Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Темными кружками будем отмечать шары, одящиеся в ячейках, светлыми — отсутствие шара в ячейке. Число ячеек У и число шаров Ф должны удовлетворять условию У > 21'. ° о ° о о ° ° о е ° о Рнс. 6,5. Возможное распределение ферми-частиц по ячейкам Число всевозможных перестановок черных и белых кружков по ячейкам пенала равно У!.
При этом перестановки только черных кружков в силу тождественности одинаковых частиц не приводят к новым распределениям. Число таких перестановок равно Ф!. Перестановки светлых кружков (пустых ячеек) тоже не дают новых распределений, их число равно (У вЂ” Ф)!. Таким образом, число различных распределений Ф шаров по У ячейкам в данном случае равно (6А4) Для иллюстрации полученного результата рассмотрим распределение двух шаров по четырем ячейкам (рис.б.б). Число таких распределений равно шести.
Точно такой же ответ следует из (6А4) ха= — '=6. 4! 2!2! 353 Рнс 6 б Распределение двух ферми-частиц по четырем ячейкам !2- Ю329 Поскольку фермионы, согласно принципу Паули, являются частицами-индивидуалистами, то выражение (6А4) определяет число возможных распределений д! фермионов псу ячейкам, т. е. статистический вес макросостояиия системы фермионов.
Вывод статистическою распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится подобно тому, как это было сделано выше для бозе-частиц. Рассмотрим шестимерное фазовое про. странство с координатами х, у, з, р., р, р . Разобьем его с помощью изоэнергетических поверхностей 1'(х, у, г, р, р, р,) =Е; =сонм ~(х, у, х, рх, р, р,) =Е;+, — — сопя! на тонкие энергетические слои, так, что ~Е;+! — Е;~ «Е;. Пусть в пределы )-го слоя попадает У; ячеек (каждая объемом (2кй) ) и 3 Ф; частиц. Тогда, согласно (6А4), статистический вес подсистемы из У; частиц Статистический вес всей системы равен произведению статисти- ческих весов ее отдельных подсистем: (6.45) Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно определитьмаксимум статистического веса (6.45) при условии, что полное число частиц системы М и полная энергия системы Е остаются постоянными, т. е.
~ Ж; = Ф = сопя! и ,') Ф;Е; = Е = соим. 354 < и в случае бозе-частиц, вместо максимума статистического веса еса а будем искатьмакси у эн ро Я=Ива. Су ом (6 451 для энтропии системы ферми-частиц получаем следующее выражение: Я=к,~ '(1пУ,;!-1пЖ 1-1п(Š— У )ф цоспользуемся формулой Стирлинга 1п л1 = л1п л — л, справедливойпри л»1. Поскольку 2;»1 и Ф;»1, то Я=/с,1 ~У;1пУ; — У; — Ф;1пФ;+Ф; — (У; — У;)х ! х 1п(У; -М;)+(У; — Ф;)1, 5=-1~ ~Ц1пЦ ь(г,-Ц)ы(г,-Ц) +С', (6.46) ! где С'=й,'1 У;1п2;. Слагаемое С' в (6.46) можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремум энтропии Я варьироваться будут только числа частиц в слое Ф;, а С' от них не зависит. Для отыскания максимума энтропии (6.46) воспользуемся, как и в 6.3, методом множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию Е = 5+ Х~Ф+ Х2Е = = — 1!~~ ~~Ч,.1пц ь(У,, -Ф,)1п(2; -Ж;)~+Хч ~~~ М;+1 2 ~ г!!Е!' где Х~ и Х2 — множители Лагранжа. Приравнивая нулю част- ные производные этой функции по Ж;, получаем дЕ ~ 1 1 — = — 1г 1п1!1;+Ц вЂ” -1п(К-Ц) — Я-1!1;) +Х,+ ! + ~2Е! 1!1п +~~+1~гЕ~ =О 2; — М; 355 Отсюда следует, что У;-Ф; Х2Е;+)ч У й или (л;) = ХзЕ;+Х~ (6.47) Множители Лагранжа Х~ и Хз находятся точно так же, как и в случае бозе-частиц. Используя тот же самый метод, что и в 6.3, определяем 1 Аг = —. Т Записывая Х~ ввиде Х~ —— —, где )г — химический потенциал, Р Т иподставляя Х~ и ХЗ в 16.47), получаем (пД = ехр ' +1 Освобождаясь от индекса 1, приходим к окончательному выраже- нию 356 Ф; Отношение — ' представляет собой среднее число ферми- У.
частиц (л;), приходящихся на одну ячейку, т. е. на одно квантовое состояние. Наиболее вероятным значением (и;), как следует из решения задачи на экстремум, является (6.48) Соотношение (6.48) называегся распределением Ферми — Дирака. Оно определяет среднее число ферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е при температуре Т. Обсудим следствия, вытекающие из распределения Ферми— дирака.
Прежде всего отметим, что (и) не может быть больше единицы, поскольку числитель выражения (6.48) равен единице, а в знаменателе к единице прибавляется положительная величина— экспонента. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку (и) < 1, то говорят, что распределение (6.48) определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Е при температуре Т. Химический потенциал р для ферми-частиц может быть только положительным, т. е.
и > О. Иначе при Т -> О экспонента в знаменателе в (6.48) обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения стали бы равными нулю, чего, естественно, быль не может. Напомним, что для бозе-частиц химический потенциал )з не- положителен. Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т. е. будем считать, что (Е-р \ Š— р Это условие выполняется при ехр~ — ~ »1 нли — »1. (,)Т! 1сТ Пренебрегая единицей в знаменателе выражения (6.48), получаем 357 где А=ехр~ — у.
Таким образом, мы приходим к заключению, ( (г') '(йт1' На рис. 6.7 приведены графики распределений Ферми — Дирака и Максвелла — Больцмана. При Š— р — >>1 эти распределения, как йТ уже отмечалось, совпадают. Кардинальное различие между ними на- Š— Р блюдается при — <1. Класси)сТ 2 л — р ~т -З -2 -1 О ческие частицы могут накапливатьРис.
6.7. Статистические расея в одном и том же состоянии в 1 — максвелла — лольлмвлв; большом количестве. Для них (и) и — Ферми — дирвкв тем больше, чем меньше их энергия Е. Что же касается фермичастип. то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули. Химический потенциал )г, который, как уже отмечалось, имеет размерность энергии, в случае ферми-частиц называют энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают ЕР. При этом распределение Ферми — Дирака (6.48) принимает вид 1 ~ ~~-л [к-к ) (6.49) 358 что распределение Ферми — Дирака при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного ферми-газа, перехо дит в классическое распределение Максвелла — Больцмана. В 6.3 было показано, что в это же распределение в случае малых чисел заполнения переходит и распределение Бозе — Эйнштейна.
Следовательно, можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Подчеркнем, что, хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остается неизменной. (л) =1 при Е < ЕР (0) (а) = 0 при Е > ЕР (0). Это означает, что все квантовые состояния с энергиями Е< <Е~10) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями Е > Е~ (0) — свободными.
Таким образом, при Т = 0 энергия Ферми ЕР (0) является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы. График зависимости (п) от Е при Т =0 приведен на Т вЂ” 0 рис. 6.8. Распределение Ферми— Дирака в этом случае представ- 0,5 лает собой ступенчатую функцию единичной высоты обрывающуюся при Е = ЕР (0) . Еу(0) Е Вид зависимости (и) от ' 'Ф-Д Рнс.
6.8. Распределение энергии частиц Е при температу- Ферми — дирака прн Т= 0 (я) 1,0 359 Именно это выражение мы и будем использовать в дальнейшем изложении. ку для фермнонов )1>0 Е Удег показано, ется медленно меняющеися функциеи температуры Т. Вид этой функции для электронного газа в металле рассмотрен в 6.5. Чтобы выявить физический смысл энергии Ферми, проанализируем зависимость распределения Ферми — Дирака от энергии Е. Иачнем анализ со случая Т = О. Конечно, утверждение о том, что абсолютный нуль температур не достижим, остается в силе.
Говоря о Т = О, будем считать, что температура Т может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т. е. Т -+ О. Обозначим через ЕР(0) значение энергии Ферми при Т= О. Из видараспределения 16.49) следует, что в случае Т =0 (н) «Т рах, отличных от нуля, приведен Те о на рис. 6.9. 1 1 В этом случае резкий скачок 0,5 (л) от единицы до нуля (Ф-Д 1 становится более размытым и о Е до) Е происходит в области энергий, ширина которой порядка «Т. Рис. 6.9.
Распределение ФеРми — Чем выше температура, тем шиДнрака прн Т е О ре область, в которой (л), меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состояний к незаполненным. Отметим, что, как следует из 16.49), при любой температуре значение (л), 1 при Е=Е~ равно —. 2 Наряду с энергией Ферми ЕР при анализе поведения ферми- частиц вводятся также импульс Ферми рн и скорость Ферми 1,0 пн, определяемые соотношениями 12Е„- ру =,~2щЕ~ и с~ = -о 16.50) При Т = 0 это максимальные импульс и скорость, которыми мо- жет обладать ферми-частица. б.б.
Электронный газ в металлах 360 Применим статистику Ферми — Дирака к описанию поведения электронов проводимости в металлах. Будем пользоваться моделью свободных электронов, согласно которой часть атомных электронов может свободно перемещаться внутри проводника. Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними 1валентные) электроны. Отщепленные электроны становятся общими для всех атомов и могут свободно перемещаться в кристалле. Именно эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводность металлов.
Поэтому их называют электронами проводимости. Следует отметить, что электроны проводимости в металлах, еще говоря, не являются абсолютно свободными и испытывают занмодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллической щетки. Однако в первом приближении этим взаимодействием „,ожно пренебречь.
Справедливость такого подхода подтверясдает- я, в частности, высокой проводимостью металлов, что может иметь место только в случае достаточно свободного движения электронов внутри проводника. Таким образом, мы будем рассматривать идеальный газ свободных электронов, для которых металлический образец является потенциальной ямой (см. 4.4). Проанализируем поведение электронного газа при Т =О. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно принципу Паули, в каждом состоянии может находиться не более одного электрона, ~ й но так как электроны могут различаться проекцией спина ~й — ~, 2,~ то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией сливов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
