Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Проводя перестановки любых других пар частиц, мы будем получать новые состояния системы, которые в силу тождественности частиц не будут отличаться от исходного состояния. Обобщение этого результата можно сформулировать следующим образом: в системе одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при перестановке частиц местами. данное утверждение получило название принципа тождественности одинаковых частиц.
Это очень важное положение в квантовой механике. Оно не вытекает нз основных постулатов квантовой механики, но и не пропворечит им. Справедливость этого принципа подтверждается согласием полученных на его основе результатов с опытом. Симметричные и аитисимметричные состояния. Пусть волновая функция Ч'(ц1,..., о~, г) описывает состояние системы, содержащей М одинаковых частиц. Действуя на нее оператором перестановки Р;., получаем 321 (6.6) Согласно принципу тождественности одинаковых частиц, получившаяся волновая функция Ч'(д~,..., д,..., д;,..., да,, г) должна описывать то же самое состояние, что и исходная волновая функция Ч'(д~, ..., ц;,..., ц,..., д~, г).
Следовательно, зти две функции могут различаться только постоянным множителем. Обозначим его Х. Тогда уравнение (6.6) можно переписать в виде (6.7) Уравнение (6.7) представляет собой уравнение на собственные функции и собственные значения оператора перестановки Р;;. Для того чтобы найти Х, подействуем на левую и правую части уравнения (6.7) оператором перестановки Р; Ж=ХРгЖ. Поскольку дважды применяемый оператор перестановки не меня- ет волновую функцию Ч', то с учетом (6.7) получаем т.е. Х =1 и А = Н. Такимобразом,собственными иями г опе ато а Р- являются и кот е п и пе ановке коо- ы = ибо дннат)-й н '-й частицлнбо оста янеи симметричными и антисимметричными относительно перестановки частиц. Полученный результат означает, что состояния системы из Ф одинаковых частиц описываются волновыми функциями, которые либо не меняются (симметричны), либо меняют знак (антисимметричны) при перестановке местами любой пары частиц.
В ре- 322 п1енин задачи б. 1 показано, что волновые функции, описывающие тояние системы, не могут быть симметричными при перестаке одной части частиц системы и антисимметричными при перестановке дру й части ее частиц С" м рня и рня волновых функций сохраняется по отношению к перестановкам всех частиц системы. Таким образом, принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механике приводит к тому, что все возможные состояния системы, образованной одинаковыми частицами, делятся на два типа: симметричные, для которых антисимметричные, для которых )й1А(91 - %~- ~ Чз'~-' '2н 1)= ЧА(91 - % - 91 -., Ян,г).
Здесь индексы 5 и А обозначают симметричную и анти- симметричную волновые функции соответственно, а перестановки проводятся по всем парам частиц системы. Можно показать 1см. решение задачи 6.2), что такое деление имеет абсолютный характер, т. е. вид симметрии волновых функций не меняется с течением времени. Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какой-либо момент времени является симметричной 1антисимметричной), то этот тип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени. Вазоны и фермионы. Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются бозечасшицами или бозонами.
Такое название оии получили потому, что системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, разработанной индийским физиком Ш. Бозе для фотонов и развитой А. Эйнштейном для идеального газа. К бозонам относятся фотоны, я- и К-мезоны, фононы в твердом теле, экситоны в полупроводниках и диэлектриках и т. д. Важно 323 отметить, что все бозе-частицы обладают нулевым нли целочисленным олином.
Частицы, состояния которых описываются антисимметричны ми волновыми функциями, называются ферми-частицами или фермионами. Это название принято потому, что системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Ферми — Дирака, развитой итальянским физиком Э. Ферми и английским физиком П. Дираком. К фермиоиам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарные частицы и античастицы с полу- целым спниом. Эта связь между олином частиц, образуюпщх квантовую систему, и типом статистики была установлена немецким физиком В. Паули.
Она остается справедливой и в случае сложных часпщ, состоящих из элементарных, таких, например, как атомные ядра, атомы, молекулы и т. д. Ответ на вопрос, является ли сложная частица бозоном нли фермионом, зависит от того, каков результирующий спин этой частицы. Если суммарный спин сложной частицы равен целому числу нли нулю, то эта частица является бозоном, если же он равен полуцелому числу, то частица является фермионом. Рассмотрим в качестве примера ядро атома гелия зНе, т. е. 4 а-частицу. Оно состоит из двух протонов и двух нейтронов — че- 1 тырех фермионов, спин каждой из которых равен —. Спин ядра 2 4 зНе равен нулю, т. е.
зто ядро является бозоном. Атом гелия з Не, содержащий кроме ядра еще и два электрона (два фермиона), также является бозоном. А вот ядро легкого изотопа гелия з зНе состоит из двух протонов и одного нейтрона, т. е. нечетного числа (трех) ферми-частиц. Спин этого ядра полуцелый, следовательно, ядро зНе является фермионом.
Также фермионом являетз сяиатом зНе. з Различие между этими двумя изотопами гелия проявляется не только на микроскопическом, но н на макроскопическом уровне. Оио заключается в том, что жидкий з ~Не при температуре Т = 2 К аег сверхтекучими свойствами, а жидкий 23Не таких свойств не проявляет. Явление сверхтекучести у 2 Не экспериментально от- 4 о советским физиком П.Л. Капицей в 1938 г и заключается в м, что жидкий 2 Не может протекать через узкие каналы и щели, „е испьпывая вязкости. Было ~о~а~а~о, что сверхтекучесть манжет озннкать только в системе бозонов и связана с образованием так называемого бозе-конденсата — наличием большого числа бозонов па самом шпилем энергетическом уровне. Атомы легкого изотопа гелия гНе явлжотся фермионами, по- 3 этому первоначально казалось, что о сверхтекучести 2 Не не может 3 быть и речи.
Однако впоследствии выяснилось, что при очень низких температурах (-0,002 К) атомы 2 Не обьедиюпотся в так на- 3 зываемые куперовские пары. Спин такой пары является целочисленным, т. е. куперовская пара представляет собой бозон. Следовательно, и жидкий 23Не в этих условиях может проявлять сверхтекучие свойства Сверхтекучесть 23Не была экспериментально обнаружена в 1972 г.
группой американских физиков. Волновая функция системы иевзаимодействующих частиц. Найдем с помощью полученных выше результатов вид волновых функций для системы, состоящей из тождественных микрочастнц. В целях упрощения задачи будем считать, что взаимодействие между частицами системы отсутствует, т.
е. энергии взаимодействия У; в (6.1) и Угг в (6.2) равны нулю. Сначала проведем решение без учета спина частиц. Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых невзанмодействуюпшх частиц. Согласно (6.2), гамильтониан такой системы Й=Й1+йг, где Н1 — гамильтониан одной частицы, а Нг — гамнльтониан другой частицы, определяемые соотношением ьг( лг лг лг) и;= — — + — + — +Н(х;, у;, г;), '=1,2. 2ао Дхг ф~2 дгг 325 Отметим, что вид операторов Н! и Н2 совершенно одинаков, поскольку одинаковы сами рассматриваемые частицы. Единственное их различие заключается в том, что операторы Н! и Н2 зависят от разных координат.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний системы частиц имеет вид йЧ'=(й1+й2)Ч'= Е, (6.8) где Š— полная энергия системы. Будем решать это уравнение методом разделения переменных «(?1 !?2) «а(ч1)Ч)3(!?2). (6.9) Н «а (ч1) «33 (?2) ( Н1 «а (Ч1)! «$3 (ч2) +( Н2 «р(Ч2)3 «а (?1 ) = ЕЧ, (д!) Ч р(92). Разделим левую и правую части этого уравнения на произведение волновых функций Ч о (9! ) Ч а (92): Н1Рв(ч!) Н2«13(92) «а(ч!) «!3(ч2) Первое слагаемое в левой части уравнения (6.10) зависит только от координат ?1, второе слагаемое — от координат 92, тогда как правая часть представляет собой постоянную величину— полную энергию системы Е. Это равенство может выполняться только в том случае, если каждое из слагаемых в левой части (6.10) равно постоянной величине: й,ч',(д!) Й2Ч'р(92) =Е! = Е2.
Ч'а Й1) Ч'(3 Й2) 326 Здесь волновая функция Ч'„(д1) описывает состояние одной частицы, а волновая функция Ч'р (92) — состояние другой частицы. Подставляя волновую функцию (6.9) в уравнение (6.8), получаем Й1Ж,„(д1) = Е1'М,„(д1), Н2Ж5 (ч2) = Е2Ч р(ч2)' (6.11) е постоянные величины Е1, и Е2 удовлетворяют условию Е1 +Е2 цз уравнений (6.11) следует, что волновая функция Ч'„(д1) „нсывает состояние одной часпщы с энергией Е1, а волновая функния ч'р (д2 ) — состояние другой частицы с энергией е2. поскольку частицы не взаимодействуют друг с другом, то полная энергиясистемы Е равнасуммеэнергийотдельныхчаспщ Е1 и Е2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
