iomeldar (1021896), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Возможность такой замены уже была неоднократно показана ранее. Так, например, ряд последовательно соединенных сопротивлений получается эквивалентным (с точки зрения электрического состояния остальной части схемы) одному сопротивлению, по величине равному их сумме. Действие нескольких последовательно включенных источников э. д. с. получалось таким же, как действие одного источника с э. д. с. суммарной величины. Аналогичные замены возможны и в случае параллельного соединения ветвей. Для иллюстрации этого положения ниже определены э. д. с. и внутреннее сопротивление эквивалентного источника э. д. с., которым можно заменить п параллельно включенных источников э. д.
с. с известными э. д. с. н сопротивлениями ветвей, Допустим, что из электрической схемы произвольного вида выделена ее часть, состоящая из п параллельно соединенных ветвей, а остальная часть схемы не рассматривается и условно изображена на рис. 5.12, а прямоугольником. Для заданной схемы )=(,+т,+... +)в+...
+Г„= =е д,— ед,+... +езда+... +ед„— У (д, +и+... +да-)-... +д). Для замены п параллельных ветвей (рис. 5,12, а) одной эквивалентной (рис. 5.12, б) необходимо, чтобы ток 1 и напряжения У в эквивалентной схеме были таким же, как в заданной. В схеме, изображенной на рис. 5 12, б, г=(е — 0)й. Так как условия эквивалентности должны быть выполнены при любых токе ! и напряжении К то после приравнивания правых 164 частей этих выражений и разбивки этого уравнения на два получается: и(а+а.+" +аз+" +а„)=Уй, й+" + йз+" + откуда — а А+".+Из+...
+а„=,, И„ еза» пй — ежами+ .. +езлз-~-е„д„ е — ' а1+К2+'''+Ии+ '''+ал ~ Яз ь=з При вычислении эквивалентной э. д, с. с положительным знаком берутся те э. д. с. еы которь'.е направлены к тому же узлу 12), Рис з.! ~ что и эквивалентная э. д. с. е, и с отрицательным знаком — э. д. с., направленные к другому узлу П). Если какая-либо ветвь с некоторой проводимостью не содержит э. д. с., то в числителе формулы для эквивалентной э. д. с. отсутствует соответствующее слагаемое, а в знаменатель проводимость этой ветви входит.
Преобразованием схем можно рассчитать электрическую цепь, не записывая сразу всей системы уравнений состояния, а выполняя операции по частям. Это особенно целесообразно в тех случаях, когда требуется определить токи и напряжения не во всех ветвях заданной цепи. Порядок расчета следующий. Путем ряда преобразований исследуемая схема постепенно упрощается, т.
е. по частям заменяется более простыни схемами и в конце концов приводится, например, к схеме в виде одного контура. Режим работы одного контура находится непосредственно. Затем, путем обратных преобразований, определяется электрическое состояние последовательно каждой из предыдущих, более сложных схем и, наконец, если это требуется,— исходной схемы.
Этот метод во многих практических случаях оказывается менее громоздким, так как для каждого этапа расчета требуется сосредоточить внимание только на небольшом участке цепи; кроме того, этот метод связан с непрерывной иллюстрацией производимых алгебраических операций с помощью упрощенных эквивалентных схем. Однако изложенные выше способы преобразования для решения общей задачи недостаточны, й 5.5.
Преобразование схем с уменьшением числа узлов Если решать систему узловых уравнений для сложной схемы с числом узлов больше двух путем исключения неизвестных, то на каждом этапе решения новая система уравнений с меньшим числом неизвестных будет соответствовать новой эквивалентной схеме с меньшим числом узлов.
Для иллюстрации этого положения целесообразно рассмотреть, например, преобразование мостовой схемы, изображенной на рис. 5.13, путем исключения одного узла. Риа. 5.!Л Рис. 5 И Узловые уравнения для заданной схемы имеют следующий вид: р, (а, +а.+а.) — р.а,— р.а.— р.а,= б; — р,а, -ь р. (а, +а.-'а) — р.а — р,й. =еа' — <р,д, — <р,« -,'- <р, (и, -<- «, + <<) — р, в< = — ед; — <ря, — <рЫ< — <р<Ы, т- <р, (й< т я< + й<) = (). Исключение первого узла из схемы соответствует исключению потенциала <р, из системы узловых уравнений.
Для этого первое уравнение следует умножить поочередно на коэффициенты )<,= е',; й,= е'; )<,= а<+К< +а< ' а<+а<+ Е< а<+а<+ К< а затем почленно сложить со вторым, третьим и четвертым уравнениями. В результате получается следующая система уравненйй: <р, (д, + д, + д — й',)<,) — <р, (и+ и,)<,) — <р, (д, + д,1<,) = ед; — р, (д+аА)+р, (а. +а,-(-а — а.й<,) — р.
(а+ И.й.) = — еа: — ~р, (й, + й«1<,) — р, (й, +й,)<,) — <р. (о;+д, +д, д,)<,) = О. 1ба Важно отметить, что коэффициенты полученных уравнений располагаются симметрично относительно главной диагонали. Это означает, что можно составить эквивалентную схему, соответствующую данной системе уравнений, Поскольку каждый коэффициент Йьу при ( Ф! определяет проводимость связи между узлами ! и 7', то нетрудно установить, что параллельно существующим ветвям между оставшимися узлами появляются новые ветви (рис. 5.(6) с проводимостями: К!аз .
йзйь И К Лз Йзз ь+» 1 К 1 Ыы 6+в +р Йзь 3тоыу соответствуют и коэффициенты диагональных элементов: к! к!аз ! И!аз Й! Йз, .~ 6 Ч р а +а +6+6+а р Йвв Изв( Кз йьйь ! Юзй! Й К,+а.+а, 6,+а.+6, ' а,+а.+6, Й" +Й*' Ыз аьА'! + йьа 3 Ыь Йьй 1 р +э а +а 1 К +й +а 1 р Язв+И!в' После выполнения данного преобразования схема оказывается более простой. Существенно заметить, что при почленном умножении уравнения для узла ( на коэффициент гь, получается р,Й,+р. (и,.+а.— и,) — рЛ,.— Ф.а..=(), откуда (Ф,— Ф ) Й = ( р, — р.) а., + (р.— г,) Й,* т. е.
ток в ветви ! — 2 трехлучевой звезды равен сумме токов в ветвях с эквивалентными проводимостями д„ и д„. Поэтому обратное преобразование, т. е. определение токов в предыдущей, не преобразованной схеме производится без сложных дополнительных вычислений. Такое положение справедливо и для других уравнений. Пример 5.6, На рис. 5,15 изображена электрическая схема с девятью ветвями. Путем устранения узлов 4 и 0 требуетсн получить эквиваленткузо схему в виде последовательно-параллельного соединения активных и пассивных элементов. Р ею е и и е. Пользуясь формулами, полученными при преобразовании схемы, изображенной на рис.
5.!3, легко определить сопротивления эквивалентного треугольника (рис. 5.16), который может заменить сопротивления, соединекные в звезду, 1 1 и ьв= ' ы ям Юьь Льа Формулы преобразования сопротивления г„г, и гм соединенных в звезду с э. д. с. е„е, и е, в эквивалентный треугольник, получаются в результате преобразования уравнений электрического состояния. В дан!ген случае 7,=(ьР— ьР,.(-е,) 65 1ь=(язр — ьР -(-е,) 6,; (ь=(ьур — зР,-(-е,) и„ !67 а уравнение Кирхгофа для узла О 1, +1а+1а=ц, которое после замены в нем токов приобретает вид вр,(й, +й,+ йа) — (зрв — е,) йз — (вр,— е,) йа — (эра — е) йа=0, откуда (фв — Ев) йв + (фз — Ва) йа + (фз — Вз) йэ йв+ йв+ й'з Рис. б.)б Рис.
с.16 Если из выражений для токов 1и 1, и 1, исключить потенциал эра (заменить вр по получекной формуле), то йосле некоторых преобразованйй 1в=(фз фа+Ем) йва (вуз вуз+азв) йаз1 1, = (ф, — вр, + е, ) й„— (вр, — вр, + ем) й„; 1э= (зрв йза+ез|) йав (врэ эра+лаз) йаз где йвйз , йзйз . Явйв йв+йв+Иэ йв+Ыа+Ыв Ыв+Ыа+Ыз е„=е,— е,; е„=е,— е,; ем=в,— е,. Зтим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема, изображенная на рнс.
5.17, где 1м=(вра — врз+е„) йва, 1вв=(фэ — фа+а*э) йаз: 1вз= (фз — Фа+ем) йм: г„= —; г„= — и гм= —. йы йаз Язв По уравнениям узловых потенциалов, записанным в канонической форме, можно непосредственно составить эквивалентную схему. Для этого достаточно узлы в и 1' с искомыми потенциаламн фг и вр1 соелинить ветвью 1 1 с сопротивлением гг = — = — [при этом 1=1... д — Ц1 в узлах поместить йв1 Ь11 16о зад адаюшие токи !.=l н // — — Х/, и, кроме того. каждый из узлов соединить ветвью, имеющей сопротивление г;„= „,, с узлом у, потенциал з// ~Л'.~ 2// / которого известен (принят равным любой величине, например, нулю).
Если в системе узловых уравне- ем гтг ннй исключить неизвестное в виде потенциала ~р, узла !, то эквивалентная схема должна соответственно из- !м цениться за счет устранения узла ! г„зи гзэ езз Вместе с узлом ! должны быть 4 5Р ээ 4 устранены и все ветви, соединяющие этот узел с другимн узлами схемы и представляющие собой в общем случае 7 3 конфигурацию в виде (у — 1) луче- 2 вой звезды.
Поскольку прн этом изменяются асе коэффициенты оставшейся части уравнений, причем у всех газ газ коэффициентов появляются дополнительные слагаемые, та, очевидно, что гы указанная конфигурация в виде многолучевой звезды заменяется конфигурацией в виде полного (у — 1)- г е угольника (с диагоналямн). Прово. /эис. 5.!7 димость каждой стороны эквивалентного многоугольника с диагоналями определяется по формуле ЮА~/ й~Юу~ дц=Ы//= йы Ын Кроме того, в оставшихся узлах добавляются задающие токи, харзктеризуемые величинами свободных членов узловых уравнений: // —— ,/,— йл Яп Полученное выражение означает, что задающий ток в исключаемом узле ! заменяется токами в остающихся узлах /, Поскольку в пределах каждого уравнения сумма коэффициентов остается равной нулю, то коэффициенты диагональных элементов (по главной диагонали) должны соответствовать полученным значениям элементов ветвей, Таким образом, получено правило замены л-.тучевой звезды с задающим током в общей узловой точке полным и-угольником (с диагоналямн) с задаю- шими токами в вершинах.
Сопротивление каждой стороны полного и-угольника равно величине обратной проводимости и//, т. е. кч 1 г/. — — г„г,/ лт ~.. г, (5.1) ш а задающий ток в каждой из вершин в-угольника 1 у/ '/~ а 1 г,э Если в заменяемой и-лучевой звезде ветви содержат в. д. с. е,/ (пример 5.6), то в эквивалентном полном п-угольнике можко либо оставить в его сторонах э. л. с., равные е/ =е„— а,/, либо заменить их задающими токами. 169 пример 5.7. Показать, что если задающий ток 1, имеется в точке 1 ветви 2 — 3 (рис. 5.18, а), то его можно заменить двумя токами уз и 2 в точках 2 н 3 (рис. 5.18, б), определяемыми по формулач: 2,=/,—" и У,=1, гы + гзз гзз + гзз При этом режим в остальной части схемы, присоединенной к точкам 2, 3 и О, останется без изменения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
