iomeldar (1021896), страница 29
Текст из файла (страница 29)
в) заменен столбцом, составленным из свободных членов А,: а„... А,...а„ а„...А,...а„ а„,...Аэ... а„ Каждый определитель Р, можно разложить на слагаемые по величинам свободных членов: Р,= ~э АРп, (4.10) где Р»1 — алгебраическое дополнение определителя Р или Р„ т.
е. определитель на единицу меньшего порядка, получаемый путем исключения столбца ! и строки 1 н взятый со знаком ( — !)'"'. 139 Из (4.9) и (4.10) следует, что з ! з ~ = — Х "Р =ХА"«=Хь !=! где (4.1 1) й;= — ", п,г) 1п — часть тока в ветви 1, удовлетворяющая исходным урав- нениям при условии А =О, когда /'~1 (т. е. все свободные члены в уравнениях Кирхгофа, кроме Аь равны нулю). Отсюда следует, что реальный рабочий режим можно считать условно разделенным на частные режимы, в каждом из которых имеется только один активный элемент схемы или в виде суммы э.д,с. одного контура, или в виде суммы задающих токов одного узла.
В этом случае в пределах каждого частного режима, в свою очередь, соблюдаются те же исходные уравнения состояния прп тех же коэффициентах а/ . Так как каждый свободный член в уравнениях Кирхгофа представляет собой или алгебраическую сумму э.д.с. в ветвях замкнутых кснтуров (А/=~е), или сумму токов источников тока ~ч',3/), то после замены свободных членов в уравнении ! (4.11) их выражениями через э.д.с. ветвей и токи источников тока, а также после группировки слагаемых выражение для тока 1! получится в виде (4.!2) !=1 /=1 где 6!/ †коэффицие, имеющий размерность проводимости; он определяет часть тока !„ связанную уравнениями состояния (при общих коэффициентах а/ ) с э.д.с. каждой ветви е/, с, — коэффициент распределения задающего тока; имеет нулевую размерность и определяет часть тока („связанную уравнениями состояния (при общих коэффициентах а/ ) с задающим током / .
Пример 4.20. На рис. 4.21 изображена электрическая схема с извест- ными параметрами, Выражения для токов в ветвях заданной схемы найдены в примере 4.14. Показать справедливость принципа наложения. Р е щ е н и е. После группировки слагаемых, полученных в примере 4.14, этн выражения приобретают следующий вид: г, + г, + г, г, г, (г + г,) ! / е, 0 — е,— з 0 ' 0 / =е — е г! г! + г! гзг! ° 0 ' 0 ' 0 +' —: згг г! г! г! 1!!+ г!) /з = — е — — е — —,/ 0 '0 ' 0 где 1) = — (г, + га) (г, + г,) — г,г,.
Если в этих уравнениях учесть отрицательный знак у определителя О и обозначить положительные коэффициенты соответственно такими же буквами как в уравнении (4.12), то а) гг г-! 11 = — еаб„+еабаа+гас„; 14 = — еабм + еаб„— гааза! !,=е,О„~-е,б„+/',са/, где /а+/а+/а (га + га) (га Ф га) г1га га 614 = (г +г Иг,+г.)+, . г, (г, + г,] (г, + та) (г +г )+г г гг-2он га 1ан ит. д. Можно представить, что с .д.с. е1урав- нениями состоянии связана система токов, показанная иа рис. 4.24 а, а с э.д.с е,— система токов, показанная на рис, 4.24,б и с задающим током 4'1 — система токов, пока. ванная на рис.
4.24, а. Иначе говоря, дейст. вительный ток в каждой ветви (рис. 4.21) по- лучается путем алгебраического суммирова- ния всех слагающих тока в втой ветви (рнс. 4.24, а, б, в): э/ 11= — 2+2+2=2а; 144 3 — 1 — 1=!а; 1,=1+1+! =За, га- !ам г/.Яан Принцип иалежеиия применим не толь- ко к токам, но и к разностям потенциалов, так как их величины определяются значения- ми э,д.с. и твков ветвей: О/г =4 ар; — ар/ = ~ г/ — ~~',, е, 4/ ч 4 З 1 и/=-",~~ е,Ь//+ ~~, у/!1/д 1=1 /=1 (4.13) где ьн — коэффициент распределения напряжения; он иа/ест нулевую размерность н определяет часть напряжения Ц, связанную уравнениями узловых потенциалов (при общих коэффициентах и/ ) с э.д.с. е/! г//у †коэффицие; ои имеет размерность сопротивления и определяет '1асть напряжения (//, связанную уравнениями узловых потенциалов [при тех же общих коэффициентах и/ ) с эадаюц!нм током 4/а 141 где суммирование производится по любому Р ..424 незамкнутому пути между точками 1 и 1.
Пользуясь уравнениями узловых потенциалов, можно определить скачала потенциалы всех узловых точен схемы, а затем — напряжения на зажимах ветвей по формуле: Пример 4.2Е На рис. 4.18 кзображена электрическая схема с источниками э.д.с. е„е, и источником тока 1. Пользуясь уравнениями узловых потенциалов, показать справедливость принципа наложения. Решение. Уравнения узловых потенциалов для узлов 1 и И этой схемы при»р»=О, как 'было показано выше, имеют соответственно следующий внд: »Р, (И, + И, -). И,) — »Р,И, =. е,И,; ф»И»-г»р»(К» гК») =е»И»+1 илн »Р,И»! — !Р,И =- е,И,: »р»И»+»р»И»» = е»И» + 1 В результате совместного решения этих уравнений И»И»» 4 е К»'Ка ( 1 К» »р,=е, е, Ипрм И» И»»Км И» И»»Им И» = — е К»И» ре И»И»! ( 1 Им »р,= — е, » КпИ»» И» КмК»» И» КиИ»» И» Так как 4»»=О, то напряжение на зажимах ветви с сопротивлением гз () =»р — !р ==»р =е И'(К'+К')+е И'К' -(-,1 » = »р, — !р, == »р, = е, » К»»И»» К» КпК»» Иа К»»К»» И» Напряжение на сопротивлении г П,=»р — ф»= — е,— И'К' +е И»(И»+И»).~-1 КпКм — И„КпКм И, КиКи И» Аналогичным путем можно найти напряжения на зажимах сопротивлений остальных ветвей.
Полученные выражения наглядно иллюстрируют применение принципа наложения для определения потенциалов узлов и напряжений на зажимак ветвей, а также дают воэможность определить коэффициенты Ьп и И»1 в уравнениях вида (4.13). Принцип наложения можно распространить и на систему уравнений контурных токов, которые также можно представить в виде составляющих, связанных с наличзем каждого из активных элементов схемы: » Ц ! 1ш=- ~е16„.+ ~ 11су »=1 »=! где С вЂ” коэффициент, имеющий размерность проводимости и определшощий часть контурного тока 1ш, связанную уравнениями контурных токов (при общих козффнннентах г; ) с э.д.с.
каждой ветви еб г, — коэффициент, имеющий нулевую размерность и определяющий !! часть контурного тока 1„», связанную уравнениями контурных токов (при тех же общих коэффициентах г»1) с задающим током 11. Во всех случаях число составляющих токов или напряжений равно числу активных элементов схемы. Пример 4.22. Показать применение принципа наложения для определения контурных токов с помощью схемы, изображенной па рис.
4.18. Решение. Если в этой схеме принять токи 1, и 1, равными контурным токам, то в остальных ветвях токи определяются по формулам; 1,-=1+1,+1,; 1,=1,+1. 142 Пользуясь методом контурных тонов, можно записать следующие уравнения: " '+гз)з=е! — у»,. ~з!!+г„), „, ! г гзг! г,г,+г, [г, +гй г! !г2! г 1-е г !! ! ! гнг„— г, г, е гиты 'и" ы '! Полученные выражения дают возможность определить составляющие кажлого контурного тока, обусловленные соответствующими э.д.с.
е„е, и током l источника тока. й 4.15. Свойство взаимности Указанная ранее симметрия в расположении коэффициентов д, и г)у соответственно в уравнениях узловых потенциалов и контурных токов, т. е, равенства дг =дл и г; =туп отражают весьма важное свойство электрическйх цепей — свойство взаимности. Иэ уравнений узловых потенпиалов можно определить слагающую потенциала гр, связанную с задающим током г' по формуле: 6э! !р и! у! ! где 6 — определитель всей системы из коэффициентов йу [здесь != ! ...
(р — 1); !у )=1 ... [у — П, а потенциал у-го узла принят равным нулю); 6 г — алгебраическое дополнение для элемента ам! этого определителя, Таким же путем можно определить и слагающую потенциала !гм, связанную с задающим током У„,: гм 6 Ви=а Поскольку определитель 6 является симметричным, то его строки можно заменить столбцами, а столбцы — строками [с теин же номерами); результат от этого не изменится. Поэтому 6 !=6!и.
Следовательно, если принять, что Уг=./и, то должно получиться: 'Рен = !р! Иначе говоря существует следующее равенство: !Ран ' 6 т! 6гт ' !рлэ О$! 6 6 Ои / Каждый из коэффициентов г 1 является общим сопротивлением для узлов !л и 1. Если гл = 1, то г, = ††сумма сопротивление для узла 1 илн 6гг входное сопротивление схемы между данным узлом и узлом, потенциал которого принят равным нулю.
где г„=г, +г,. результате совместн слагаемых; ) = ! ! гыгг! 4. решения этих уравнений, после группировки Из уравнений контурных токов можно определить слагающую контурного тока 1„, связанную с э.д.с. ен )~тг =ег— (( где )г — определитель всей системы из коэффициентов г11 при 1=1 ... й; 1=!...й; ((мг — алгебраическое дополнение для элемента г, этого определителя. Таким же образом можно определить составляющую контурного тока, связанную с э.д.с.
езр Югм 1ш — — ем — . )( В связи с симметричностью системы коэффициентов ггу относительно главной диагонали получается (1 г=(гг . Поэтому, если э.д.с. ег — — е, то равны н соответствующие составляющие контурных токов: 1ы — — 1„. Йначе говоря, справедливо следующее равенство: 1 й'„1 йпз кт зч ' ы и — = — =й ~= — = — =Ю г о ю а г( ж' которое по существу и является математическим выражением свойства взаимности. Можно всегда так выбрать независимые контурные схемы, чтобы в ветви т проходил только контурный ток 1„, а в ветви 1 — только контурный так 1 . Поэтому полученное равенство справедливо и для токов ветвей.
Ккаждый из коэффициентов является взаимной провзднмостшо между нетвями с индексами т и 1, Если т=1, то пг,= — является входной про(си )( воднмостью ветви 1. Из изложенного следует, что взаимная проводимость между двумя любыни ветвями определяется отношением тока в одной ветви к э.д.с. в другой при равных нулю э.д,с. в остальных ветвях. Входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к э.д.с. в одной н той же ветви при равных нулю э.д.с, во всехдругз гнх ветвях. Между входными и взаимными проводи- ~7 т мостями ветвей существует простая зависнмостап входная проводимость некоторой ветви равняется сумме всех взаимных проводимостей Зг между данной ветвью н каждой из остальных еетвей, присоединенных к одному нз двух (г узлов,'к которым в свою очередь присоединега т иа эта ветвь.
Например, входная проводимость йп первой ветви (рис. 4.25) равняется сумме проводимостей йм н йм илн дм, йм н йм, т. е. Рис. 4.25 Зги соотношения непосредственно следуют нз первого закона Кирхгофа и свойства взаимности н могут быть применены для расчета электрических цепей, В частности, для определенна токов 1„1з и 1, (рнс.
4.25) достаточно знать взаимные проводимости йы, йы н д,о т. е, )г=а~ (йм+йм) вайа' 1э — ет (бы+ йеэ) агдере 1з = а, ям + гауза Знаки у составляющих каждого из токов учитываются по принципу наложения. 144 В более общем виде свойство взаимности выражается в том, что матрицы сопротивлений и проводимостей для соответствующей схемы получаются симметрнчнымн. Прн этом следует иметь в виду, что матрица сопротивлений получается несимметричной, если контуры обхода принять несовпадающими с путями, по которым замыкаются контурные токи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
