iomeldar (1021896), страница 118
Текст из файла (страница 118)
20.17), состоящая из емкости ('(! С = 2 лкф, индуктн в ности 1. = 1 гн, Рис. 20.17 активного сопротивления г =500 ом и нелинейного элемента г(1) с вольтамперной характеристикой и ф), заданной на рис. 20.!8, включается под переменное напряжение и(1). Найти закон изменения тока в зависимости от времени. Решение. На основании второго закона Кнрхгофа можно написать уравнение и (1) = Š— + — ~ (б( -1- Н -1- и (1), П( 1 Г, б( С .) которое в форме конечных приращений ииеет следующий вид: и(1)+Ли(1)=-Е Л,+,+ ~ 1(1+Лг) Лг+г(1+Лг)+и(1+Л1), Л) ! Г Л( где ис=-сто 1. После некоторой группировки слагаемых получается равен. ство и (1) + Л и (1) — и (1 + Л 1) — и с = 1 ~ — + г 71 + Л1 ~ — + — + г ) . .7ЛГ 1 7Л( Е Для простоты можно принять следующие начальные условию и (О) = 0; 1 (О) 0; пс (О) = 0 и ис (О) = О, т, е.
в начальный момент времени напряжение источника, ток в цепи, заряд конденсатора и наприжепие на емкости равны нулю. Таким образом, для первого интервала времени уравнение электриче. ского состояния цепи запишется в виде: Ли,— и (Лг',) ( Л1, ' =( С'+Л +')= "Кв. Правая часть этого равевства представляет собой конечный оператор, который при графическом построении изображается прямой, наклоненной к оси напряжений под определенным и постоянным (Л(=сопз1) углом.
Пусть продолжительность периода Т=0,02 сзк, число интервалов я=10, тогда Л1=0,002 сек. для построении прямой нонечного оператора следует воспользоватьси вырагкением: /Лг 1. 1 /210 ' 1 сгйй=пгг~ г + Л г )=~2 10-в+2 10-з+М0) жг=глг2000 пи где глг — масштаб сопротивления. Другими словами, прямая конечного оператора должна пройти через тачки, которые параллельны прямой, соединяющей, например, точку на оси иапряжений, обозначенную 40 в, и точку на оси токов, обозначенную 0,02 а, т. е. отношение напряжения к току г . 20.(8 должно равняться 2000 ом (рис.
20А8). Точка А пересечения прямой конечного оператора с характеристикой и (1) дает решение уравнения в конечных приращениях для первого интервала времени. Очевидно, отрезок АВ представляет собой ток А(о отрезок ОВ определяет напряжение на нелинейном злемеите, в отрезок ВС изображает напряжение Л!,Х х ( — + — +г). Первая точка кривой полной нагрузки (на рис.
20.18 гЛ! (,с л! отмечена цифрой !) имеет координаты; Л1, и и,=Ли,. В конце второго интервала времени Л!а напряжение равно йа и проектируется иа ось напряжений в виде отрезка ОЕ. Уравнение в конечных приращениях для этого интервала имеет вид: и — и(! )=1 1( — '+г)+ Лн ! — '+ — + г) . а='~С ) а(С Л1, Из этого уравнения непосредственно следует, что для расчета необходимо Л! ввести второй конечный оператор — -(-г=т с12и, представляющий собой С часть первого и образующий больший угол с осью напряжений, т. е. Л! — +г=1000+500=1500 аи.
В соответствии с уравнением в конечных при- С ращениях для второго интервала времени из точки Е строится прямая под углам а до пересечения с горизонтальной прямой, определяемой уравнением у=!а (рис. 20.!8). В результате получается точка Р.
Горизонтальный /Л! отрезок 7Е=Цс1йа=щи!а ~ — +г) . Далее из точки Р под углом 0 к осн (! проводится отрезок Рб до перрсечения с характеристикой нелинейного элемента и(а) в точке б. Перпендикуляр бд, опушенный из точки б на горизонтальную прямую у=(„дает приращение тока Л1,. Из прямоугольного треугольника буР горизонтальный отрезок уу= бу с18 8= (гЛ! Ь =тиЛ! 1 — + — +г); горизонтальный отрезок Ай, непосредственно при'(с л! мыкающий к характеристике и(!), дает вместе с отрезком ОВ напряжение и (!а), т.
е. (ОВ+Ад)=глгги (а,), Перпендикуляр ОН, опущенный на ось напряжений, определяет ток (,=а,-(-Лаа. Этот ток является ордннатой второй точки полной нагрузки (отйеченйой цифрой 2), абсцнссой которой является напряжение и,. Для третьего интервала времени уравнение в конечных приращениях ймеет вид: иа — иа(аа) = аа ~ — + г) + Л!а ( — + — + г) . ~с ) (с Конечные операторы остались прежними. После построения точки 8, соответствующей и, = сумак, характеристика полной нагрузки начинает поворачиваться против часовой стрелки, так как вследствие уменьшения напряжения источника ток в цепи также уменьшается. Аналогичным способом на рнс.
20.18 построены еще две точки характеристики полной нагрузки, отмеченные цифрами 4 и 5. 20.7. Изображение переходных процессов на фазовой плоскости Обычно при исследовании переходных процессов в электрических цепях выясняются зависимости различных электромагнитных величин от времени и, в соответствии с этим, при построении графиков по оси абсцисс откладывают время 1, а по оси ординат— исследуемые величины: ток ! напряжение и, потокосцеплеиие Ч', заряд д и т. и.
Однако те же явления можно рассматривать в иной системе координат, если откладывать по осн абсцисс 694 исследуемую величину ((, и, Ч', а), а по оси ординат — скорость изменения этой величины во времени ~ —; —; —; —,) . НаприГщ. Йи дч' дд~ 1, М ' щ ' ~й ' ей ) ' мер, при исследовании переходного процесса в некоторой системе регулирования можно принять отклонение регулируемой величины за координату х, а скорость изменения этого отклоЙх пения у = †-за координату у. Координатная плоскость, в ко- Ж торой по одной оси (обычно по осн абсцисс) откладывается Рис. зОЛ9 исследуемая величина х, а по другой (обычно осн ординат)— йх скорость изменения этой величины во времени — =у, называете= ся фазоеой плоскостью. Переходный процесс на фазовой плоскости изображается некоторой плоской кривой, если он описывается дифференциальным уравнением первого нли второго порядков при этом представление о характере процесса получается без решения дифференциального уравнения в конечном виде.
Изменение состояний системы можно изображать движением некоторой точки на фазовой плоскости. Эту точку называют изображаюи(ей, или представляюи(ей точкой. Кривая, которую вычерчивает на фазовой плоскости движущаяся изображающая точка, в связи с протеканием переходного процесса во времени, называется фазовой т раекторией. Координаты изображающей точки х и нх у= — определяют ее положение на фазовой плоскости н харакщ тернзуют состояние процесса в рассматриваемый момент времени, Здесь необходимо выяснить направление движения изображающей точки. Если принять приращение йГ положительным, то знак ах скорости у =- — зависит только от знака йх. Например, в верх- Ф дх ней полуплоскости (рис. 20.19, а), где у=.— имеет только пот' ложительный знак, йх положительно, т. е.
х увеличивается, и изображающая точка движется вправо. В нижней полуплоскости, лх где у= — только отрицательно, приращение йх также отрицаю тельно, т. е. х убывает, и изображающая точка движется влево. 695 Начало фазовой траектории зависит от начальных условий. Для выяснения некоторых, наиболее существенных положений„ связанных с движением изображающей точки, необходимо рассмотреть ряд примеров. Пусть катушка с параметрами г и 1., в которой проходит ток т', замыкается накоротко. Возникающий при этом переходный лроцесс можно описать дифференциальным уравнением ш 1. — + и' = О.
Ж Если ток 1 обозначить через х, а скорость изменения тока Ж г во времени — „принять равным у, то эта координата у= — — х. Ш Следовательно, фазовая траектория переходного процесса имеет в данном случае форму прямой, проходящей через начало коор- г динат, с угловым коэффициентом, равным — (рис. 20.19, б). Ток в закороченной катушке уменьшается в зависимости от времени по закону экспопенциальной функции ~' = Г = 1,е ' (рис. 20.20).
Рис. 20.2т фазовая плоскость с построенными фазовыми траекториями дает возможность охватить всю совокупность движений в рас- . сматриваемой системе, которые могут возникнуть при различных начальных условиях. Заключения о характере этих движений выводятся без предварительного отыскания аналитических выражений интегралов исходных уравнений и даже тогда (что очень важно), когда эти выражения не могут быть получены. В качестве второго примера целесообразно рассмотреть переходный процесс в неразветвленной цепи, состоящей из емкости С и индуктнвности А, при включении ее на постоянное напряжение У (рис.
20.21). Поскольку активное сопротивление в цепи принято равным нулю, то в ней должны возникнуть незатухающие колебания. Для схемы, изображенной на рис. 20.21, на основании второго закона Кирхгофа можно написать уравнение которое после Если в этом а аа! аа „вЂ” — через аа! у, то дифференцирования приобретает вид: а1аа 1 1.— + — 1=О. Ша С уравнении обозначить ток ! через х, — — через 1 /.С у и разделить обе части данного уравнения на ау ах д» а — = — ы уа(у = — в, ха(х. После интегрирования этого уравнения и небольших преобразований получается уравнение эллипса в канонической форме: у' х' —,+ —,=1, Ка ~К)а где К вЂ” постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
