iomeldar (1021896), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

,О45=-О. Так как направление положительной нормали к каждому злсменту замкнутой поверхности ФУ выбирается наружу, то токи, направленные внутрь поверхности, получаются с отрицательными знаками, а токи, направленные от поверхности, — с положительными. 113 теоретннеские осноиы электротехники. е. 1 (отрицательным).

Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток, вырабатываемый этим источником, также должен быть учтен при суммировании. Уравнение (4.1) применяется к любому узлу схемы. Оно известно под названием первого закона К ирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю. В некоторых случаях рекомендуется это уравнение записывать в виде равенства суммы токов одного направления сумме токов другого направления.

Из дальнейшего будет видно, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (4.1) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части — алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками тока: ~»=~», где 1 — ток в одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, ໠— ток одного нз источников тока, присоединенного к тому же самому узлу.

Таким образом, первый закон Кирхгофа дает уравнения состояния, назь<ваемые узловыми. Однозначность электрического потенциала приводит к условию (неоднократно применявшемся ранее) баланса напряжений по любому замкнутому контуру схемы замещения электрической цепи. Уравнение баланса напряжений записывается в виде '~', е =~г» (4.2) и формулируется следующим образом: в любом (замкнутом) контуре алгебраическая сумма з,д.с. равна алгебраической сумме напрявкений на сопротивлениях, входяи4их в этот контур. При этом положительные знаки принимаются для токов и э.д.с., заданные или произвольно выбранные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура, и наоборот.

Уравнение (4.2) известно под названием вто рого за кона Кирх гофа, а уравнения состояния для электрической цепи, написанные на основании это~о закона, называются контурньо4и уравнениями. Совокупность уравнений (4.1) и (4.2) дают возможность получить необходимые и достаточные уравнения для л!обой электрической цепи, определяющие ее электрическое состояние, Чтобы составить уравнения состояния, необходимо выбрать положительные направления токов (если они неизвестны) во всех ветвях схемы.

Действительные направления токов могут не совпадать с выбранными; тогда в результате решения их численные значения получаются с отрицательными знаками. Кроме того, нужно выбрать независимые контуры и направления их обхода. Следует иметь в виду, что не все узловые и контурные уравнения являются взаимно независимыми. Если схема имеет у узлов, то взаимно независимыми являются только у — 1 узловых уравнений, так как всегда уравнение для последнего узла можно получить из предыдущих, поскольку каждая связанная с ним ветвь имеет второй конец и ток в ней может быть выражен через токи других ветвей.

Из условия однозначности режима следует, что суммарное число уравнений должно быть равно числу ветвей схемы, так как только в этом случае при заданных параметрах схемы может быть определено ее электрическое состояние. Следовательно, число взаимно независимых контурных уравнений определяется следующим условием: К -= в — (у — 1), где в — число ветвеи, При составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы получаемые уравнения были взаимно независимы и связаны между собой.

Необходимо выбирать контуры так, чтобы в них входили все ветви схемы, а в каждый из контуров †возмож меньшее число ветвей. Не рекомендуется выбирать контур, который включает только ветви, уже вошедшие в другие контуры, так как такой контур, как правило, получается зависимым от других. Действительно, определив из других уравнений напряжения на составляющих его ветвях, можно получить уравнение для соответствующего контура.

Для обеспечения взаимной связи между уравнениями рекомендуется, чтобы при выборе каждого нового контура, начиная со второго, в него входило не меньше одной старой и одной новой ветви. При этом следует производить проверку соответствия числа составленных уравнений приведенному выше условию. Отмеченные положения дают возможность сформулировать следующее правило: если каждый новый контур, для которого составляется уравнение, выбирать так, чтобы он имел не меньше одной старой и одной новой вептви и его нельзя получить из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем мысленного удаления из этих контуров оби1их ветвей, то такие контуры будугп всегда независимыми.

Например, контур 1 — 2 — 3 — 4 — 1 (рис. 4.10) можно получить из контуров 1 — 2 — 4 — 1 и 2 — 3 — 4 — 2 путем удаления ветви с сопротивлением г„ являющейся общей для указанных контуров. Поэтому уравнение для контура 1 — 2 — 3 — 4 — 1 получается суммированием или вычитанием уравнений для контуров 1 — 2 — 4 — 1 н 2 — 3 — 4 — 2. Пример 4А. Составить уравнения электрического состояния для мостовой схемы, изображенной на рис.

4.10. Р еш е и не. Число ветвей схемы а=б, а число узлов и =4, из которых только р — 1 —.3 являются взаимно независимыми. Поэтому число независимых контуров схемы К=в — у-1-1=6 — 4-1-1=3. Прежде чем составить 1!б уравнения, необходимо указать на схеме положительные направления (произвольно) токов во всех ветвях (рис 4.10). За взаимно независимые узлы можяо принять любые трн узла, например 1, 2 и 3.

Для этих узлов справедливы следующие уравнения: для узла ! /,+/,— /=0; для узла 2 /,+1,— 1,=0; для узла 3 / — 1,— 1,.— -О, В качестве незаиисимых можно выбрать контуры 1 — 2 — 4 — 1, 2 — 3 — 4 — ? н 1 — 4 — 3 — 1. Если направление обхода для каждого контура выбрано, например, по часовой стрелке, то контурные уравнения имеют следующий внд: для контура 1 — 2 — 4 — 1 О - гз/з + гз/з "з/з для контура 2 — 3 — 4 — 2 О =- гз/з — гз/з — г,/„. для контура ! — 4 — 3 — 1 е= г,1,+ г,1, +г/, Нетрудно видеть, что полученные уравнения остаются справедливыми н при выборе других положительных направлений токов относительно любых узлов схемы и других направлений обхода любых контуров, твк как это одновременно приводит к изменению знаков у всех слагаемых в обеих частях соответствующих уравневий.

Пример 4.5. Составить уравнения электрического состояния для схемы, изображенной иа рис 4.14 Эта схема содержит исто ~ник тока (задающий ток) 2. Число ветвей в=4; число узлов 3=-3, из которых два — взаимно независимые. Число взаимно независимых контуров К=2. На рис. 4.14 обозначены токи во всех ветвях и показаны их положительные направления. Р е ш е н п е. Уравнения для узлов 1 и 2 имеют следующий ввд; 1,+1 — 1,— /,=О; /з+/г /з Токи ветвей, направленные от узлов, записываются с положительным знаРис. 4.14 ком, а к узлам — с отрицательным. Если для узлов с задающими токами применить формулировку первого закона Кирхгофа в виде д,/ = л Х, то в уравкениях, вытекающих из этого закона, токи источников тока, направленные к узлу, записываются с ноложительнылзи энаквмн, а от узла— с отрицательными.

Например, для узла 1 уравнение имеет вид: 1» /з /з= При направлении обхода контура / †-! по часовой стрелке, а контура 1 †2 †3 †1†часовой стрелки, на основании второго закона Кирхгофа получаются уравнения: ез — гз/з + гз/з) е = гз/з + гз/з + гз1з. Легко заметить, что во всех случаях узловые и контурные уравнения имеют одинаковую структуру, что дает возможность !!6 представить их в более общем виде системой уравнений в канонической форме.

В общем случае сложной схемы уравнения электрического состояния (4.1) и (4.2) представляют собой систему, состоящую из в алгебраических уравнений следующего вида: а„т, +а„г',-) ... +а„)„= А, (4.3> Эти уравнения не являются однотипными. В узловых уравнениях коэффициенты аг имеют нулевую размерность и могут принимать только значения +.1 или О (если соответствующая ветвь не присоединена к данному узлу). Величины А,.=-~',,г' имеют размерность тока и равны нулю, если ! в данном узле 1 нет задающих токов.

В контурных уравнениях коэффициенты аг имеют размерность сопротивления, а величины А,=~х~~е — размерность потенциала и равны нулю„если в контуре нет э.д.с. Если )ця ветвь входит в (-й контур обхода, для которого составляется уравнение, то должно быть (г'~ К): аг,— — ~ г», а если не входит, то а; =О. Если в каждой ветви схемы имеется не больше одной э. д. с. и число э. д. с.

не превышает числа взаимно независимых контуров, то можно так выбрать независимые контуры, чтобы каждый свободный член А, содержал только по одной э.д.с. Уравнения (4.3) можно записать в более общей форме, если воспользоваться матрицами (см. приложение 1): а1=А, где а — квадратная матрица иозффнцнентов, аа а,в .. агв ам ага .

° авв =11аг (1, а„а„... а,„ 1 — матрица-столбец токов ветвей и А — матрица-столбец активных параметров = — !! А;1! (при 1=1, ..., в), А'.! Так, для схемы, изображенной на рнс. 4.14, уравнения, полученные в примере 4.5, можно записать в матричной форме, если прийятьь! 0 — ! 1 1 0 — 1 О О г, гз гь г4 5 4.5. Уравнения контурных токов В качестве независимых переменных можно выбрать токи, условно замыкающиеся по сопротивлениям независимых контуров. Удобство такого выбора независимых переменных заключается в том, что если схема не содержит источников тока, то узловые уравнения при этом всегда удовлетворяются, а число неизвестных токов уменьшается на число независимых узловых уравнений, т. е. на у — 1. В схеме с источниками тока требуется заранее распределить задающие токи по ветвям схемы.

Характеристики

Список файлов книги