Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика (1023618), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Только такие электроны могут покидать металл и давать вклад в термозлектронный ток. Вообще говоря, выход электронов из металла при термоэлек~ронной эмиссии несколько нарушает равновесное распределение Е=(Р, +р +р, ~((гто), получаем (Р! + Р,'+ Р,') г кт г (е„~ сЬ = ехр~ — ~ехр (г.л) ~ит «РАу«Рг Найдем теперь концентрацию электронов Ып, у которых проекция импульса на ось е заключена между р, и р, +Нр,. Для этого проинтегрируем сй по р и р в пределах от — до +со: (Р! + Р,'+ Р,') г ,кт 2 ~ЕР~ йп = ) др, ) Нр ехр~ ~ )ехр ' (гкй)' ИнтегРиРование по Рх Дает р(- "* )ар,=~г „~т ~. р(- ~* )н( =,~2т~МТ ( ехр(-и )аи = ~2т~МТ, поскольку интеграл 1 = ~ ехр( — и ) пи = ~/н. Аналогичный результат получаем при интегрировании по р .
Таким образом, при- 384 электронов по импульсам, однако здесь мы это обстоятельство учитывать не будем, полагая, что из металла выходит очень малая часть всех свободных электронов. Для выполнения этого условия, согласно (6.67), необходимо, чтобы Š— ЕР >>Кт, т. е. 4 >> И. При этом единицей в знаменателе в (6.67) по сравнению с экспонеитой можно пренебречь. С учетом того, что энергия электронов ходим к следующему выРажению для Нп,: ~'/Р о)-~~ ИТ ~1л, = гоа11~Т ехр 1)3 Выделим на плоской поверхности металла площадку единичной площади (рис.
6.18) и найдем число электронов, которое проходит через нее в единицу времени в направлении оси г, перпендикулярной поверхности металла. Для электронов, проекции импульсов которых на ось 2 лежат в интервале (р„р, +Йр,), это число равно Рвс. 6.18. К расчету плопюстн тока термоэлектронной эмис- сии где и,— проекция скорости электронов на ось г. Для полного числа электронов Ж, получаем Здесь при интегрировании учитываются только те электроны, ки- нетическая энергия которых достаточна для того, чтобы выйти из 2 металла, т. е. для которых — ~- > Е~ + А,.
Таким образом, г, 1 ф 11~~ = — — зш~ЬИТ Р, ехр о (гкй) р,/(г,)-е, КТ Н вЂ” ЬЗЗзз 385 Введем теперь новую переменную интегрирования р '/(2,)-К„. йТ А/ = О (/сТ) ~ ехр( — Г~)дс = О (/сТ) ехр~- — '~1. (2ил) я уг) (2иЬ) ~ /сТ/ Умножая А/, на заряд электрона е, получаем выражение для плотности термоэлектронного тока насыщения /' = АТ ехр — ), ( А,') ~ /Т)' (6.68) 386 где А =4иетф /(2ил) — константа, численное значение котог/ 3 г г рой составляет 1,20 10 А/(м К ).
Важно отметить, что значение константы А, полученное в теории, не зависит от работы выхода и одинаково для всех металлов, что связано с использованием в расчетах модели идеального газа свободных электронов. Выражение (6.68) получило название формулы Ричардсона— Дэшмана. Зависимость плотности тока насьпцения термоэлектронной эмиссии от температуры катода впервые установил О. Ричардсон, используя для электронного газа в металле классическую статистику, а С. Дэшман, исходя из квантовых представлений, получил формулу (6.68) и показал, что константа А является универсальной величиной.
Согласно выражению (6.68), плотность термоэлектронного тока насыщения /, очень сильно (экспоненциально) зависит от работы выхода А, и температуры металла Т. Так, повышение температуры вольфрамового катода от Т, =1000 К до Тг —— 2500 К увеличивает плотность тока эмиссии практически от нуля до г 3000 А/м „а покрытие поверхности вольфрама мономолекулярным слоем оксида торна ТпОг, уменьшающее работу выхода, дает возможность при температуре 1900 К получать плотность тока термог электронной эмиссии /, =10 000 А/м .
Поэтому в настоящее время ~ды нз чистых металлов практически не используются. При из- гонлении электронных ламп проводится специальная обработка г тодов, позволяющая существенно снизить работу выхода. Отметим, что при выводе формулы Ричардсона — Дэшмана (6.68) не было учтено следующее обстоятельство. Не все электроны, энергия которых превышает высоту потенциального порога на границе металл — вакуум Ер + Аа, смогут выйти из металла. В соответствии с законами квантовой механики часть из них испьпает надбарьерное отражение (см. 4.3).
Это отражение можно учесть, введя усредненный по энергиям электронов коэффициент отражения и и умножая правую часть выражения (6.68) на множитель (1- Л). Эффект Шоттки. Выясним, какие силы действуют на вылетевший из металла термоэлектрон и как они зависят от расстояния х от электрона до поверхности металла.
Будем считать, что это расстояние значительно превышает период решетки, а также предполагать, что поверхность металла является плоской и непрерывной (рис. 6.19, а). — е +е акуум, в уум Рнс. 6.19. Силовые линии электрического поля, действующего иа электрон вблизи поверхности металла: а — поле системы злсктрон — металл; б — нолс, созлавасмос злскгроном и его зеркальным изображением Воспользуемся известным в электростатике методом зеркальных изображений. Согласно этому методу, сила зеркального изо- бражениЯ Риз, котоРаЯ действУет на электРон со стоРоны пРоводящей поверхности, отстоящей от него на расстояние х, будет ~акой же, как между зарядами — е и +е, расположенными на Расстоянии 2х друг от друга (рис.
6.19, б): 387 из е2 е2 Е 4лео (2х)2 16леохг Потенциальная энергия электрона в таком силовом поле г У (6.69) 16леох Приложим теперь к поверхности металла внешнее электрическое поле, вектор напряженности которого 6 направлен перпендикулярно поверхности металла так, чтобы способствовать выходу электронов из металла.
В этом случае на электрон со стороны поля действует сила Гэл = — е6, а его потенциальную энергию в электрическом поле можно представить в виде Оэл =По-ебх. Таким образом, суммарную потенциальную энергию электрона, находящегося вблизи поверхности металла, помещенного в электрическое поле, можно представить как 2 + У,л = Уо — ебх. (6.70) 16леох Качественный вид зависимостей потенциальных энергий, описываемых выражениями 16.69) и (6.70), отрасстояния х приведен на рис.
6.20 а, б. Рис. 6.20. Потенциальная энергия электрона вблизи металла: а — без внешнего электрического поля; б — во внешнем электри- ческом поле Е 388 Проведенный анализ показывает, что во внешнем электрическом поле работа выхода электрона из металла уменьшается на величину ЬАв (см. рис. 6.20, б).
Это уменьшение приводит к тому что большее число электронов преодолевает потенциальный барьер на границе металл — вакуум, что, в свою очередь, ведет к увеличению силы тока электронной эмиссии. Возрастание тока термоэлектронной эмиссии во внешнем электрическом поле получило название эффекта Шоттки по имени немецкого физика В. Шоттки, открывшего зто явление. для вычисления ЛА, найдем сначала положение хо максимума потенциальной энергии (6.70). Из уравнения ей//Ых= О полу- 2 2 — ео= О, 16квохо откуда следует, что 1бяеоВ Поскольку уменьшение работы выхода ЛА, равно значению 1/ в максимуме (см. рис. 6.20, б), то подставляя хо в (6.70), найдем: 3/2В1/2 АА,=(/,-(/(,)= ' (4кво)/ С учетом эффекта Шоттки выражение для плотности тока термозлектронной эмиссии (6.68) примет вид /х =АТ ехр— ЕТ (6.71) 3/2В1/2 =АТ ехр ехр— (4яяо)/ /гТ Полученный результат свидетельствует о возрастании термоэлек- тронного тока во внешнем электрическом поле.
389 Из соотношения (6.71) следует, что при постоянной темпера туре металла 1п 7', - В(~ . Экспериментальные исследования этой (~г зависимости находятся в хорошем согласии с результатами теоретического рассмотрения и, кроме того, позволяют найти внутрен ний потенциал щ и экспериментальное значение константы А в выражении (6.68) для различных металлов. Холодная эмиссии электронов из металла. Внешнее электрическое поле, приложенное к металлу, может не только уменьшать работу выхода электрона из металла, но н, уменьшая толщину потенциального барьера вблизи поверхности металла, способствовать испусканию электронов металлом за счет туннельного эффекта (см. 4.3).
Это явление, получившее название холодной (автоэлектронной, или полевой) эмиссии, впервые наблюдалось Р.У. Вудом в 1897 г. Пусть вблизи поверхности металла имеется электрическое поле напряженностью В, способствующее выходу электронов из металла. Потенциальная энергия электрона в таком поле описывается выражением (6.70), а потенциальный барьер на границе металл — вакуум имеет вид, представленный на рис. 6.20, б.
Туннелирование электронов через такой барьер и обьясняет явление холодной эмиссии — выход электронов из металла при низких температурах. В рамках классической физики явление холодной эмиссии не находит объяснения. Действительно, поскольку электрическое поле в металл не проникает, то оно может изменить потенциальную энергию электронов лишь вне металла. А это приводит к возникновению потенциального барьера, преодолеть который, согласно представлениям классической физики, электрон не может.
В квантовой механике вероятность туннелирования электрона из металла определяется коэффициентом прохождения 17 через потенциальный барьер (6.70) Отметим, что вклад в потенциальную энергию электрона, связанный с силой зеркального изображения (6.69), не оказывает существенного влияния на коэффициент прохождения В, но заметно усложняет вычисления. Поэтому при анализе холодной эмиссии 390 мы этот вклад учитывать не будем, считая, что потенциальная энергия электронов, отсчитываемая от дна потенциальной ямы в металле, описывается выраже- нием 17(х)=1/о-ебх= =Ел+ ~-ебх, (6.72) О хо х Рис. 6.21.
Туннелирование электронов из металла прн холодной эмиссии т. е. будем рассматривать туннелирование электронов через треугольный потенциальный барьер (рис. 6.21). Коэффициент прозрачности такого барьера 2 1) = ехр — ) 2то (ЕР + А, — ес.х — Е) пх, Ьо где верхний предел интегрирования хо определяется из условия У(хо) = Е. Интегрируя, получаем 4,/2т~ (Ел+А — Е) Зей В Р(Е) = ехр Введем обозначение Во= ~ (А +Ел-Е) Зев О=ехр — о . 391 где величина Во имеет смысл напряженности эффективного элек- трического поля. Тогда коэффициент прохождения электронов че- рез барьер принимает вид Отметим, что туннелировать через потенциальный барьер будут в основном электроны, энергия которых близка к энергии Ферми Е~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
