Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Результаты распределения приведены ниже. Фермноны Классические частицы Бозоиы ~1Д2 1 Д21Д ) ЯеД 1 2 2 1 ° ° ~ЯД2] Дг~Д1 Я Я Я Я ~д2 1 1 Я Д ПП2 БП ДД ДЯ Для классических частиц число возможных распределений (микросостояний) равно девяти, а вероятность каждого распределения — 1/9. Для бозе-частиц получается шесть распределений, соответственно вероятность каждого из них равна 1/6.
Для ферми-частиц реализуются только три распределения с вероятностью выпадения каждого из них, равной 1/3. Вывод распределения Бозе — Эйнштейна. Приступим теперь к выводу закона распределения бозе-частиц по энергиям. 338 П едварительно решим следующую вспомогательную задачу. П алеть имеется длинный пенал, который может быть разделен на у ячеек с помощью У вЂ” 1 перегородок (рис. 6.2). Найдем число способов, с помощью которых Ф неразличимых частиц могут быль распределены по ячейкам этого пенала. Поскольку мы имеем дело с бозе-частицами, то будем считать, что в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц.
1 2 3 г-1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Рис. 6.2. Возможное распределение бозе-частиц по ячейкам (6.32) Проиллюстрируем полученный результат на следующем примере Рассмотрим возможные распределения трех частиц по трем ячейкам (рис. 6.3). Всего таких распределений 10. Точно такой же Результатдаетвыражение (6.32) при Ж=З и 2=3: 339 Следовательно, эта система состоит из Ф частиц и 2 — 1 перегородок, т.
е. из У+ 7,-1 элементов. Рассмотрим все возможные перестановки элементов этой системы. Следует отметить, что речь идет о перестановке не только частиц с частицами, но и перегородок с перегородками, что меняет нумерацию ячеек н, вообще говоря, число частиц в ннх. Кроме того, могут переставляться перегородки вместе с частицами, что приводит к изменению нумерации ячеек. Общее число таких перестановок, согласно комбннаторике, равно (И+ 2-1)!. Однако не все они приводят к новым распределениям.
Так, перестановки частиц ввиду их неразличимости не дают новых распределений. Число таких перестановок равно Ж!. Перестановки только перегородок тоже не приводят к новым Распределениям, нх число равно (У-1)!. Таким образом, число способов й, с помощью которых М тождественных частиц могут быть распределены по у ячейкам, равно а= — '=10. 5! 3!2! Поскольку считалось, что в ячейке может находиться любое число частиц, то выражение (6.32) определяет число способов, с помощью которых Ф бозонов могут быть распределены по Я состояниям.
Каждый способ размещения частиц представляет собой определенное микросостояние системы. Следовательно, й определяет число микросостояний, с помощью которых реализуется конкретное макросостояние системы. Таким образом, й есть термодинамическая вероятность, или статистический вес, макросостояиия системы. Рис. 6.3. Распределение трех бозе-частиц по трем ячейкам Рассмотрим шестимерное фазовое пространство с координатами х, у, г, р„, р, р .
В этом пространствеуравнение ~~х, у, з, р, р, р,) =Е=сопяг, где Š— полная энергия частицы, определяет изоэнергегическую поверхность, т. е. поверхность, все точки которой отвечают одному и тому же значению энергии частицы. Разобьем с помощью изоэнергетических поверхностей фазовое пространство на тонкие энергетические слои. Пусть ~-й слой ограничен поверхностями У(х у т Рх ру ря)=Е~ 340 У(х, У, я Р» Рт Р»))= Е+и Будем считать слой тонким, если ~Еьм — Е;~ << Е;. В этом случае энергию всех частиц, попадающих в 1-й слой, можно считать одинаковой и равной Е;. 3 Пусть объем 1-го слоя составляет У;(2лл) .
Это означает, что с учетом выражения (6.26) число квантовых состояний (ячеек) для этого слоя равно У;. Примем, что в пределах 1-го слоя находится )1~; частиц. Тогда, согласно (6.32), статиспгческий вес подсистемы, содержащей Ж; частиц, составит (И;+2; -1)! й;= М;!(У; — 1)! Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов отдельных ее подсистем: (6.33) Как уже отмечалось, нас интересует распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов, т. е.
распределение, для которого статистический вес й максимален. Таким образом, нужно найти максимум выражения (6.33). При этом следует иметь в виду, что полное число частиц системы и полная энергия системы должны о ваться по о Исследование на экстремум выражения (633) представляет собой достаточно сложную задачу, поэтому вместо максимума 341 статистического веса й будем искать максимум энтропии Я, ко торая связана со статистическим весом соотношением (6.34) Подставляя выражение (6.32) в (6.34), получаем Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга 1пл! = л1пп — и, справедливой при п»1. Считая, что Ф; »1 и У; »1, получаем Перепишем это выражение в виде 5 = Й~~(Ж;+У;-1)1п(Ф;+У;-1)-д!;)пМ;~+С, (6.35) где С=)с,) (У;-1))п(2; — 1).
Слагаемое С в (6.35) не зависит ! от числа частиц Ф;, поэтому при отыскании максимума функции Я его можно не учитывать, так как в задаче на экстремум будет варьироваться только число частиц в слое Ф;. Для отыскания максимума энтропии (см. выражение (6.35)) при условии постоянства полного числа частиц системы !!! и полной энергии Е воспользуемся методом множителей Лаграюка. Этот метод заключается в следующем.
Пусть нам нужно найти экстремум функции г (х!, х2, ..., х„), аргументы которой удовлетворяют условиям 342 у11х1, х2, ..., хл) = С1, у2(х1~ х2, ..., Хл) = С2 ул(х1, х2, ..., хл) = Сл, 1 де у1 у2 ..., ул — некоторые известные функции, а С1, С2, ..., Сл — константы. Для этого, согласно методу множителей Лагранжа нужно построить функцию ~ + л1 У1 + ~'2 У2 + - + л'л Ул Здесь Х1, Х2, ..., Ал — постоянные коэффициенты, называемые множителями Лагранжа. Затем следует взять частные производные функции Г по всем переменным х; и приравнять их нулю.
В итоге получим систему и уравнений, решение которой даст нам значения переменных х;, при которых достигается условный экстремум. Напомним, что в нашей задаче переменной величиной является число частиц У1, а дополнительно накладываемые условия сводятся к требованию постоянства числа частиц системы У и энергии Е. Поэтому функция Е в данном случае имеет вид Г = Б+Х~И+Л~Е= +~ 1)1п1д1 +у, 1) лг 1ву,~+3, '1 у,. + А2~ Ж1Е1.
1 дГ ПРиРавнивая производную — нулю, получаем дФ; 4п1М1+211)+~И+21)1пФМ'+ 1Л 1 +21+1,2Е, =О. ПРеобразуем это выражение к виду 343 Отсюда следует, ч"го Разделим числитель и знаменатель левой части полученного ра- венства на У;: М; Отношение — ' = (л ) представляет собой среднее число частиц, У; приходящихся на одну ячейку фазового пространства, т. е. на одно состояние в 1-м энергетическом слое. 1 Поскольку У» 1, то слагаемым — в числителе можно 1 У пренебречь.
Таким образом, получаем 1 Х2Е;+1~ Найдем теперь выражения для множителей Лаграюка Х~ и Хз. Множитель Х2 можно отыскать следующим образом. Поскольку все частные производные функции Е по 1т; равны нулю, то это означает, что равен нулю и дифференциал этой функции сК, т.е. йР = Ж+ХфУ+Х2ЕЕ=О. (6.36) Р " теперь, 'гго рассматриваемая процессе некоторое количес В результате этого эн оп ивается на Ы ЬЯТ Поскольку У сопзг то работа при полу чениитеплоты несовершаетсяи ЬЯ=йЕ, следовательно, с1Е ИЯ = —. Т (6.37) 1 Сравнивая (6.36) и (6.37), находим, что Х2 = —. Т Множитель А~ представим в виде Х~ Н Т (6.38) где )ь — некоторая функция параметров состояния системы, в частности температуры.
Эту функцию называют химическим потенциалом. Понятие химического потенциала оказывается очень важным для анализа термодинамического равновесия систем: одним из условий равновесия является равенство химического потенциала для всех частей системы.
Сучетомвыраженийдля Х~ и Х2 находим,что (п;) = ехр ' -1 Освобождаясь от индекса 1, окончательно получаем 1 (л) ехр — -1 (6.39) 345 Но к как число частиц системы М постоянно, то сИ =0 и, следовательно, Выражение (6.39) называегся распределением Бозе — Эйнштей на. Оно описывает распределение бозонов по энергиям и определяет среднее число бозонов (и), находящихся в квантовом состоянии с энергией Е при температуре системы Т. Величину (и) называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией Е. Проанализируем следствия, вытекающие из вида распределения Бозе — Эйнштейна. Как следует из выражения (6.39), число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра (Š— )г)l(йТ) может оказаться очень большим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
