Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням показано на рис. 6.10. Отметим, что число этих уровней очень велико. Ер(0) Е =Е <О) о — спин вверх ~ ° — спин вниз ~ рис. 6.10. Заполнение энергетических уровней электронами при Т=О 361 иг г(Е) = ' УЛ. г,з (6.51) Число состояний, приходящихся на интервал энергий от Е до Е+ г)Е, получаем, умножая число квантовых состояний я(Е) на ширину энергетического интервала ИЕ.
Умножая затем это произведение на (п) , т. е. на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов НЖ, энергия которых лежит в интервале от Е до Е+ лЕ: ИМ = я(Е)(л) йЕ. (6.52) Интегрируя зто выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в металле: 362 Два электрона заполняют самый нижний энергетический уро вень. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбуж денном энергетическом уровне, следующая пара электронов — на втором возбужденном уровне и т. д. Если число электронов в ме- Ж талле равно )У, то при Т =0 будут заполнены первые — уров- 2 ней с энергией Еь Е .
Все остальные уровни с энергией Е> Е будут свободны. Сравнивая полученный результат с распределением Ферми — Дирака при Т =О, приходим к выводу, что максимальная энергия электронов Е совпадает с энергией Ферми Е~(0). Следует отметить, что, хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным (см. выражение (6.19)), энергетические уровни расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным).
Численные оценки, подтверждающие справедливость такого подхода, выполнены в задаче 6.5. Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергиям. Плотность квантовых состояний электронов в металле, т. е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, согласно (6.29), имеет вид Ж = ) б(Е)(н) НЕ. о (6.53) д згг йт = ГЕ ЫЕ (6.54) /2тзуг ~~з [е е) (6.55) /2тзсг р(Е) т „2то Е 1 ,1Е „г,з ехр~ +1 ~ КТ / (6.56) входящая в выражения (6.54) и (6.55), называется функцией роснрвделення свободньп электронов по энергиям.
При Т = 0 функция Г(Е) имеет вид /2 3/г Я, Е<Е,(0), яй О, Е>Е~(0) (6.57) "РаспРеделение электронов по энергиям описывается выражением 363 Выражения (6.52) и (6.53) удобно записывать не для полного числа электронов в металле Ф, а для концентрации электронов н = —. С учетом (6.51) получаем У У Д' 3(2 о ГЕс1Е Е<Е~(0) кЬ О, Е > Еи(0). (6.58) О ~~(Е) Р(Е)йЕ (У) = о = ~У(Е)Е(Е)ДЕ о (6.59) Получим выражение для энергии Ферми Е (0) при Т=О. Для этого воспользуемся соотношением (6.55).
Поскольку при абсолютном нуле температуры (л) =1 при Е<Е~(0) и (л) =0 при Е>Ег(0), то верхний предел интеграла в (6.55) нужно заменить на Ег (0). Интегрируя, получаем Р Зависимость функции рапределения (6.57) от энергии при Т = О приведена на рис. 6.11. Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой Г(Е)численно равна концентрации л свободных электронов Е.(0) Е в металле. Отметим, что функции распре- деления играют в статистической Р ..6Д1.0идфУнкцииРас- физике очень важную роль.
Так, пределения Г(Е) при Т=О например, если известна функция распределения частиц по энергиям Г(Е), то в рассматриваемой системе можно найти среднее значение любой физической величины Т", зависящей от Е. Оно определяется следующим образом: ~г( ) 3/г 2 2 3/г о Отсюда находим Е~ (0): йг г/3 Е~ (0) = — (Зп и) 2, (6.60) Это очень важное соотношение, которое позволяет, зная концентрацию электронов л, найти энергию Ферми Е~ (0), или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.
Оценим значение энергии Ферми для свободных электронов в гг -3 гв -3 металлепри Т=О. Пусть в=5 10 см = 5.10 м, тогда г (1 05 10-341 Ег (0) = ' ' (3. 3,14 . 5. 1огв ) з — 8 10 1ч Дж = 5 эВ. 2 0,91.10 зо Таким образом, в общем случае энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон-вольт. Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми Т~, которая определяется следующим образом: КТр -— Е~(0) или Т~ = Е, (О) (6.61) 365 Прн значении Е~ (0) = 5 эВ температура Ферми составляет Т~ = = 60 000 К, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. Значения энергии Ферми, рассчитанные с помощью соотношенил (6.60) для различных металлов, приведены в табл.
6.1. Здесь же ланы значения температуры Ферми Т~ и скорости Ферми злектРонов о г, найденные из соотношений (6.61) и (6.50) . Таблица б.1 Рассмотрим теперь случай ненулевых температур (см. рис. 6.9). Как уже отмечалось, ступенька в распределении, характерная для Т = О, в этом случае размывается и переход от заполненных электронами уровней к незаполненным происходит более плавным образом.
Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при Т > О показано на рис. 6.12. -ГгТ Ег(0) е — спин вверх 1 ° — спин вниз 1 Рис. б.И. Заполнение энергетических уровней электронами прн Т~О Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка ИТ, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка йТ, казываются свободными.
И только в области энергий шириной порядка П' вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные электронами. Отметим, что, хотя ширина этой области, „ак правило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов. Зависимость функции распределения р(Е) от энергии электронов при Т > О представлена на рис. 6.13.
Поскольку, как и в У случае Т =О, площадь под кривой Г(Е) численно равна концентрации и свободных электронов в металле, то площади участков Я~ и Ез оказываются равными. Площадь каждого из этих участков определяет число электронов в единице объема металла, пеРешедших пРи нагРе- Рне.
6Д3. Ввд функции распреве обРазца с заполненных УРов- деления Е(Е) при Т ~О ней на незаполненные. Получим выражение для энергии Ферми Ег при отличной от нуля температуре металла, используя соотношение (6.55): Г2то ГЕ йЕ (6.62) Оехр ~ +1 Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми Е~ как функцию температуры Т и концентрации электронов п. Од- 367 пако в общем случае интеграл в (6.62) точно не берется. Приблн женное значение интеграла удается получить при КТ «Ел. В этом случае 12 Е~ (О) Е„. =Е„. (0) (6.63) Из приведенных выше оценок для Е~ (О) следует, что условие ИТ «Ер(0) выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твердом виде. Это означает, что соотношение (6.63) справедливо для всех реализуемых на практике случаев.
Более того, во многих ситуациях поправка к Е~ (О), определяемая выражением (6.63), оказывается ничтожно малой, так что ею можно пренебречь и считать, что Е~ Е~ (О). Действительно, если взять Е~ (О) = 5 эВ, то при комнатной температуре, т. е. при ОТ=0,025 эВ, относительная поправка к Е~(0) в выражении (6.63) составляет Е -Е (О) ' '=2 10 =0,002%. Е~ (О) ~2Е что р=,~2тоЕ, а о= —. Они имеютследующий вид: -о 368 Однако для понимания ряда физических явлений, таких, например, как изменение теплоемкости металлов при низких температурах илн объяснение термоЭДС, зависимость Е от Т имеет принципиальное значение. Выше мы рассмотрели распределение свободных электронов в металле по энергиям.
Наряду с распределением по энергиям прн анализе поведения электронов в металлах используются также распределения электронов по импульсам р и по скоростям о. Эти распределения получаются из (6.54) и (6.56) с учетом того, длг г з г — р1р'1г1р, (б.б41 „г,з (рг ( ехр +1 ИТ Нл г РМ1дп. 1б'б51 и й (топ /2-Ер1 ехр +1 кТ В частности, они позволяют найти средний импульс (р) и среднюю скорость (о) свободных электронов в металле. Вырожденный электронный газ. Проведенное рассмотрение относится главным образом к случаю вырожденного электронного газа, т. е. газа, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа вследствие неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике.
Отметим, что газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами (а) становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны частицы Хв, т. е. (а) < Хв. Именно с этим связано то обстоятельство, что квантовые распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака в случае разреженных газов, когда это условие нарушается, переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана. Поведение газа в существенной степени зависит от его температуры.
Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из бозе-частиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходит бозе-конденсация, т. е. переход заметной доли частиц в состояние с энергией Е = О. Именно с бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т. е. его способность протекать через тонкие щели " капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов.
Зб9 Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура Ферми Т~, определяемая из соотношения (6.61). Как следует из (6.60) и (6.61), температура вырож дения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому Т~ особенно велика у электронного газа в металлах. Действительно, масса электрона очень мала (п~о = = 0,91 10 кг), а концентрация электронов в металлах достаточно велика (10~ ...10 м ), что, согласно (6.60), приводит к значению температуры Ферми порядка 10 К (см. табл. 6.1).
При 4 температуре Т<Т, т. е. при кТ<Е~(0), электронный газ в металлах является вырожденным, а при температуре Т > Тн, т. е. при ИТ > Е~ (О), — невырожденным. Поскольку температура Ферми для металлов имеет значение порядка 10 К, то электронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остается в твердом состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
