройлевской длины волны электрона потенциальная энергия электрона 0 (г) изменяется достаточно медленно. Поэтому внутри объема, в котором изменения У(г) невелики, манжет находиться достаточно большое число электронов.
В этом 395 случае анализ поведения электронов в атоме можно проводить, используя рассмотренное выше (см. 6.4) статистическое распределение Ферми — Дирака. Поэтому метод Томаса — Ферми является статистическим методом. Согласно этому методу, электрон в многоэлектронном атоме находится в суммарном поле атомного ядра и всех остальных электронов. Считается, что это поле обладает центральной симметрией, а также предполагается, что электрический заряд электронного облака в атоме распределен в пространстве непрерывным образом с обьемной плотностью р(г), зависящей только от расстояния г от электрона до ядра. Для расчета плотности р(г) электроны в атоме рассматриваются как вырожденный идеальный газ ферми-частиц.
Пусть на расстоянии г от ядра потенциал суммарного электрического поля равен у(г), тогда полная энергия электрона (6.76) где р — импульс электрона, а то — масса электрона. Для того чтобы электрон в атоме находился в связанном состоянии, его полная энергия Е не должна быть положительной, т. е. Е<0. Следовательно, электрон может находиться в связанном состоянии на расстоянии г от ядра только в том случае, если его импульс не превышает максимального (фермиевского) значения р~, равного (6.77) Из условия квантования пространства импульсов (см. 6.2) следует, что в единице объема пространства число квантовых состояний электрона на расстоянии г от' него до ядра не превышает значения 4 з 3 кРг рз ( 2тоеу(г)] (2яй)3 ЗЯ2йз Зп2йз 396 Таким образом, плотность заряда в электронном облаке на расстоянии г от ядра равна р(г) = — е(7 = — ~р(г) е(2тое) 3!г Зк2Р,З (6.78) Поскольку р и ~р зависяттолькоотрасстояния г, т. е.
задача имеет сферическую симметрию, уравнение (6.78) можно записать в виде 1д (гф) е(2тое) ~ й Зк~аол~ (6.79) Это нелинейное дифференциальное уравнение для потенциала у(г) следует решать с учетом граничных условий: ср(г)-+ при г — эО и ср(г) — +О при г — > . (6.80) Уе 4нвог Первое из этих условий означает, что по мере приближения к ядру вклад поля ядра в общее электростатическое поле приобретает определяющее значение. Второе условие в (6.80) есть требование равенства потенциала нулю в бесконечно удаленной точке пространства. Из электростатики известно, что для нейтральной в целом системы точечных зарядов, например для нейтрального атома, скорость убывания потенциала системы на больших расстояниях оказывается заметно выше, чем в случае точечного заряда, для ко- 1 торого потенциал (р,.
- —. Таким образом, для потенциала <р г суммарного электростатического поля, создаваемого ядром и атомными электронами, должно выполняться условие гу-+О при г-э 397 Потенциал усредненного электрического поля в атоме находят из уравнения Пуассона Введем безразмерные величины ф 9 4ялог г и х=— Здесь а — радиус первой боровской орбиты (5.7). В этом случае уравнение (6.79) и граничные условия (6.80) принимают вид г(2Ф (Ф3 — =~ —, 0<х< цх2 х Ф-+1 при х-+О, Ф-+О при х-+ (6.81) Решение нелинейной краевой задачи (6.81) для функции Ф(х) находят с помощью численных методов. Результатом решения является монотонно убывающая функция, обра- 0,8 0,4 0 2 4 6 8 10 х 398 щающаяся в нуль лишь на бесконечности (рис. 6.23).
пенного потенциала электростатического поля в многоэлекгронном атоме в модели томаса — Томаса — Ферми не передает Ферми всех деталей распределения электронной плотности заряда внутри атома, он дает возможность достаточно точно установить вид усредненной зависимости р(г). Численный расчет электронной плотности заряда в зависимости от расстояния г до ядра позволяет, в частности, определить, что в сфере радиуса Я„= 1,33аУ ~ заключена половина полного электронного заряда атома. Поэтому именно величину Я, обычно рассматривают как эффективный радиус атома. С помощью метода Томаса — Ферми можно найти полную энергию ионизацни атома, т. е. энергию, которую нужно затратить эля того, чтобы удалить из атома все электроны. Потенциал электростатического поля, полученный методом Томаса — Ферми, может быть использован в расчетах по методу методу Хартри— Фока, уменьшая тем самым число необходимых итераций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
