Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Кроме того, статистические свойства бозонов и фермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц также оказываются различными. Найдем число квантовых состояний, по которым могут распределяться частицы, при условии, что энергия этих состояний не превышает некоторого значения Е. Определим зто число для случая частицы, находящейся в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Согласно (4.27), энергия частицы в такой яме описывается выражением 'й'[ +~~ + 3 (6.19) 332 где ап а2 и аз — стороны прямоугольного параллелепипеда, а п1, п2, пз = 1,2,3, ...
— квантовые числа. Из (6.19) следует, что энергия частицы меняется не непрерывным образом, а дискретно, поскольку квантовые числа п1, пз и пз могут принимать только целочисленные значения. Однако нас будут интересовать значения энергии Е, существенно превышающие энергию основного состояния, для которого п1 — — вз = пз — — 1. В этом случае изменение энергии ЬЕ от уровня к уровню будет значительно меньше самого значения энергии Е, так что можно считать, что энергия частицы меняется практически непрерывно (квазннепрерывно).
Рассмотрим пространство квантовых чисел, т. е. трехмерное пространство, вдоль трех взаимно перпендикулярных осей которого отложены квантовые числа пп пз, пз (рис. 6.1). Точку этого пространства, которая отвечает определенному набору целых чисел (п1, пз, пз), будем называть узлом. Каждому узлу в 2 2 2 г (л,а2аз) +(л2а1аз) +(лза1а2) г (а1а2аз) 4/3 и перепишем соотношение (6.19) в виде К л 2 2 2 г г О(а1 ~аз)2~~ (6.20) Выражая отсюда г, получаем (а1азаз) ~2тдЕ (6.21) ассмотрим сферу радиусом г (рис. 6.1). Искомое число квантовых ~остояний определяется числом узлов, находящихся внутри 333 пространстве квантовых чисел ЬК=1 соответствует определенное "з квантовое состояние частицы, ° Р~в ° ь точнее не одно, а несколько ° ° ° Ф Э состояний, которые могут различаться, например, проекциями спина частицы.
Обо- Г значим число этих состояний, о не связанных с движением частицы, У,. В частности, для электрона проекции спина на вьщеленное направление при- 1 1 нимают значения + —, следо- Рис. 6.1. Пространство квантовых 2 чисел летально, для него 1, =2. Объем М~ в пространстве квантовых чисел, приходящийся на один узел, равен единице, т. е. М1 =1.
Найдем число О состояний часпщы, энергия которых не превышает некоторого фиксированного значения Е. Введем обо- значение 14 з 1 1 э 1 б = — пг — Х, =-пг — 1,. 83 ЬУ 6 М' Подставляя в это соотношение выражение (6.21) и учитывал, что М'=1, получаем ( 1' 2т~Е) 2~! 23 (6.22) Поскольку произведение а~а~аз представляет собой объем потенциальной ямы У, а,~2т~Е есть нерелятивистский импульс частицы р, то соотношение (6.22) можно представить в виде з 1г 4 з 1 3 (гй)з ' (6.23) Для того чтобы наиболее отчетливо выявить смысл полученного выражения, рассмотрим фазовое пространство — шестимерное пространство с взаимно перпендикулярными осями х, у, т, р„, р, р,. Полный объем в этом пространстве Уф равен произведению объема в пространстве координат У и объема в про- 4 странстве импульсов — яр (здесь р — импульс частицы, соот- 3 ветствующий максимальной энергии Е).
Таким образом, 334 положительного октанта сферы радиуса г. То обстоятельство, что мы рассматриваем не всю сферу, а только ее октант с положитель. ными значениями квантовых чисел лп лт и лз, обусловлено тем, что в нашей задаче п~, лт, лз > О.
Чтобы найти число состояний О, нужно объем октанта (т. е. 1/8 часть объема сферы) разделить на объем ЬУ, приходящийся на один узел, и умножить получившееся выражение на множитель 1,, определяющий число возможных проекций спина частицы: 4 У~ = У вЂ” кр, 3 (6.24) „выражение (6.23) принимает вид зг (2пл) (6.25) Множитель 1, в (6.25), как уже отмечалось, определяет число Уф, возможных проекций спина частицы, а множитель — чис(2кл) ло состояний, связанных с движением частицы в потенциальной яме.
Подчеркнем, что число состояний 0 пропорционально фазовому объему У~ Напомним, что проведенное выше рассмотрение относилось к случаю движения частицы в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками (потенциальном ящике). Можно показать, что обобщение полученных результатов на случай ямы произвольной формы не меняет общего выражения для числа квантовых состояний частицы (6.25).
Из выражения (6.25) следует еще один важный результат: объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, равен (2пЛ) . Запишем это утверждение следующим 3 образом: ЬхЬУЬгйрхЬРуЬР, =(2пл) = л, (6.26) ЬхЬР„= 2тА (6.27) 1а"им образом, в фазовом пространстве на одно состояние для враждой координаты приходится объем, равный 2пл. 335 где Ьх, Ьу, Ьг, ЬР„, ЬР, ЬР, — размеры ячейки в фазовом пространстве, приходящейся на одно состояние. Поскольку все "ространственные координаты х, у и я равноправны, то для одной координаты, например х, получаем Этот результат, как легко видеть, согласуется с принципом неопределенности.
Действительно, размеры ячейки фазового про. странства, приходящейся на одно состояние, должны определяться теми ограничениями на значения координаты и импульса, которые накладывают соотношения неопределенностей (2.16). Найдем теперь плотность квантовых состояний 8(Е), т. е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий.
Согласно определению, 0(Е+ИЕ)-0(Е) йБ(Е) с1Е йЕ Перепишем это выражение в виде Нб ар 8 (Е) = —. Ыр с)Е С учетом (6.24) и (6.25) получаем 8(Е)= 1 —— йр Ы 4 яр~У ',(Е,(р З(2„л)з ' или в окончательном виде 4 гр 4кр к' др '(2„л) йЕ (6.28) иг 8,(Е)= '" .Л. 8з „г„з (6.29) 336 Выражение (6.28) является общим, т. е.
справедливым для любых частиц. Найдем с его помощью плотность квантовых состояний для электронов и фотонов. Для нерелятивистских электронов р=,~2т~Е, а множитель У, = 2. Подставляя эти значения в (6.28), получаем Е д фотонов р = —, где с — скорость света в вакууме, а мнос ль у, также равен двум, поскольку вследствие поперечности говой волны фотон может находиться в двух состояниях с разной поляризацией. Следовательно, Вф(Е)7= з з з Е . и с"й (6.30) 6З.
Распределение Бозе — Эйнштейна В классической физике распределение частиц по энергиям описывается хорошо известными из курса молекулярной физики распределением Максвелла 16.31а) и распределением Больимана и йИъ = Аве 'гдхйудг. (6.316) 337 Здесь Ам и Ав — нормировочные константы; Е„и У вЂ” кинетическая и потенциальная энергии частицы соответственно; й — постоянная Больцмана; Т вЂ” температура. Напомним, что при выводе статистических распределений отыскивается наиболее вероятное распределение частиц, т. е.
распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов. Согласно основному постулату статистической физики, именно это распределение является равновесным. Будем считать, что частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа), а также полагать, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц, реализуются с одинаковой вероятностью. В классической физике при выводе распределений считается, что одинаковые частицы принципиально различимы.
Это, в частности, приводит к тому, что распределение, в котором одна нз двух одинаковых частиц (частнца 1) находится в состоянии А, а другая (час тица 2) в состоянии В, и распределение, в котором частица 1 нахо. днтся в состоянии В, а часпща 2 — в состоянии А, являются двумя разными распределениями. В квантовой механике этн даа распределения в силу тождественности одинаковых частиц следует считать одним распределением. Кроме того, ввиду различия в свойствах ферми- и бозе-часпщ, статистические распределения этих частиц должны существенно отличаться друг от друга.
Проиллюстрируем различие в распределении классических и квантовых частиц (фермионов и бозонов) на следующем примере, Пусть нам нужно распределить две часпщы по трем состояниям (ячейкам). Классические частицы вследствие их разлнчимости, будем отмечать номерами 1 и 2. Квантовые частицы одного вида принципиально неразличимы, будем изображать их черными кружочками. При этом ферми-частицы в соответствии с принципом Паули могут находиться в каждой ячейке только поодиночке, что же касается бозе-частиц, то никаких ограничений на распределение их по ячейкам не накладывается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
