iomeldar (1021896), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Для этого достаточно принять ток каждого из источников тока как бы замыкающимся по ветвям любого незамкнутого контура, дополняющего ветвь с источником тока до замкнутого контура. Напряжения, обусловленные током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитываются при записи правой части уравнений 14.2). Однако эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в левой части тех же уравнений в виде э.д.с.
Возможность такого решения следует из однозначной зависимости тока каждой ветви схемы от значений контурных токов и из равенства числа контурных токов числу независимых уравнений. Пример 4.а. Пользуясь законами Кирхгофа, составить уравнения кон. турных токов для схемы, показанной на рнс. 4.15. Р е ш е н н е. Количество ветвей в заданной схеме з = 6, а число узлов у=4. Следовательно, число незавнснмых контуров К=в — у+1=3. * Здесь такая запись дака только в порядке иллюстрации. Справедливость приведенной записи можно проверить путем непосредственного умножения матриц п сравнения полученных таким образом уравнений с соответствующими уравнениями, приведенными в примере 4.5.
з18 На основании второго закона Кнрхгофа для контуров 1 — 4 — 1, 1 — 4 3 — 4 — 1 и 8 — 4 — 8 легко получить следующие уравненяя'. е, =- г,1, + г,1,; 22 е4= 22!2+гь!з+ 24!4 га!4 ез = г212+ га!2. Если в этих уравнениях заменить 1,=1, — !„а !,=1,+ 12 н учесть, ио ток 1,=-1, то после группировки слагаемых койтурныеуравйепня приобретают. внд: е,=(г,+г,) 1,— г,1,; ев еа =(ге+та+ га+ га) !з та!2+ га!в' ез = (та+ гз) 12+ г,1,. Зтн уравнения содержат только контурные токн 1,, 1, к 1„замыкающиеся по ветвям соответствующих контуров (рис.
4. Ь). Иэ йолученпых. г', а е 1 га Рис. 4.15 уравнений непосредственно следует, что первый закон Кнрхгофа всегда удовлетворяется, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же учла. Прнмер 4.7. Пользуясь законами Кнрхгофа, составить уравнения контурных токов для схемы, изображенной на рис.
4.14. Решение. На осиованни второго закона Кирхгофа нетрудно длн заданной схемы получить уравнения: е! = 22!! + 2414; гз = 2з1з + 24!а + 2 в! в. Если и этих уравнениях заменять токи 1, я 1, по формулам 1,=-1, +1, и !2=12+4 н обозначнть гзз' чеРез е„то контУРные УРавнениЯ пРиобРетают следующий внд: е! = (г! + 24) !1 + 2412 е,— е,=(г,+г -)-г,) 1,+г 1,. Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема, представленная на рнс. 4.16, где источник тока заменен источником э.
д. с. г,. Если в основных уравнениях сохранить таки 1, и 12 как контурные, а токи 1 я 12 ясклю пщь из уравнений с помощью формул 1 =1,+1,— ! и 1,=1,— 1, то после группировки слагаемых получаются следующие коитурнйе уравнения: а!+за ("а+'а) !!+за!3 и,+е +2,=241,+(г,+ г +гз]12. 1192 Полученным уравнениям удонлетворяет эквивалентная схема, показанная на рнс. 4,17. В этом случае ток источника тока как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями г, и г, и заменен двумя источннкамн э.
д. с. е ==. г г и е, =-г„г. з,-он Рис. 4.16 Рнс. 4.17 Во многих случаях можно выбрать независимые контуры и направления обхода так, чтобы напряжения от токов собственных контуров получались с положительными знаками, а от токов других контуров — с отрицательными знаками. Поскольку в общем случае ток каждой ветви схемы можно выразить через сумму контурных и задающих токов, т. е.
1,=~~Р~1+~ч;1, то контурные уравнения принимают следующий вид: г„1, +г„1, +... +г,а1„=е„ (4.4) г,1,+г„1, й... +г „1 =е, Число таких уравнений всегда равно числу К взаимно независимых контуров схемы, Уравнения (4,4) получаются, в отличие от уравнений (4.3), однотипными. В этих уравнениях коэффициенты г; являются пассивными параметрами схемы и имеют размерность сопротивления: г, =~;г (здесь суммирование рас/ пространяется на часть контура, по которой замыкается ток 11). В этих же уравнениях' величины е„являются активными параметрами схемы и имеют размерность напряжения (потенциала): н„=~,'е+~г,1 (4.5) 1 (здесь суммирование распространяется на все э.
д. с. 1-го контура н на ту часть того же 1-го контура, по ветвям которой замыкаются токи .1. Из (4.5) видно, что действие задающих токов аналогично действию э. д. с. Диагональные коэффициенты системы контурных уравнений (с двумя одинаковыми индексами) определя1отся путем сумми- 120 рования сопротивлений всех ветвей, образующих контуры ги= «~г, н называются собственными сопротивлениями контуров.
! Если контуры 1 и ) имеют общую ветвь, по которой замыкаются токи 1г и 11 то в уравнении для 1-го контура коэффициент г,у определяет падение напряжения от тока г1 контура 1, а в уравнении для /-го контура коэффициент гд определяет падение напряжения от тока г', контура 1. Сопротивления вида г;,.=г,; (с двумя различными индексами) называются общими еопроотивлениями контирав 1 и 1. Если контуры 1 и 1 не имеют обгцих ветвей, то, вследствие равенства го=г,;=О соответствующие слагаемые в контурных уравнениях также равны нулю. При произвольно выбранных положительных направлениях контурных токов, после замены источников тока источниками з. д. с., должны быть взяты в каждом уравнении (4.4) положительные знаки для токов и з. д. с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.
Здесь следует особо подчеркнуть, 1то равенства общих сопротивлений вида гг =г1~ в уравнениях (4,4) справедливы в тех случаях, когда при составлении этих уравнений независимые контуры совпадают с контурами, по которым замыкаются соответствующие контурные токи. Например, в уравнениях, составленных для схемы, изображенной на рис. 4.15, общие сопротивления для трех контуров с токами 1„ 1, и 1, равньг. г1е гм гз гм '=. гм = гм Если для той же схемы (рис. 4.15) выбрать один контур из сопротивлений г, и г„а два других контура — из сопротивлений г„г, г„г, и г„гз, г,, г„то легко получить систему уравнений: (г,+г,) 1,— г,1,=еб г,1, + (ге + ге + гч) )з — г,1,.—.- е, + ее — ек гзуз+(гз+гч) 1з гз1з=е, +е,— е,— е,', Из этих уравнений непосредственно следует, что г„=г„гм=-г„г„=.г,„ г„= г,+г„что подтверждает отмеченные выше положения. Уравнения (4.4) можно записать с помощью матриц в следующем виде. г„1„ = е, где г„— квадратная матрица контурных сопротивлений г„г„...г,ь гм'тт гы =- (( г11!(,' гмглг ° ° геа 1„— матрица — столбец контур ных токов 1, 1а =))1гй (прн г=!...й)1 121 ,е †матри-столбец контурных э.
д. с е, е, =1(е;11 (при в=!...й). еа Такая форма уравнений дает возможность сократить запись и сделать .ее более наглядной, Например, для схемы, изображенной на рнс. 4.18, легко получить: (г, + г,) — г, О г= — гв (гв+гв+гв+гв) О гв (г, + г.) 1я — — Тв и е= е,— ев й 4.6. Уравнения узловых потенциалов Если в качестве независимых переменных принять потенциалы узлов, то необходимость в составлении контурных уравнений отпадает вследствие однозначной зависимости разностей потенциалов от токов ветвей и равенства числа узловых уравннй числу напряжений между зажимами ветвей.
При этом потенциал одного из узлов может быть произвольно задан н в частности принят равным нулю, а число независимых узловых уравнений всегда должно быть на единицу меньше числа узлов и равно у — 1. Есди схема содержит источники тока, то так же, как и при составлении контурных уравнений, можно заменить источники тока источниками э. д.
с„исключив тем самым из схемы ветви с вадаюгцнми токами. Пример 4.8. Пользуясь первым законом Кирхгофа и законом Ома для участка цепи с сопротивлением и э. д. с., состааить уравнения узловых потеициалоз для схелцв, изображенной па рис. 4.!4, если кроме параметроз, показанных на этой схеме, е аетеи с сопротивлением г имеется э. д, с. г,, напразленпая от первого ко второму узлу.
Решен не. Так как заданная схема содержит три узла (считая узел с источником тока), то числа независимых ураенений узловых потенциалов разно р — 1=2. Пусть потенциал одного узла, например третьего, равен нулю, а потенциалы двух других узлои равны врв и чвв. Тогда токи аа всех ветвях заданной схемы определяются через потенцйалы узлов и параметры ветвей по формулам (см. пример 4.2): Тв = (вр,— вр, + е,) д,; 1,= (вр, + е,) д,; Ув = — ву,йЪ; Тв = (Чвв — Чвв+ ев) Яв.
С помощью первого закона Кнрхгофа для узлов 1 и 2 можно записаты ! +У вЂ” Ув — 1,=О и Тв+Тв — Т =О, Если в этих уравнениях заменить токи через потенциалы и парзметры ветвей, то после группировки слагаемых получаются уравнения с узловыми потенциалами и, и Р,: кмЧ 1 — к|зФз = е10 — е,ф,— ! — уаЧ'~ + 8ыйз = ЕчКч — азй, — сей з где собственные пРовоДнмости Узлов йи=п,+2,.(-д, и пм=п,+и,+л равны сумме проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам ! и 2, а общаЯ пРоводимость междУ Узлами п1е=им=п,+2, Равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы ! и 2. Правая часть первого уравнения представляет собой алгебраическую сумму произведений э. д.
с. на соответствующие проводимости тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу, и тока источника тока, подключенного к тому же узлу. диалогичный смысл имеет правая часть второго уравнения. Произведение вида еп берется с положительным знаком в том случае, когда э. д. с. направлена к рассматриваемому узлу, и с отрипательиым,— когда э. д. с. направлена от узла. Такое же правило применяется и для определения знаков задающих токов (нсточникоа тока). Следует особо подчеркнуть, что структура узловых уравнений для любой схемы не зависит от выбранных положительных направлений токов в ветвях. Если и схеме, изображенной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
