iomeldar (1021896), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Метод контурных токов применять для расчета нелинейных схем нецелесообразно, так как параметры элементов таких схем могут зависеть только от параметров режима, а не от слагаемых (от контурных токов). Однако этот метод может быть применен и в случае расчета схем с некоторыми нелинейными элементами, если так выбрать независимые контуры, чтобы действительные токи в нелинейных элементах были равны соответствующим контурным токам.
Пример 4.16. Определить токи в электрической схеме, приведенной на рис. 4.22, а, если известны сопротивления ветвей, э. д, с. и задающие токи. Р е ш е н н е. Пусть задающий ток замыкается через сопротивление н г, (рис. 4.22, б). Выберем независимые контуры и положительные направления контурных токов 1, н 1, (указаны ниже). Тогда уравнение для контура, содержащего э. д. с, е, й сопротивления г„г, н г, (прк его обходе по движению часовой стрелкй), 1, (2 + 5 + 3) + 51, = 40 — 5. 3, а для контура, содержащего э.д.с, е, и сопротивления г, г, и г, (при его обходе в противоположном направлении), 51,+1,(1+5+4)=!5+5 4. В упрощенном виде эти уравнения принимают следующий вид: 1011+ 51г.= 25 51,+ !01,=35. Совместное решение полученных уравнений можно выполнить, напри- мер, путем исключения неизвестных.
Для этого первое уравнение умно- жается на — 2 и почленно складывается со вторым, в результате чего получается: — !51,= — !5, откуда 1,=-1а. Затем нз второго уравнения определяется 35 — 5 10 Данный метод расчета является весьма эффективным в тех случаях, когда требуется найти состояние схемы при измененных параметрах илн необходимо определить какие-либо параметры 'при изменеиком состоянии и имеется решение для предыдущих условий. Пример 4.17. Определить сопротивление г„ прн котором ток в ветви с э.
д. с. е, той же схемы (рис. 4.22, а) уменьшится ао 1,= 2а. 134 Р е ш е н и е. Предположим, что прн том же (что в предыдущем примере) пути прохождения задающих токов контурный ток 1, известен, а контурный ток 1, определяется. Тогда для тех же (что в предыдущем примере) независимых контурои получаются следующие уравнения.' 10 |, + 2г, = 25, 51, + 2 (г, + 5+ 4) = 35. Умножив второе уравнение на — 2 и сложив почленно с первым, легко получить: 2г,— 4 (г, + 9) = — 45, откуда 45 — 36 = — =4,5 олз. 2 Пример 4Л6. На рис.
4.23,а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами. Сопротивления ветвей г,=г,=г,=2 ом; га-— -г, = г,=б ом. Э. д, с. источников е,=ба н е,=12е. Ток источника тока а) Рис. 4,23 1=9а. Пользуясь ьзетодом контурных токов и методом узловых потенциалов, найти таки во всех ветвях. Р е ш е н н е. После замены источника тока источником з.
д. с. (рис 4 23, б) иа основании метода нонтурных токов можно записать следующую систему уравнений: (г +гз+ г.) | + .|з+ а|а=а — Ез' гз|з+(гз+ г, + г,) |,— г,|,=е,— е,; га|з гз|з+(га ~ гз+гз) |а=О или )0|з+ 2|з+6|а=' 2|, + (01,— 61,=6, 6|,— 6|,+!6! =О. В результате совместного решения этих уравнений |,= — 1.5и, 1,=|,би н 1,=!а. Токи в ветвях заданной схемы|,=1,+|,= — О 5а, 1,=|,— 1,=О,бо„ 1,=- — (1,+|,)=0; ток в сопротивлений г, равен разности ! — 1,=7,5а Полученйые отрицательные значения токов |, и |, означают, что действительные направления этих токов противоположны принятым на рис 4.23, а положительным направлениям.
136 для определения токов в ветвях методом узловых потенциалов целесообразно воспользоваться схемой, изображенной иа рис. 4.23, б. Приняв иотенциал одного иэ узлов, например ф„равным нулю, легко написать следующую систему Уравнений соответственно для узлов 1, 3 и 4: Ф, (из+из+из) — фаза — факз= — Езкз — Езкз — Евка' фзКз+зра(ва+ва+ва) фава=сзвз: ф~а~ Ф~ез+Фа(Ы~+ва+Яд=езе~ или Ззрз зрз фа = 36! Зфз фа + 5зрв = 361 — Ззр, + 5зрз — зр, = 54. И результате совместного решения этих уравнений, получаются искомые потенциалы: Фз= — 9в; ф,=бз и зр =Зв токи в ветвях заданной схемы определяются по формулам; 1 1, = (зр, — фз — е ) ез = (О+ 9 — б) — = 1, 5 а; 1 (,=(ф,— зр,+е,) и,=( — 9 — 3+12) — =0; (7 (з)=(фз — зрз)уз=(6+9) — =7,5а; ! 1 (а = ( Рв зрз) Ыа =- (6 — О) — = 1а; б 1 1, = (зр, — зр,) ез = (б — 3) — = 0,5а; 6 ! (в= (фа Фз) аз= — (3 О) — =0,5п.
б При записи уравнений контурных тонов в матричной форме решение получается в следующем виде: (,=г 'е„. Следовательно, для получения решения необходимо определить обратную матрицу контурных сопротивлений г„'. ф 4,13. Баланс мощностей Условие энергетического баланса для любой электрической цепи постоянного тока выражается в виде равенства нулю суммы мощностей по всем элементам: в р,=~и", р,.=о, з=! где и — суммарное число элементов схемы. Это означает, что суммарная мощность, развиваемая источниками электрической энергии, всегда равна суммарной мощности, которая потребляется в цепи.
Первая обычно называется генерируемой мощностью, а вторая — потребляемой. Уравнение баланса мощностей можно записать в иной форме, т. е. в в з ~ «,7*а = ~ Е171 — и."„З,) фр — /=з !37 При этом в левой части данного равенства и в первом слагаемом правой части суммирование производится по ветвям, а во втором сла~аемом правой части — по узлам. Свойство баланса мощностей, являясь следствием закона сохранения энергии, отражается в уравнениях состояния электрических цепей и относится к общим свойствам электрических цепей. Доказательство баланса мощностей можно выполнить в общем виде для произвольной цепи. Токи в ветвях всегда можно выразить через контурные и задающие токи, замыкающиеся по соответствующим ветвям, 1,=~1„. В результате суммарная мощность для всей цепи, содержащей и элементов Перегруппировав члены, можно получить: Р,= ~ (у„,э; и,) -~ Р„.
Таким образом, величину Р, можно получить путем суммирования величин Р„, определяемых каждым из контурных токов при распределении потенциалов, вызванных действительными токами ветвей. Поскольку вдоль каждого замкнутого контура ~~~~~(/1=О, как это следует из условия однозначности потенциала, то должно быть Р„=О, а следовательно, и Р,=~~~~Р„=О. Значения гене.
е=~ рируемых и потребляемых мощностей в цепи можно также определить по отдельным составляющим с помощью контурных токов. Пример 4.19. На рис, 4.22, а показана схема замещения непи постоянного тока, на которой указаны все параметры и приведены значения токов в ветвях.
Непосредственной проверкой убедиться, что указанные значения токов соответствуют уравнениям электрического состояния (уравнениям Кирхгофа1. Р е ш е н и е. Для узлов 1, 2, 3 получается: — 1 — 3+ 4 =0; ! — 6 5=0! 6 — 4 — 2=0, а для контуров 2 — 1 — 3 — 2 и 4 — ! — а — 4 соответственно, 40=2-1+5 4+3 6 и !5=1.3.1-5.4 — 4.2. Проверка баланса мощностей дает: 2.1*-1-1 Зз-1-3 6'+4 2'+5.4'=40 ! -1-15.3 — ы,5+ гр 5. Поскольку ю, = ч,— 4 2 — 3 6 = ю,— 26 то, после подстановки ш — ю в уравнение балавса мощностей получается 215 ащ — — 215 ат. Токо ветвей, изображенных на рис, 4.22, а, можно представить в виде системы трех контурных токов (рис.
4.2х2,в), а не двух, как это показано иа рис, 4,22, б. Действительно, токи в ветвях I — д, 2 — 8 и д — 4 1,=1,+1,=1+3=4а; 1»=1»+I=!+5= — ба' 1,=1 — !»=5 — 3=-2о. Наряду с этим полностью удовлетворнются условия баланса мощности: для нонтура 2 — ! — 3 — 2 »,1, = г, 1,1, -1- г,1,1, + г,1,!, или 40 1 =- 2. 1 + 20 1 + 18 1 = 40 зли для контура 4 — 1 — а — 4 »,I,= »,1,1,+ г,1,1» — г,1,1, нли 15 3=3 3+20 3 — В 3=45 эгл; У(»р» — »р») =г»14!+ г»1»! илн 5.26 =8 5+18 ° 5=130 вю. Такпч образом, получается условие баланса мощностей для схемы в целом. й 4.!4. Принцип наложения Если в любой системе линейных уравнений состояния электрической цепи, например, в полной системе уравнений Кирхгофа, предположить все коэффициенты (пассивные параметры схемы) заданными (равными постоянным значениям), то токи в ветвях !) ' (4.9) где Р— определитель системы, составленный из коэффициентов а,,: а„а„...а„ а„а„...а„ а„а„...а„ Р,— определитель, отличающийся от предыдущего тем, что в нем столбец с коэффициентами а„(1=-!...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
