Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Это важная отличительная особенность бозонов. Отметим, что химический потенциал р для систем бозе- частиц с постоянным числом частиц Ф может принимать только отрицательные значения, т. е. )г<0. Действительно, если бы р мог быль положительным, то при Е < р экспонента в знаменателе выражения (6.39) была бы меньше единицы ехр — <1 и соответствующие числа заполнения (и) стали бы отрицательными, что невозможно. Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т.
е. будем считать, что (и) «1. Из выражения (6.39) следует, что в-э это условие выполняется при ехр[(Е-)г)фсТ)]»1 или при (Е-)г)/(хТ)»1. Пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе выражения (6.39), получаем ( Е-р1 ( Е1 (и) = ехр~ — ) = Аехр~ — ~, (6.40) -э (, йт) (, ИТ)' где А = ехр~ — ). Отсюда следует, что при малых числах запол()г1 ~,йт)' 346 пения, нлн, квас говорят, в случае разреженного газа бозонов (бозе- а), распределение Бозе — Эйнштейна переходит в классиче„ое распределение Максвелла — Больцмана. Раз, свойства которого в силу неразличимости тождественных „стиц в квантовой механике отличаются от свойств классическо- идеального газа, называется вырожденным газом.
Поскольку распределение Бозе — Эй ейна сущ е ым обр м Отлича- тся от распределения Максвелла — Больцмана, то газ бозонов является вырожденным газом. И только в случае (н) « 1, как Б-Э показывает проведенный анализ, вырождение снимается и разреженный бозе-газ ведет себя подобно классическому газу.
На рис. 6.4 приведены графики <„> распределений Бозе — Эйнштейна и Максвелла — Больцмана Как уже отмечалось, при (Š— рт~ЯТ) >>1 эти распределения совпадают. Различие между распределениями обна- 1 руживается при (Š— р)/1/сТ) <1. Именно в этом случае будут прояв- 2 1 О 1 2 3 Е В ляться свойства бозе-газа, обусловленные квантовой природой его частиц.
Рне. 6.4. Статистические Число бозонов, находящихся на Распределенва: одном энергетическом уровне, может П вЂ” Бозе — Эйнштейна быль очень большим. Как известно, значительное скопление частиц на нижних энергетических уровнях имеет место и в классической статисппсе, однако для бозонов это скопление проявляется более ярко.
Кроме того, при определенных условиях в системе бозе-частиц может происходить бозе-конденсация — скопление очень большого числа часпщ в состоянии с энергией Е=() Именно с бозе-конденсацией связаны такие явления, как сверхтекучесть и сверхпроводимость. Распределение Бозе — Эйнштейна используется для описания свойств систем, состоящих из бозе-частиц как простых, например Фотонов, фононов, так и более сложных, составных, например 4 ~томов Не, электронов, образующих куперовские пары, и т. д. С его помощью описываются свойства теплового излучения, теп- 347 лоемкость кристаллов и многие другие физические явления. Что же касается поведения обычных газов, атомы которых являются бозонами, то анализ показывает, что при нормальных температурах и давлениях эти газы не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.
е. при тех условиях, при которых газы перестают быть идеальными. Таким образом, для этих газов статистика Бозе — Эйнштейна в той области, в которой справедлива кинетическая теория газов, практически не отличается от классической статистики Мысвелла — Больцмана. Случай переменного числа частиц. При выводе распределения Бозе — Эйнштейна (6.39) мы полагали, что число частиц системы г( остается постоянным. Найдем теперь распределение Бозе — Эйнштейна для системы с переменным числом частиц.
Примером такой системы, в частности, является тепловое излучение внутри замкнутой полости. Стенки полости непрерывно поглощают и испускают излучение, поэтому число фотонов внутри полости постоянно меняется. Фотоны являются бозе-частицами и при не очень сильных (нелазерных) интенсивностях излучения не взаимодействуют друг с другом. Так что излучение в замкнутой полости представляет собой идеальный бозе-газ фотонов с переменным числом частиц. Рассмотрим систему бозе-частиц с переменным числом часпщ М. Будем решать задачу тем же самым методом, который был использован выше. Поскольку в данном случае ~) У; =М~сопзг, то при нахождении условного экстремума энтропии Я методом множителей Лагранжа вместо функции г =~+И~+ЗгЕ следует взять функцию (б.41) Г=8+) 2Е.
Такой вид функции Г объясняется тем, что из условий, накладываемых на аргументы функции я, исчезло условие постоянства числа частиц системы. 348 1яз выражения (6.4 1 ) следует, что множитель Лагранжа Х1 —— Н силу того что химический потенциал и и множитель А „заны соотношением (4=Х1Т, получаем 1ь=О.
Таким образом, мнческий потенциал системы бозонов с переменным числом частиц равен нулю и распределение Бозе — Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид (),= ехр — — 1 (6.42) (6.43) (лф >= ехр — -1 Задача 6.3. Пользуясь распределением Бозе — Эйнштейна, получите формулу Планка для равновесного теплового излучения. Решеиме.
Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагреты до некоторой температуры Т. Как отмечалось выше, это излучение представляет собой идеальный газ фотонов. Распределение по энергиям частиц этого газа описывается выражением (6.43). Найдем энергию излучения в узком энергетическом интервале от Е до Е+ ЙЕ. Эта энергия складывается из энергий отдельных фотонов. Плотность квантовых состояний 8(Е), т.
е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов описывается выражением (6.30). умножая я(Е) иа НЕ, находим число квантовых состояний, заключенных внутри интервала ИЕ. Умножая затем это число на среднее число фотонов < аа > в данном состоянии и на энергию фотона Е, получаем суммарную энергию фотоновв интервале ИЕ, котораяравна <ла >Л(Е)ЕИЕ. Рассмотрим теперь частотный интервал, соответствующий дан- Е ному энергетическому интервалу, т. е. интервал частот от ю = — до А Запишем это распределение для случая фотонного газа. Поскольку дляфотонов Е=йгц то Е ИЕ а+ею= — + —. Получим выражение для той же самой энергии с й й помощью объемной спектральной плотности энергии излучениа и,„г. Напомним, что наг представляет собой энергию излучения в единичном частотном интервале, отнесенную к единице объема.
Энергия фотонов в частотном интервале Ыш равна ив гУсю, где У вЂ” объем полости. Приравнивая эти два выражения, получаем ив,гЫш=<ла >я(Е)ЫЕ. С учетом соотношений (6.30) и (6.43) приходим к формуле Планка 6~а 1 нет= з з Отметим, что именно с этой формулы началось становление кванто- вой механики. О Задача 6.4.
Найдите с помощью формулы Планка при Т = 300 К: а) наиболее вероятную энергию фотонов Е,; б) среднюю энергию фотонов (Е). Реизение. а. Найдем сначала функцию распределения фотонов по частотам и„. Эта функция определяет число фотонов в единичном интервале частот в единице объема. Число фотонов ол в единице объема, энергия которых лежит в интервале от Е до Е+ИЕ, равно ел= <ла >.
С учетом соотношений (6.30), (6.43), принимая также во внимание, что Е= да, получаем 2 Ни = л„с(ю = — Ев. ехр — -1 Таким образом, функция распределения фотонов по частотам тт имеет вид 350 г ехр — -1 Наиболее вероятная частота фотонов находится из условия —" = О. Дифференцируя п„по частоте, получаем уравнение ояе <йо 2-х=2е ", лю где х = —. Корнем этого уравнения является хс = 1,6.
Таким обра- йТ зом, наиболее вероятная энергия фотонов при Т = 300 К Е, = лоз, = 1,6кТ = 0,042 эВ. б. Найдем теперь среднюю энергию фотонов (Е). Пользуясь распределением фотонов по частотам я„, получаем выражение для средней частоты фотонов (ю) в равновесном излучении при температуре Т. По определению, 1~ Тг Вычислим интегралы 1~ и 1з.
'кТ лез где х= —, кТ Поскольку 31 я4 о е е" -1 15 то получаем 351 Интеграл 1э имеет следующвй ввд: о ехр — -1 АТ В силу того что " язв — = 2,405, о е' -1 получаем 1,= — ~ — ~ 2,405. 3 ' тэпли~ Таким образом, средняя частота фотонов составляет 11 1 АТ иа 1гТ (оэ) = — '= — — = 2,69 —. 1э 2,405 и 15 А Отсюда находим среднее значение энергии фотонов (Е) = (иго) = Л(оэ) = 2,69КТ. С учетом численных значений величин, входящих в это выражение, получаем (Е) =0,069 эВ.
6.4. Распределение Ферми — Дирака Перейдем к анализу статистических свойств ферми-частиц, т. е. частиц, обладающих полуцелым олином. Напомним, что ферми-частнцы подчиняются принципу Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находиться более одной частицы. Таким образом, фермионы являются частиюми-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т. е. систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов. 352 к „и в 6.3, решим сначала вспомогательную задачу: найдем озможных распределений У шаров по к, ячейкам пенала ч и условии, что в каждой ячейке не может находиться более одного шара (рис. 6 5) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
