Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Обозначим решение первого уравнения в (6.11) через 1р,„(д1), а второго уравнения — через <рр(д2). Тогда решение уравнения (6.8) для системы двух невзаимодействующих частиц принимает вид Ч (ч1 ч2) Ф (Ч1) Рр(ч2) (6.12) Укажем теперь, как учитывается наличие у частиц спина. Будем считать, что совокупность координат д; включает в себя не только пространственные компоненты х;, у;, 21, но и спиновую составляющую з1 — проекцию спина частицы на выделенное направление. Уравнение Шредингера, которым мы пользовались до сих пор, является уравнением нерелятивистской квантовой механики и не учитывает спин частицы.
Поэтому для решения данной задачи необходимо воспользоваться более общим уравнением— уравнением Паули, — в котором спин частицы принимается во внимание. Рассмотрение этого уравнения выходит за рамки нашего курса. Отметим только, что решением уравнения Паули является волновая функция, имеющая вид, аналогичный (6.12), т. е. представля1ощая собой произведение двух волновых функций 9а (ч1 ) и 1рр (д2), описывающих состояние каждой частицы. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться волновой функцией (612), считая, что переменные у; включают в себя как пространственные, так и сливовые координаты. 327 Воспользуемся теперь принципом тождественности частиц.
Если в волновой функции (6.12) поменять местами координаты частиц, то получившаяся волновая функция ч Й2 «)1) р Й2)ФР(ч1) (6.13) 15 Фа(ч1)ФР(ч2)+Фа(ч2)ФРИ!) (6.14) и антисимме«ричную Ч А — «р («)1)ФР(д2)-Фарг)ФРИ1). волновые функции. В силу линейности уравнений квантовой механики зги функции являются решением данной задачи и могут описывать состояния двух одинаковых бозонов (Ч'х) или двух одинаковых фермионов (Ч',1). Обобщим полученные результаты на случай системы, состоящей из Ф невзаимодействующих тождественных частиц. Используя метод разделения переменных, запишем волновую функцию системы частиц: 1 Й1 «)2 - «««1 - ««1««)=Фа(Ч1)ФР(Ч2)- Фт(Ч«)- ФайФ) Перестановка местами каждых двух частиц системы дает новые состояния, например: 1«+2ч Й2 ««1 ««3 -'««1«) — Фа(ч2)ФР(ч1)Фт(чз)-Ф«о(««к) (6.16) 1+ 1 3 1 («13 «12 ««1 - ««У ) = «Ра (««3 ) ФР («)2 ) Фт й1 )- «Р«о (««У ) и т. д.
328 в силу неразличимости частиц также должна быть решением данной задачи. Однако решения (6.12) и (6.13) не удовлетворяют рассмотренному выше принципу симметрии или антисимметрии волновых функций. Следовательно, состояния, описываемые такими волновыми функциями, не могут реализоваться в природе. Но из них можно составить симметричную В случае системы бозе-частиц состояния, реализуемые в природе, описываются симметричной комбинацией волновых функций (6.16): К)=1 1> / 'ра (ч! ) ра (ч2) - ра (чн ) Ч, ( ) Р0(ч1) Р0(92) -' Р0(чу) А (ч1' "' чА! (6.18) Р И1) Р (72) -.
Р (Ь) Волновые функции(6.17) и (6.18) записаны в ненормированном виде, их нормировка может быть проведена стандартным способом. Принцип Паули. При отсутствии взаимодействия между частицами системы можно рассматривать не только состояние системы в целом, но и состояние отдельной частицы. Так, например, можно считать, что состояние одной частицы описывается волновой функцией 1р,„, другой — волновой функцией 1р0 и т. д. Такой подход выявляет кардинальное различие между волновыми функциями системы ферми- и бозе-частиц. Предположим, что в системе ферми-частиц две частицы нахоДатса в оДном и том же состоЯнии, т.
е. что 1Ро се1Р0. ТогДа вол"овая функция системы Ч'А(91, ..., уа!) обращается в нуль. Действительно, определитель в выражении (6.18) в этом случае имеет две одинаковые строки, а такой определитель, как известно, равен нулю. Равенство волновой функции нулю означает, что данное состояние системы физически не реализуемо, т. е. два фермиона— два электрона, два протона, два нейтрона — не могут находиться в одном и том же состоянии. 329 Суммирование в (6.17) проводится по всем возможным перестановкам частиц.
для системы, состоящей из ферми-частиц, антисимметричная волновая функция может быть представлена в виде определителя Это положение сформулировано В. Паули в 1925 г. и называется принципом, или запретом, Паули. Принцип Паули гласит: в системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. Этот принцип имеет очень важное значение для понимания особенностей поведения систем фермионов. Он сыграл большу«о роль в обосновании периодической системы злемеитов Д.И. Менделеева, а также позволил объяснить ряд закономерностей атомных и молекулярных спектров. Что же касается системы, состоящей из бозе-частиц, то принцип симметрии волновых функций не накладывает каких-либо ограничений на состояния системы.
В одном и том же состоянии может находиться любое число тождественных бозе-частиц. Задача 6.1. Докажите, что состояния системы тождественных частиц не могут описываться волновыми функциями, которые были бы симметричны при перестановке одной части частиц системы и аитисимметричны при перестановке другой части частиц.
Решение Пусть система, состоящая из Ф тождественных частиц, находится в состоянии, описываемом волновой функцией Ч'(Ч,, ..., Чя, г). ПРедположим, что волноваЯ фУивдиа системы симметрична (не меняет знак) при перестановке «-й и /-й частиц, а также /-й и 1г-й частиц, но антисиммегрична (меняет знак) при перестановке ~'-й и х-й частиц. Тогда, осуществляя последовательные перестановки « «-> /с, (+-> (, (' с-~ /с и у+-> (, получаем «(%- % - Чг- Чг- Чя г)= «(%- %- Чт- %- Чя Г)= «(%- Чь- %-. Ч«- Чя Г)= «(% - ° ЧЗ ° -' % -' 'й -' Чя ° Г)= «(% - % - Чз- 'й - Чя г). Отсюда следует, что 2Ч'(%,..., % - Ч, - % - Чя г)=О' т.
е. Ч'(Ч,, ..., Ч„, г) = О. Следовательно, такое состояние невозможно. Это означает, что состояния системы тождественных частиц могут описываться либо только симметричными волновыми функпиями, либо только антисиммегричными волновыми функциями. 330 Задача б.2. Докажите, что если в какой-либо момент времени квантовая система, состоящая нз одинаковых частиц, находится в состоянии, описываемом симметричной волновой функцией Ч'з, то она всегда будет описываться симметричной волновой функцией. решение. Запишем уравнение Шредингера , ач й — =НР дг в виде 1 Ь,Ф= — НЧй, Рй где Ь,Ч' — приращение волновой функции за время ак Пусть в момент времени г = го волновая функция Ч', описывающая состояние системы, является симметричной функцией координат частиц, т.
е, Ч' = Ч'з. Покажем, что приращение зтой функции за время й также будет симметричной функцией координат частиц. Поскольку гамильтоннан Н симметричен относительно координат частиц системы, то функция ЙЧз также является симметричной функцией координат частиц. Следовательно, и приращение Ь,Ч' будет симметричной функцией координат.
Таким образом, если волновая функция Ч', описывающая состояние системы тождественных часппЬ в некоторый момент времени является симметричной, то она остается симметричной и в любой другой момент времени. Поскольку знак юг может быль как положительным, так и отрицательным, то это означает, что симметрия волновой функции как в прошлом, так и в будущем является одной и той же. Аналогичным способом решается задача и для антисимметричной волновой функции, т. е. доказывается, что если волновая функция системы тождественных частиц в какой-либо момент времени является антисимметричной функцией координат частиц, то она будет антисимметричной и в любой другой момент времени.
Решение данной задачи показывает, что деление волновых функций на симметричные Ч' и антиснмметричные Ч'„имеет "абсолютный" характер. Это означает, что если в какой-либо момент времени установлена симметрия волновой функции системы тождественных частиц, то зта симметрия в дальнейшем остается неизменной. Перехолы нз состояний, описываемых симметричными волновыми Функциями, в состояния, описываемые антисимметричнымн волновымн функциями, и наоборот, невозможны. 331 6.2. Плотность квантовых состояний Рассмотренные в 6.1 особенности поведения частиц, связанные с неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике, проявляются и в статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц. Это приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой механике отличаются от статистических распределений, известных из классической физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
