iomeldar (1021896), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Ао Если выбрать прямоугольные координаты х и в так, чтобы — являлось г(х наклоном кривой, описывающей соотношение между х и о, то, придавая ш различные значения, легко получить семейство изоклин. На каждой изоклнне можно в различных ее точках нанести достаточное количество отрезков прямых, тангенс угла наклона которых к оси абсцисс равен числу т, характерному для данной изоклины. 702 При достаточном количестве изоклин и черточек, нанесенных на ннх, легко провести нз фазовой плоскости из заданной начальной точки (х„а,) фазовуш траекторию. При этом стремятся к тому, чтобы фазовая траектория пересекала каждую изоклнну под характерным для нее углом, указываемым черточками, нанесенными на изоклину, Из«клину, соответствующую ш=О, пересекают все интегральные кривые, направленные параллельно оси абсцисс.
Если ш=!, то касательные к цнтегральным кривым, когда онн пересекают эту изоклину, должны иметь тангенс угла наклона к положительному направлению оси абсцисс равным единице, а угол наклона — 45', При вычерчивании изоклин на клетчатой бумаге нанесение на них черточек прн наклонах и=1, т= — 1, ш=2 и т. д. не представляет трудности. Если ориентироваться на выражение наклона не в градусной мере, а в виде тангенса, то желательно придавать т значения именно в виде положительных и, соответственно, отрицательных чисел.
Легко показать, что в рассматриваемом случае фазовые траектории имеют форму окружностей. Действительно, так как а по -1- х ах = О, то после интегрирования х'+ а' =- с'. в Это — уравнение окружности с центрам и начале координат, причем радиус окружности )г определен из заданных начальных условий. Центр окружности является особой точкой, где наклон фазовой траектории неопределенен. Мгновенные значения х и о определяют местонахождение изображающей точки на интегральной кривой. В данном примере, траектория — замкнутая кривая, чта означает непрерывное возвращение изображающей точки по одному и тому же пути в начальную точку, т.
е. решение соответствует периодическим колебаниям. Движение точки вдоль фаз«вой траектории происходит в обычных случаях в направлении движения часовой стрелки. Нулевое значение скорости соответствует максимуму или микимуму (экстремуму) перемещения. Все фазовые траектории пересекают ось х под прямым углом, так как прн х=О величина не изменяется. По фазавому портрету можно также определить полную энергию, накопленную в систеые. Если фазовый портрет изображает линейное дифференциальное уравнение второго порядка, то полная энергия, запасенкая в системе, пропорпнональна квадрату радиального расстояния от начала координат до точки фазовой траектории, построенной в нормнро1 в(х Х ванной фазовой плоскости ~по оси ординат откладывается о= — ° — ! . ыв в(! ) В качестве примера можно рассмотреть дифференциальное уравнение для цепи, состоящей из конденсатора и катушки с сопротивлением: ай г, 1 —,+ — + — у=о.
б! ' 1. (.С 1.,!ув Полная энергия в контуре равна — СР+ —, †. Электрический за. 2 2 С в(у 0х ряд у соответствует координате х, ток в= — соответствует у=- —; следов(! 1, 1 хв вательно, энергия системы равна — Ьу*+ — —. Если катушка идеальная 2 2 С 1 (г=О), то угловая частота имеет наибольшее значение ю»==, и энер- У СС 1 у, ух гия системы равна — х'+ — . В скобки этого выражения входит 2С ~ ыв ) ' а 703 величина квадрата рзднальногорасстоянияот начала координат до рассматриваемой точки. Энергия системы, соответствующая какой-либо точке на фазовой пло- 1 скости, равна доле —, от этого квадрата расстояния.
2С По определению Интегрирование дает б(= 3 -бх. г 1 р /1~ Следовательно, если построить кривую зависимости ~ — ~ от х, то пло'(р у щадь под кривой (между кривой и осью абсшюс), рассмотренная между любыми двумя точкамп асп абсцисс, представляет собой время, необходимое для перехода системы нз одного состояния в другое, соответственно этим 704 !(о Пусть, например, ш= — = — 1.
Тогда о= — х. Это уравнение представ- Ых лает собой прямую линию (рис. 20.27), проходящую через начало координат 3 и образующую угол, равный — к=135', с осью о. На этой прямой нанесен 4 ряд черточек, с угловым коэффнпнентом равным единице, т. е. образующих угол в 45' с осью о. Затем выбм ф'=-~ ~Ь 3 рано значение и = — = — —, что пх 2 ' .! 3 4 х» дает о= — — х. Это уравнение 2 представляет собой прямую ли- г пню, проходящую через начало у' координат при наклоне ( — 3/2).
г г у 4 вы, ДалЕе проводится ряд черточек с наклоном, равным + 3)2, пересекающих эту прямую. Очевидно, что в данном случае черств „ точки перпендикулярны по отпою=,ф-/ т+~ шенню к своим прнмым — нзокли- 2 нам. Для различных значений и ам+I изоклииы образуют пучок прямых, проходящих через на |зло координат. Если при 1=0 х,=5 Рис. 20.27 и оч=0, то отправной точкой будет точка Р на оси х. Начиная от точки Р проводится кривая, которая пересекает каждую радиальную линию под тем же углом, кзк и нанесенные на изоклнну черточки. Если чертеж достаточно точен, то изображающая точка, описав окружность, вернется н точку Р. Следующей ступенью в решении является отыскание времени 1. Время в качестве параметра на фазоиой картине проявляется не явно. Однако по соответствующей фазовой траектории можно построить график зависимости х от времени О Дополнительно к обычному способу (который заключается в решении дифференпизльного уравнения) изменение времени вдоль траектории можно определить друпшп путями.
Наиболее широко распространен метод определения времени по обратным кривым. Ои основан на соотноше- 1 нии между временем ( и кривой зависимости обратной величины от х. У лх 1 у = —, откуда приращение времени бг = — г(х. б( ' р точкам. Такой способ определения времени равноценен графическому р нию дифференциального уравнения. 1 Если обозначить — через 7(х), то по теореме Лагранжа о среднеи ко- р печное приращение времени Ы=[(а) [х;+,— х1[, так как отношение разности значений М =[Пь,— (1) функции соответственно в конце и начале рассматриваемого промежутка к разности значений аргу- г(1 мента [х.е,— х.[ в этик же точках равно значению производной [(С) =— 1 1 ЫХ1 в некоторой точке ь внутри этого промежутка [(1+ 1), 1).
Равенство 11+1 — П г А( ' = — означает одинаковый наилон хорды, соединяющей точки ХГ+1 — ХГ ЫХ (хп П) и (хг+„ф+,), и касательной к отрезку кривой в некоторой точке (хр, (Е) (рис. 20.28). Имеется геометрический метод определенна времени, в котором фазоваи траектория аппроксимируется при помощи нескольких дуг окружностей Риг. 20.29 Рис. 20.28 с центром на оси х. Пусть отрезок АВ фазовой траектории является дугой окружности с центром х, на оси х (рис. 20.29), Тогда время перемещения (АВ, изображающей точки иэ А в В будет (ля=011 где 0 †дли дуги АВ, измеренная з радианах, или центральный угол, стягивающий зту дугу; 1,— отношение масштабных коэффициентов вдоль осей р и х; значение х, соответствующее одному делению значение у, соответствующее одному деленно Этот метод определения времени рекомендуется для участков фазбвой траектории, пересекающей ось х.
Так как фазовая плоскость представляет Ах собой плоскость с кривыми зависимости р =х= — от х, то эти кривые— ~Й фазовые траектории — пересекают ось х под прямым углом. Следовательно, около оси х фазовые траектории всегда можно аппроксимировать при помощи окружности большого радиуса с центром иа этой оси. 45 теоретические осноам алеьтрогехиикч ч. 1 700 Если точка С (рпс. 20.29) находится в пределах окружности, то время, необходимое для перехода изображающей точки из С в 0 на оси х (рис. 20.29), пропорционально углу е, образуемому хордой СЭ и вертикальной линней: 1сп=йе1о где 1,— отношение масштабных коэффициентов.
В этом геометрическом методе определения времени не встречается трудностей, которые связавы с интегрированнем кривых, стремящихся к бесконечности. В 20.10. Ламповый гемератор Э лектрическая схеча, содержащая трехэлектродную лампу, колебательиый контур и источник постоянного напряжения, дает возможность получить устойчивые колебания. Авпсоколебанилми называются периодические колебания, возникающие в схемах при воздействии на них и, 1г вынужденных сил, не изме- няющихся во времени. Ф В схеме, показанной на 1 г ° рис.
20.30, источник постояи- ного напряжения Е, являет° ся постоянной вынуждающей силой. Колебательный контур включен в цепь сетки, при этом между катушкой колеба. Г тельного контура и катушкой ветви источника имеется индуктивная связь. Если принять "са Еис. 20.30 напряжение Š— а очень малым по сравнению с э.
д. с. Еа, то, на основании второго закона Кирхгофа, для внешнего контура схемы (рнс, 20.30] можно написать 0 =Еа=сопз1. Прн этих условиях анодный ток 1 зависит только от напряжения на сетке и определяется сеточной характеристикой 1 =-/(и ) при ()а =-сопя(. Пусть сеточная характеристика выражается приближенно полиномом третьей степени: га гас+лис бпс Поскольку лампа работает при относительно малых напряжениях на сетке и„ то током в цепи сетки 1, можно пренебречь и принять 1=1,, Для колебательного контура, присоединенного к сетке, на основании второго закона Кнрхгофа можно написать следующее уравнение: Š— — А( — а+Ы+и =0 с((а аг с (20.1) В этом уравнении второе слагаемое представляет собой напряжение, уравновешивающее э.
д, с, взаимной индукции, индуктируемую в катушке колебательного контура. Ток 1, равный току!„можно выразить через напряжение на конденсаторе: с(и, с=С вЂ”, с(1 пм Уи, 1 ага После замены в уравнении (20,1) тока 1 и его производной через напряжениее п„получается: (20.2) 706 Опыт покзэывает, что напряжение на сетке а, лампы при определенных соотношениях между параметрами схемы изменяется по сниусоидальному закону. Поэтому в качестве решения дифференциального уравнения можно припять выражение пс — Ус 5!п аоГ, в котоРом необходимо опРеделить амплитУдУ У„„и УгловУю частотУ Оее.
С втой целью в уравнении (20,2) необходимо прежде всего заменить напря- жение и его производные Ии, бг — сэоУса соз Оеег В результате полученное уравнение приобретает вид: — АСы Уса з!п юе1 + гСыеУсее соз ме1 + Уса зеп гэе1 = М вЂ” о, Кроме того, пользуясь формулой 3 ! з!п' ы 1 = — з!и ы 1 — зш Зы 1, о 4 о 4 е (20.3) можно уравнение сеточной характеристика !а=сао+с!Уса з!пые1 ЬУса э!п ше( преобразовать к виду ! =1Ое+аУсаз!пые1 — — ЬУ з!па 1+ — ЬУ, зйпЗш,1, гС вЂ” аМ+ — ЬМУ'„„=О, 4 откуда аМ вЂ” гС ЗЬМ Из последнего выражения непосредственно следует, что для возникновения колебаний должно быть выполнено неравенство аМ > гС, так каи только при этом условии напряжение Ус,л не будет мнимым числом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
