iomeldar (1021896), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Р е ш е н н е. Справедливость этих соотношений следует из уравнений узловых потенциалов для топ) 'Р чек 2, 3 и 1(рнс.5.18, а), имею. 2 1 з т Фзбзз — фзйзз =1з1 Г ыр 0аат" зузйззл фз (йз+йз) фзйзз= з= з Э, за а = — уо Если из последнего уравнения выразить потенциал фз н Чзз0 подставить его в первые два 0 уравнения, то после неболь. ших преобразований получа. 2 3 Ра ются уравнения: 1 гы "в 1з р') г +г 1х зз + зз гзз 1 ((а зуе Ът 31 згазфа гы+гзз 1 (фз ф ) г, +г (),=0 гы = 1з '(з =1з (з ' г„+го Рис.
5.18 Этим уравнениям удовлетворяет схема без узловой точки 1 с токами уз и Уз в точках 2 и 3 (рис. 5.18, б). Совершенно ясно, что выражения для токов Хз и Уз легко получить непосредственно на формулы(5.2). б) Многократным применением укаэанного прааила можно получить фор- о) Рис. 5.10 мулы для замены задающих токов, имеющихся в различных точках ветви л — Ь (рис. 5,19, а), двумя токами Х н уь на ее концах (рис. 5.19,6): а а 1жч 1 с'~ Ла ~ 1зГИ Н '1Ь= Д з Гас гав гаа газ 1=з 119 таким аорааом можно получить схему, содержащую задающие токи и других узлах. В случае сопротивлений, соединенных по схеме трехлучевой пассивной звезды (рнс.
5.20, а), формулы для определения Рис. о.уО сопротивлений при преобразовании в эквивалентный треугольник (рис. 5.20, б) имеют следующий вид: г„=г,+г,+ —; г„=г,+г,+— г~ га гз гз га г1 г =г гг+ —. и ь Если г,=г,=г,=г, то г„=г„=-г„=Зг. Следует отметить что положительные направления для токов н напряжений на рис. 5.20 будут использованы в дальнейшем при преобразовании сопротивлений, соединенных по схеме треугольника, в схему звезды.
й 5.6. Преобразование схем с уменьшением числа контуров Если каждой схеме замещения всегда соответствует некоторая система уравнений определенной формы записи, то любую систему уравнений нельзя представить соответствующей ей схемой замещения при обычном изображении ее элементов, так как в соответствии с предыдущим система уравнений для любой схемы замещения электрической цепи должна удовлетворять определенным условиям. В частности, по уравнениям контурных токов, записанным в канонической форме, нельзя в общем случае непосредственно составить схему замещения с электрическими соединениями ветвей, поскольку не всякая система контурных уравнений даже с симметрично расположенными коэффициентами (относительно главной диагонали) соответствует схеме замещения, составленной из известных элементов.
Однако 171 зто затруднение в известной мере устраняется, если ввести дополнительиое условное обозначение. Можно, например, каждый из контуров изображать отдельно, приняв его сопротивление Гт = Г», а З.Д.С. Ею = Еа. ЕСЛИ Зтн КОНТУРЫ ИЗОбРаантЬ На РИСУНКЕ, )зис. Б то необходимо только дополнительно показать между ними общие сопротивления г; =г; (рис. 5.21), аналогично тому, как изображается взаимная индуктивность между обмотками. Пример 5.8. Преобразовать схему, приведенную на рос, Б.22, путем устранения контура с током 1,.
1'ис. ог.22 Решен не. Контурные уравнения для данной схемы имеют следующий вид: (г, + г, + г, + г,) 1, — г,1, — г,1, — г,1, = 0; — г,)з+(г,+г,+г„)1,— г,1,+О=с,; — г,1, — г,1, + (г, + г, + г, + г,) 1, — г,1, =- 0; гв)в+О га1в+ (та+ з в+ гв) 1а еа Соответствующая схема замещения условно показана на рис. 5.23.
Для устранения из схемы первого контура необходимо умножить первое уравнение поочередно на коэффициенты Ь = )зв— и гз+гв+ге+та 'в+ге+аз ггз гз+гв+гв+гз 172 н сложить почленно соответственно со вторым, третьим и четвертым уравнениями: (ге+ те+ ге Пете) 77 (Ге + теде) 77 гель(В=ее* — (Гь+гьйь)77+(ге+Ге+те+Ге Гейь)71 (гь+геье)71=07 Г„Г, ГЬВГВВГВ Гжа ГВЬГВ т; ГВЭ.ГВГГВВГВВГВ ГВГ Гььтечте Рис.
5.23 Эти уравнения имеют симметрично расположенные коэффициенты относительно главкой диагонали. Общие сопротивления оставшихся контуров возрастают на величины: ГЬГЬ Г,т, Г,ть гы = Гьь = ГЬЬ— Г7+Гь+Ге+Ге 71+Ге+Гь+Гь 71+Ге+Ге+Ге Собственные сопротивления второго, третьего и четвертого контуров, наоборот, уменьшаются соответственно иа величины: й,г„бег, и й,г,. Здесь схема эамещения получается упрощенной (рйс. б,24). Однако в данном случае (при трех контурах] можно составить электрическую г„'*гтт-йг(7 гэа гю-лага Г)р7 где.)га~Ъ Рис.
6.24 эквивалентную схему обычного вида, в которой каждая пара контуров имеет общее сопротивление, а собственные сопротивления контуров отли* Ь чаются от сопротивлений тьм гм и г„соответственно на величины г„т и г;, последние в преобразованной схеме, изображенной на рис. 5.2б, определяются по формулам. Гь+ ге+ 71 71 = ГЬ '7+'ь+'В+71 Ге+ее+ге . ' Ге+Ге т гь г =г, ' 'В=ге Ге +ГВ+ Ге+ Г! 77+ Ге+ Ге+ ГЬ Для определения контурного тока 11 при обратном преобразовании следует воспользоваться формулой 1, + г.Г, + г,(в 1 11+ гв+ гв+11 Таким обрззом, по уравнениям контурных токов не всегда можно составить обычного вида схему замещения, так как при числе контуров больше трех такая схема не имеет общих сопротивлений для любой пары ва 11'а контуров.
Поэтоыу в общем случае прегу'гвв 1 з образование ведетсн с помощью схем условного вида с отдельными контура. б+ зв ми, связанными общими сопротивлениями. Исключение неизвестного контурвч ного тока, например, тока первого контура, соответствует устранению этого контура со всеми его связями.
Зто г, г,' должно сопровождаться изменением собственных сопротивлений каждого из осРис. б.гб тающихся в схеме коитуровв, имеющих связь с первым контуром, на величаво гн гп ну г = — —, а также изменением его э.д.с. на величину Е~ — — — Е,— 11 11 гн и общих сопротивлений для остающихся связанных контуров на величину г .= — "" . При обратном преобразовании ток в исключаемом копи туре определяется непосредственно нз исключенного уран- и) б) пения.
В частном случае, когда схема состоит нз двух конту- 11 12 11 ров с одним источником и двумя параллельными ветвями е га (рис. б.ао, а), исключение контура с током (в приводит к одному контуру с током (1(рис. 5.2б, б), что равносильно заме. не двух параллельных ветвей одной эквивалентной ветвью с Рис. 5,26 г, гв сопротивлением г„ =— 1,+Г, ' Если схема состоит из трех контуров с тремя сопротивлениями ггю г„и гяы соединенными в треугольник, н с тремя контурнйми токами г'„г', и г', (рис. 5.20, б), то исключение нз системы контурных уравнений тока (, приводит к соединению сопротивлений г„г, и г, в виде эквивалентной звезды (рис. 5.20, а). Действительно, для схемы, изображенной на рис.
5.20,6, можно написать следуюшне уравнения: Определив ток 1, пз последнего уравнения и подставив его выражение в два первые, после небольших преобразований ба 1т4 получаем следующие равенства: Г|1 212 (/ / ) + 231 222 / (/ г„+ ты+ г„| ' г„-)- гм -1- гм 12231 (/ / )+ 212223 / Ц г!1+2|2+!|| г|1 ! гм+22| Этим уравнениям полностью удовлетворяет схема без контурного тока /, с сопротивлениями 1 гы г!2+!|| 2|2+ты ггм г|3+! 3+22 соединенными звездой (рнс. 5.20, а).
Таким образом, данное преобразование является обратным по отношению к замене звезды треугольником, что нетрудно установить и в более общем случае. Поскольку преобразования схем путем уменьшения числа контуров. равно как н преобразования схем путем уменьшения числа узлов, соответствуют обычному порядку решения систем линейных уравнений, то каждый из описанных методов расчета является достаточным для определения-рабочего режима любой схемы замещения. Уместно заметить, что выбор наиболее рационального метода расчета практически достигается только на основе опыта. Во многих случаях выбор наиболее целесообразного метода расчета может способствовать значительному сокращению времени, затрачиваемому на его выполнение.
й 5.7. Дуальность электрических цепей Если сравнить порядок решения системы уравнений узловых потенциалов для любой плоской схемы* с порядком решения системы уравнений контурных токов, то обнаружится много общего. В частности, это видно при сравнении операций по преобразованию схем замещения путем уменьшения числа узлов и контуров. Все математические выражения получаются сходными по форме записи; при этом проводимостям, применяемым в формулах узловых напряжений, соответствуют сопротивления в уравнениях контурных токов. Это сходство можно представить в более общем инде и использовать, например, для замены схем замещения, что может оказаться целесообразным при решении некоторых задач, связанных с расчетом режимов сложных электрических цепей. В частности, возможности такой замены могут быть применены при расчете схем замещения, в которых имеются (получен»ые, например, в прецессе преобразований с уменьшением числа контуров) взаимные связи между контурами, элеитрически не имеющими общвх сопротивчений, т е, не связанными непосредственно.
()усть разветвленная электрическая схема произвольной конфигурации имеет в своем составе (у — 1) независимых узлов н й независимых контуров 1„„.. ~илько с непересекающимися элементами, соединяющими узлы, 1ть и пусть положительные направления контурных токов выбраны так, что' падения напряжений в общих ветвях входят е контурные уравнения с отрицательными знаками '. Если при этих условиях сравнить уравнения контурных токов для любого 1-го контура заданной сложной схемы ь а ь 1/ ~Ч~~ г// — ~1/г;/ —— е;+ ~~~ Х//г;/ / з /чц /=~ /Ф/ (где ~г// — собственное сопротивлением-го контура) с уравнениями узло/=з вых потенциалов для любого /.го узла схемы з У э гр; Я й// — ~Ч1', ф/ я// — — з/+ ~»,' е//й// /= ° l= / 1 /Ф/ /эз/ /Ф/ а (гле ~й// — сумма приводимостей всех ветвей, присоединенных к 1-ому ! =г з м/ узлу), то легко установить полное сходство в их записи, при этом можно примять (у — !)=й.
Таким образом, например, если имеется кекоторая электрическая схема, для которой составлены контурные уравнения, то имеется и другая электрическая схема, узловые уравнения которой идентичны контурным уравнениям первой схемы. Контурные токи для первой схемы идентичны потенциалам соответствующих узлов второй схемы; сопротивления, общие для смежных контуров первой схемы, идентичкы проводимостям ветвей, включенных между соответствующими узлами второй; суммарные (несбалансированные) э.д.с. в контурах первой схемы идентичны задающим токам в соответствующих узлах второй; токи в ветвях с сопротивлениями частей контуров, обусловленные задающими токами первок схемы, идентичны э.д.с.
в соответствующих ветвях второй схемы. Иначе говоря, справедливы следующие соответствия: 1/+.ьфг, г//еэп//; е/4-эУ/; У//ч-ее//, Поскольку, как эта следует из предыдущего, возможности составления узловой схемы (по узловым уравнениям) являются несколько большими, чем контуряой (по контурным уравнениям), то для упрощения решения можно воспользоваться указанной заменой н произвести расчет для узловой схемы, а затем полученное решение представить через параметры режима (токн, напряжении] контурной схемы. Пример 5.9. Составить схем», дуальную по отношению к схеме, показанной на рис, 4.22, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
