iomeldar (1021896), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Однако бывают и более сложные случаи, когда при некоторых заданных параметрах цепи и некоторых желаемых параметрах для различных участков цепи необходимо определить остальные величины, чтобы одновременно проверить допустимость требуемого режима и выяснить условия его осуществления. Если известны 1из специальных расчетов или измерений) параметры отдельных элементов схемы замещения цепи — сопротивления, э.
д. с. и задающие токи, а требуется определить токи в ветвях и напряжения или потенциалы в некогорых или во всех точках цепи, то задача сводится к определению рабочего режима, т. е. к анализу схемы замещения. Пример 4.!2. Проверить возможность присоединения к зажимам источника питания с э. д. с, е=-100 в н внутренним сопротивлением г =6 ом некоторого устройства, обладающего сопротивлением г- 1О ом, если источник питания допускает ток не более 8 а, а напряжение на зажимах прн. соединяемого устройства не должно быть меньше 70 в.
Р е ш е н и е. Ток в цепи — = — =6,25 а, е 100 гв 1 г 6+10 напряжение на зажимах 1э'=гт'=-е — г„г=-1О 6,25= 100 — 6 6,25=62,5 а. 128 Из полученных результатов видно, что ток в цепи является допустимым для источника питания, а напряжение на зажимах присоединяемого устройства очень мало. Если известен желаемый режим, т, е. токи в ветвях и напряжения иа отдельных участках цепи (или потенциалы), н требуется определить параметры некоторых ветвей цепи, при которых можно получить этот рабочий режим, то задача приближается к синтезу цепи, т.
е, к определению параметров цепи, обеспечивающих заданные свойства. Общие задачи синтеза цепей весьма сложны и в данном курсе почти не рассматриваются. Практически довольно часто приходится решать только простейшие задачи. Пример 4.13. Определить пределы изменения сопротивления реостата который следует включить в цепь батареи аккумуляторов, состоящей из я=12 банок, если эта цепь создается в нелях зарядки аккумуляторов, причем зарядка производится от источника питания с э.д.с. е=зб а н внутренним сопротивлением г .
†.4 ом. Р е ш е н и е. Известно, что э. д. с. аккумуляторов в начале зарядки составлиет е, =1,4 е на кажлую банку, а в копие — 2,4 в, при этом зарядный ток должен быть равен 1=1,5 е. Из условия баланса напряжений в цепи (второго закона КирхгоФа) е=.-его+1 (г, + г) определяется сопротивление реостата в начале зарядки г — е,л 36 — 1,4.12 — — — 4==8,8 ом, а в конце 36 — 2,4 12 г'=- ' — 4-=0,8 ом, 1,5 Перед выполнением любого расчета целесообразно оценить точность определения численных значений искомых величин. Это необходимо для выбора метода расчета и расчетных средств, так как требуемая точность результатов в какой-то мере влияет на точность выполнения отдельных вычислительных операций. Для ориентировочного расчета часто бывает достаточно определить искомые значения с точностью до одной-двух значащих цифр.
В то же время в ряде случаев требуется определение численных значений величин с тремя-четырьмя значащими цифрами. 9 4.9. Алгебраические методы решения уравнений состояния Уравнения состояния электрической цепи (схемы замещения) дают возможность определить любые входящие в них величины, если число неизвестных равно числу взаимно независимых уравнений, а прочие величины являются известными. 129 теоретические асннны ннентрнтеннннц н ! Обычно наиболее просто решение выполняется в случаях линейных схем, ио только тогда, когда уравнения получаются линейными. При этом можно воспользоваться любым известным способом решения системы линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что прн определении параметров схемы замещения, даже в случае ее линейного характера, система уравнений может оказаться нелинейной, если искомые величины входят в виде произведения.
Одним нз простейших способов решения уравнений состояния прн любой форме их записи является уже неоднократно применявшийся прием, основанный на вычислении определителей. Он удобен тем, что дает возможность сразу произвести запись решения. Его недостаток †громоздкос вычислений в случае большого числа совместно решаемых уравнений (высокого порядка определителей). В последнее время разработаны новые методы расчета цепей, основанные на применении графов и топологических понятий.
Эти методы во многих случаях значительно облегчают анализ цепей. Поскольку такие вопросы не входят в программу курса ТОЭ, то в данном пособии они не рассматриваются. Более простым и привычным можно считать способ исключения неизвестных с постепенным уменьшением числа уравнений в системе. На каком-то этапе такого расчета может быть применен и способ определителей. Общим существенным недостатком способа непосредственного решения систем из большого числа линейных алгебраических уравнений является значительное количество последовательно выполняемых арифметических операций, приводящих в процессе вычислений к прогрессивному накоплению ошибки.
Для получения приемлемой точности результатов расчета необходимая точность выполнения промежуточных действий резко возрастает с увеличением числа совместно решаемых уравнений. При этом уже нельзя рекомендовать применение обычной двадцатипятисантиметровой логарифмической линейки, а следует пользоваться более сложными вычислительными машинами, позволяющими в процессе промежуточных вычислений получать величины с болыпим числом значащих цифр. Несколько большие возможности дают приближенные способы решения уравнений — Гаусса, Ньютона и т. д. Наиболее целесообразным является способ последовательных приближений (итерацйй), который применим и к расчету схем с нелинейными элементами.
Особенно перспективен этот способ в связи с широким применением математических машин дискретного счета. Повысить эффективность приближенных способов расчета во всех случаях можно путем рационального выбора порядка расчета, т. е. выбора метода расчета. 130 $4ЛО. Применение уравнений Кирхгофа б) гт-г Рис. 4.21 1,— 1 +1,=3и Уравнение для контура с э д. с, е, н сопротивлениями г, и г, при походе его в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки: — г,1, +г,1, =е,, Уравнение для контура с э, д, с.
е, не,и сопротивлениями г, и (гз+г,) при обходе его в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки 1 +1 +г 11,=е,— е,. ре 131 Если составить уравнения Кирхгофа по правилам, указанным в 3 4,4, то путем их совместного решения можно определить, „апример, тонн во всех ветвях схемы замещения.
Определив токи в ветвях схемы, можно определить и разности потенциалов между любыми точками цепи. Если, кроме п1 того, известен потен- г, Лом г 1ом циал исходной точки схемы, то можно опре- 1тзоу ао делить и потенциалы т уз ао 1а=1а любых других ее точек. 7 ° 4а ел 163 Преимущество этого г метода заключается в г 4 он 3 том, что уравнения применяются здесь в их ге 3' ан основном, исходном виде и при этом определяются сразу действительные токи во всех ветвях и напряжения на их зажимах.
1,.3 з зо Недостатком этого метода является большое количество совме- о, г 4ом г* 12пм стно решаемых уравнений и, соответственно, повышенные требова- 1 ° 1а ния к точности выполнения промежуточных г вычислений. Пример 4.14. Опреде- лить токи в электрической схеме, показанной на рис. 4.21, а, где известными являются сопротивления ветвей, э. д с, и задающие токи. Схема предполагается линейной. Р е ш е н и е, Заданная схема содержит один независимый узел и два независимых контура.
Для узла 1 Выражения для токов можно записать сразу, если воспользоваться методом определителей: = — — [ — г',га(г, + г ) — е, (г,+ гч) + (еа — е ) гг[ —,2 — — 2а; 1 У, 1 (е, — е,) 0 1 1 ! 1 — 32 — е,— е, ! ~ = — [/1ггг,— ег, -1- (е, — е,)г, — (е, — е,) г,) = = 1а. гг гг ~ Р— 32 !! У, 1 = — — г 0 г, (г,+г,) (е,— е,) —;~,.;;...!' — 1,.—. = 1 — 9Б = — [ — г',г,(г,+гч) е1(гэ+г) — е г,— (е,— ейг,[= — =за; где 1 — 1 1) ! — 11 Р= — г, 0 г,= — 2 04= — 32.
г, (г, + г4) 0 2 4 О ! В случае нелинейной схемы решение существенно усложняется и требует, например, наличия аналитической зависимости параметров цепи от параметров режима. При записи уравнений Кнрхгофа с помощью матриц решение можно получить непосредственно; 1=а 'А, т.
е. сводится к определению элементов обратной матрицы. й 4.[[. Метод узловых потенциалов Если составить уравнения узловых потенциалов по правилам, приведенным в 2 4.6, то путем совместного решения уравнений можно определить разности потенциалов между независимыми узлами схемы и исходным узлом. Потенциал последнего может быть известен или выбран в соответствии с постановкой задачи. Тогда можно определить и потенциалы всех других узлов схемы. Преимуществом данного метода расчета является несколько меньшее число совместно решаемых уравнений, а главное — сравнительная простота решения методом последовательных приближений [итераций) в тех случаях, когда схема имеет некоторые нелпнейные элементы, особенно 3.
д. с. или задающие токи. Определив потенциалы узлов, можно определить н токи и ветвях, соединяющих этн узлы. Поскольку токи в ветвях схемы определяются разностью потенциалоа между узлами, то значения потенциалов необходимо определять с достаточной точностью, так как они могут быть почти одинаковымн. В про. тнзном случае величины токов отдельных ветвей могут иметь большую ошибку, что является существенным недостатком данного метода расчета, Пример 4.15. Определить токи в схеме замещения, изображенной на рис, 4.21, при условии, что потенциал узла 2 равен нулю, а задающий ток в узле 1 связан с его потенциалом зависимостью: в'вфв 48 авл. Р е ш е н н е. Единственное в данном случае уравнение имеет вид: т, е. является полным квадратным.
В данном случае решение можно получить сразу. Однако, в общем случае, при нескольких квадратных уравнениях (или уравнениях какой- либо другой степени, но нелинейных) решение заметно усложняется, и его выполняют методом итераций. Уравнение, записанное в упрощенном виде, получит вид 48 врв = — + 8. врв В целях сокращения расчета целесообразно заметить, что потенциал узла 1 должен быть меньше э. д, с.
е, н больше э. д. с. а,. Поэтому решение можно начать с фв= 1О в, Тогда первое приближение дает Чв,=4.8+8=12,8 в. После второго приближения потенциал ву = — +8=3,75+8=11,75 а, и 48 !2,8 а после третьего вр, = !2,08 в. Наконец, четвертое приближение !!! вр, 12 в=вр„т. е. дальнейшее уточнение ие имеет смысла. вч Нетрудно видеть, что если даже в нулевом приближении предположить первое слагаемое равным нулю, то добавляется не более двух этапов при- ближения, Токи в ветвях определяются по формулам: 1,=(е,— вр,) йв=(8 — 12) 0,5= — 2а (направлен от узла 1) 1, = (е, — чв,) и = (18 — 12) 0,25 = 1а! ! в = 'увив = 12 ' 0,25 = За.
При записи ураннений узловых потенциалов с помощью матриц реше- ние имеет нид вр и вЗ и приводит к определению обратной матрицы у узловых проводимостей. й 4.12. Метод контурных токов Если составить контурные уравнения по правилам, указанным а 5 4.5, то путем их совместного решения можно определить контурные токи, а следовательно, и полные (дейстинтельные) токи в ветвях схемы, и разности потенциалов, и потенциалы всех точек схемы, если потенциал одной нз точек известен. Преимуществом данного метода расчета является меньшее число уравнений, решаемых совместно, по сравнению с методом уравнений Кнрхгофа и даже с методом узловых потенциалов, если число взаимно независимых контуров для данной схемы меньше числа независимых узлов. Поскольку во многих случаях независимые контуры и пути прохождения задающих токов можно выбрать так, чтобы искомые контурные токи получались сравнительно малыми по их абсолютным значениям, то при расчетах этим методом требуется меньшая точность выполнения вычислительных операций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
