iomeldar (1021896), страница 122
Текст из файла (страница 122)
20.5. Переходный процесс в некоторой цепи исследуется методом последовательных интервалов; влииет ли погрешность, допущенная ва пред. шествующих интервалах, на значения искомой величины во всех последующих интервалах? 20.6. Чем определяется число приближений п(зи расчете переходного процесса итерационным методом в цепи с катушкои и активным сопротивлением? 26.7. Обосновать метод конечных операторов. 20.0, Что называется фазовой плоскостью и изображающей точкой? 20.9. Что называется изоклиной? Каким способом можно построить (приближенно) нзоклину? 20ЛО. В челг заключается сущность метода, с помощью которого апределяется время переходного процесса по обратным кривым? 20.11. Объяснить процесс возникновении автоколебаний в схеме с электронной лампой.
20.12. В чем заключается сущность ьюделирования переходных процессов в линейных и нелинейных цепях? ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ МАТРИЦ Матричвй называется таблица величин, записанных в определенной последовательности; каждая из величин, входящих в матрицу, называется вивментом матрацы. Матрица отмечается двойными вертикальными черточками, расположенными с обеих сторон таблицы. Элементы матрицы могут быть записаны в виде одного столбца а, аг Такая матрица называется стоибьквой (матрицей-столбцом); каждый из влементов отличается номером строки, в которой он находится.
Матрица, имеющая несколько столбцов и строк, аа аы ... агм ам ааз .. ага а„,а„, ... а„ называется прямоугольной; ее элементы различаются номерами строк н столбцов, на пересечении которых они находвтся и, следовательно, отмечаются двойнымн индексами. Если число строк матрицы равно числу еестолбцов, то матрица называется квадратной аи а„агл лм аы агл а„, а„, а„„ Элементы ам, аы, ..., а„„ (на пересечении строк и столбцов одинаковых номеров) считаются расйоложенными на главной диа~оналиматрицы. Число строк н столбцов квадратной матрицы обычно называют ее порядком. Написанная выше таблица является матрнцей и-го порядка. Матрица называется симметричной, если одинаковы ее злементы, расположенные симметрична относительно главной диагонали, т. е, злемеиты, номер строки одного из которых равен номеру столбца другого, и наоборот аП = ауг.
714 Если все элементы матрицы, кроме дьагоиальных, равны нул, аиО ...0 о" Ь" то лгатрица называется диагональной, а если каждый элемент главной диа. гоняли такой матрицы равен единяце, то матрица называется единичной ! О ... 0 О 1 ... О О О ... ! Квадратная матрица называется неособенной, если определитель, сос'тавленный из ее элементов, не равен нулю ам а„... а,и ам 'гы ° ° ° 'гии аи, аии ...
аии и особенной, если указанный определитель равен нулю ам а„... а,и ам а„... аш При обозначении матрицы одной буквой ее обычно печатают другим шрифтом (например, полужирным). Пример П!.1. Столбцевая матрица токов обозначается !и й запи квадратная матрица сопротивлени сыва е ется в вид гм г„, ..
гги гм гы ° ° ° гии гю гии ° ° ° гии Такие обозначения дают возможность упростить запись пря определении различных алгебраических операций. Следует иметь в виду, что прн записи элементов в виде матрицы никаких операций с ее элементами внутри матрицы ие предусматривается. Матрицу можно записать с помощью обозначения ее общего элемента. Так, прямоугольная матрица, содержащая и строк и и столбцов, записывается в виде: а=!!агу!. (гии! ... и;!=1 ... иг).
Квадратная матрица записывается несколько проще~ а=Да, (,", где л — порядок матрицы. 7!6 Столбцевая матрица †е проще а=(1а1П. ((=( ... л). Матрицы считаются одинаковыми, если на соответственных местэк имеются одинаковые элементы. Между такими матрицами можно ставить знак равенства. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то матрица является пулевой. Если все строки матрицы записываются в той же последовательности в виде столбцов, то получается транспонированная матрица: ап ... ага аы ...а„ Сложением двух матриц называется операция, при которой складываются их элементы, расположенные на одинаковых местах: ап а,з .
азм ~ ~Ьм Ь,з ... Ьгм а + Ь = ...,.....,...,. + а11+Ь11 ам+Ь12 ... а1„+ЬЪ ага -(-Ьго а„,+ Ьл,, а„м+ Ь„м При сложении матриц справедливы переместительное и сочетательное свойства: а~ь=ь~а а~ь~с=- а* (Ьщс) =-(а~ь)~с. Если а+Ь=с, то аг+Ьг=сг. Примером суммирования матриц служит определение тонов ); в ветвях линейной схемы от аействия каждой из а з.д.с.
При этом суммарные токи получаются путем сложения: Г 1 Матрицы-слагаемые должны иметь одинаковое количество соответственно строк и столбцов. Умнозгениезг двух матриц называется такое действие, при котором в качестве элементов, расположенных на пересечении Ьй строки и )что столбца матрнцы-произведения, принимаются суммы паперных произведений влементов, расположенных на одинаковых местах, указанных строк матрицы-миожимого и столбцов матрицы-множителя: ~ьп ь„' 1... йм.,Н,, а„а„а„) ° ! Ь„ь„~=) амЬм+ а„Ьм -(-а„Ьм апЬ„+а„Ьм+а„ь„( ам ам а11( ((Ьм Ь11(( Ьамь„+а„ьм+амьм амь11+а„ь„+а„ь„(.
716 Отсюда видно, что число строк матрицы-множнтеля должно быть равно числу столбцов матрипы-множимого. Число строк матрицы-произведения равно числу строк матрнцы-множимого; число столбцов матрицы.произведения равно числу столбцов матрицы-множителя В общем случае операция умножения матриц не обладает перемести- тельным свойствои, т, е. аЬзаЬа. Поэтому следует различать умножение матрицы а иа матрицу Ь стева Ьа н справа аЬ.
Однако для диагональных матриц переместнтельное свойство справедливо. Сочетательное и распределительное свойства справедливы во всех случаях умножения матриц: аЬс = а(Ьс].=(аЬ)с а(Ьз с) =. аЬ+ас. Постоянный множитель для всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы: па =- ((ла;у((. Нетрудно получить: (аЬ)! = Ь!а! Пример ПП 2. Матрица напряжений получается путем умножения матрицы сопротивлений ва матрицу токов О =гЕ Если определяется матрица капряженнй на зажимах ветвей схемы по матрице токов н этих ветвях, то прн отсутствии дополнительных связей межлу ветвями (помимо связей, обусловленных схемой соединений ветвей) матрица сопротивлений является диагональной: (гы0 ..0 — ос„...
0 ((! 0 0 0 Прп наличии дополнительных связей матрица сопротивлений содержит и другие элементы и может быть квадратной: и, и, гм г1! °" г1П гм гг! " ггч гч! гя! гнч и„ Свойство взаимности приводит к симметричности матрицы сопротивленийг г!у= глв Умножение любой матрицы слева или справа на единицу не дает какого-либо ее изменения. Обраглной называется такая квадратная матрица, умножение на которую слева илк справа основной (заданной) матрицы приводит к единичной. Матрица, обратная по отношению к исходной а, обозначается в виде а По определению а 'а=ад '=Е Применение обратной матрицы в какой-то мере заменяет операцию деления.
Операция деления матриц отсутствует. Операция умножения на обратную матрицу может быть использована для решения систем линейкых алгебраических уравнений. Пример П(. 3. Если матрицу контурных токов обозначить через 1 и матрицу собственных и общих сопротивлений контуров — через ггч то их произведение дает матрицу контурных э. д, с. г„1„= е„. (а) Это матричное уравнение соответствует системе линейных алгебраических уравнений следующего вида: ги(г + гзг(з+ ° .. + гсч1ч =ег гм1г+ты(з+ ..+гзя1~=ее г„,1, +г„,!,+ ... + г„„1„=е„ (б) или -1 1к=г ек Полученное вырахгение дает возможность определить токи контуров по заданным значениям э.
д. с. контуров е„т, е, по существу является решением системы уравнений (б). Однако практически для втого необходимо определять обратную матрицу, Правило определения обратной матрицы сводится к следующему: если Ь=а то каждый элемент Ь11 матРицы Ь равен отношению алгебраического дополнения для элемента а;1 матрицы а к определителю, составленному из элементов исходной матрицы. Пример П1. 4.
Пусть тогда где О )пм и„) Пример П!. 5. Пусть а= ам а„ам 718 Если в обеих частях равенства (а) произвести умножение слева на обратную матрицу г„, т. е. на г,",', то тогда 1 Ь=— П где лн лы ом ам а„а„ аз, а„ам Матрнпа, обратная по отношению к симметричной, также является симметричной. Особенная матрица обратной матрицм не имеет. Если основная матрица является диагональной— ап 0 ... 0 0 0 ... ааа то обратная ей матрица Ь=-а также является диагональной— Ь„О ...О Ь= О О причем 1 ьн= — . оп Матрицы могут составляться из блоков, т.
е. элементами матрицы могут быть также матрицы. Соответственно, матрица может разделяться на блоки, каждый из которых является матрицей. С отдельными матрицамнблоками, входящими в состав матрицы, можно опериронать кэк с ее элементал1и, Деление матрицы ва блоки можно испольэовать, например, для упрощения вычисления обратной матрицы более высокого порядка. Пример П1.6. Определить матрицу Ь=а если матрица а †симметричн. Поскольку, по определению, аЬ=1, то после разделения каждой матрицы на блоки, можно получить й:.~~ й '.~~-~"~~ т19 Следовательно (в) (г) (а) (е) а,Ь, +а'Ьг — — 1, а,Ь'+а'Ь,=О, а,'Ь, +а,Ь', =-О.
а, Ь'+ а,Ь, =1. Из выражения (г) Ь'=.— — а а'Ь . 1 Й' Тогда иэ (е) Ь,=-(а,— а,а, 'а') после чего можно определить Ь', Ьг и Ь, = — а, (1 — а'Ь,), а следовательно, и всю матрицу Ь. Таким образом, приходится находить только обратные матрицы вдвое лгеньшего порядка, но прп этом необходимо выполнить несколько операций умножения матриц. Разделение матрицы иа блоки можно использовать и для решения некоторых задач. Пример П1.7. Пусть схема замещения содержит п независимых узлов. Для т из них (пт < и) известны напряжения относительного базисного узла задающих токов (для упрощения записи индекс „у" опущен): 1) =~~(У.п Остальные напряжения (Э,=й Бур (!'=пг+1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
