iomeldar (1021896), страница 115
Текст из файла (страница 115)
В частности, если невозможно дать простое, приближенное .аналитическое выражение характеристики нелинейного элемента, можно эту характеристику, заданную в виде кривой, заменить ломаной линией в виде отрезков прямых. При этом уравнение, связывающее напряжение и ток в пределах 674 прямолинейного участка характеристики, будет линейным. При переходе от одного прямолинейного участка к другому — смежному, необходимо учитывать, что численные значения токов в индуктивностях, а также напряжений на емкостях в начале последующего участка должны быть взяты равными численным значениям соответствующих величин в конце предыдущего прямолинейного участка характеристики.
Эти соображения, вытекающие из законов коммутации, кладутся в основу определения постоянных интегрирования. Широкое применение при расчете переходных процессов в нелинейных цепях нашли методы последовательных интервалов и графического интегрирования. Метод последовательных интервалов заключается в замене интегрально-дифференциальных уравнений алгебраическими, в которых исследуемые величины входят в качестве приращений за соответствующие интервалы времени. Этот метод, хотя и связан с большими вычислительными операциями, является одним из наиболее универсальных.
Метод графического интегрирования заключается в таком преобразовании заданного дифференциального уравнения, при котором можно найти время, соответствующее определенному значению искомой величины, в виде площади, ограниченной построенной кривой и осями координат. Так как при графическом интегрировании используется действительная характеристика нелинейного элемента, то этот метод является одним из достаточно точных. й 20.2.
Метод графического интегрирования Пусть задана некоторая функция 7" (х), равная производной ач ду —,, т. е. — =)(х). Требуется построить для этой функции интегральную кривую. В соответствии с геометрическим смыслом производной, угловой коэффициент касательной в каждой точке интегральной кривой должен быть равен в некотором масштабе ординате соответствующей точки заданной производной функции. Очень наглядно и просто установить указанную связь в том случае, когда заданная производная функция — =- ~ (х) 44 кх имеет график в виде ступенчатой ломаной прямой с положительными и отрицательными значениями (рис. 20.1, а) на соответствующих участках.
В пределах каждого участка производная постоянна — =сонэ(, и, следовательно, в этом интервале измеЙя нения х (например, от а до а) величина я изменяется равномерно по закону прямой линни. На тех участках, где производная ду дх — положительна, ордината д увеличивается, а на тех участках, где — имеет отрицательное значение, ордината и уменьшается, Иу дх 675 1 а) и-! у„=у,+ ~ч',~(х,+, !) (х,+,— х,), Таким образом, при заданной ступенчатой прямой для производной функции интегральная кривая у=ф(х) имеет внд ломаной линии (рис. 20.!, б).
Пусть заданная функция изображается на графике плавной кривой (рис. 20.2, а). Однако любую плавную кривую можно заменить ступенчатой кривой (рис. 20.2, б) и свести этот случай к рассмотренному выше. Прн такой замене необходимо выполнить условие, при котором площадь каждого прямоугольника должна приближенно равняться . а);ау(х1 площади, ограниченной теми же Я ординатами, проведенными из начала и конца ступени, и отрезком кривой, заключенным г между этими ординатами. При в 1 О' а.х замене данной кривой ступен,а чатой высоты прямоугольников ,3 следует взять равными ордина! там, находящимся посередине 131 соответствующих полосок, на 1 «д ! ! КОтОрые Разбивается плошадь, расположенная между интегри- ! 1 руемой кривой и осью абсцисс.
1 В рассматриваемом способе е Ки!Ф ! 1 любую последующую ординату у х можно выразить через начальа з еа е ную ординату у,. Например, орРис. кО.! дииату у, можно выразить через у, из следуюшего соотношения (рис. 20.2, б): ' "'= тйя„откуда р, = у, +(х,— х,) тря,. Так к,— х, как угловой коэффициент тйя, равен в некотором масштабе ординате 1(х,,), взятой в середине рассматриваемого интервала (х, — х,), то у, = у, + (х, — х,) ! (х,,). Из аналогичных соотношений ьч = тд я„откуда у, = у, + (х, — х ) Ц я,.
Так как тй я, = ( (х,,), кк — к, то, учитывая выражение для у„легко получить: у, = у, + ~ (х,„) (х, — х,) + 1 (х,,) (х, — х,). Обобщая, можно записать: где п †чис вертикальных полосок, на которые разбита вся площадь; у„х,— заданные начальные координаты интегральной кривой; х1„„, =" — '+-'й — ! — абсцисса середины интервала. Пользуясь 676 определением интеграла, можно записать точное выражение: кч у„=у,+~ у(х)Их. кг Из сравнения приближенной и точной формул получается: х„ ч-г ~ ~(х) г(х- ~~~1(хгам,) (х;+,— хг). хч г з Если рассматривать равные интервалы изменения переменной х, то приращение этой величины Лх=х,+,— х; постоянно. Следовательно, при Ах=сонэ( приращение функций у, стоящее под знаком суммы, пропорционально ординате и) производной кривой в середине интервала ~гул 1зу=-1 (хг о,з) Лх.
Та- ЛФ' ,)гйг~,У(41- —, кая пропорциональность существует между основанием рав- 0 х, хм хг, нобедренного треуголь-, ника и его высотой, Полученное соотношение дает возможность для графического интегрирования применить лекало, имеющее хг ~~ хг форму равнобедренного Рис. 20.2 треугольника. Пример 20 1. Неразветвленная цепь (рис. 20.3), состоящая нз двухалектроаной лампы, нндуктнвносгн д=100ги и активаого сопротивления г=1000ом, включаетск под постоянное напряжение источникз ьг 100в.
Определить ток при переходном пропессе, если зальтамперная характеристика задана в виде кривой ии=т(1), изображенной на рис. 20ПК р е щ е н и е. уравнение злектрнческого состояния цепи (рнс. 20.3) имеет следующий внд: сп Д вЂ” + Ы+ и (г) = (2. ог Зто уравнение того же типа, что и Риг. 20.8 йу уравнение — =1 (х), где переменная и г(1 аналогична переменной г, функция Г" (х) аналогична функции си (У вЂ” г)-, (1) из (г) У(П= — = П1 й 1 — 101 — — . !00 В данном случае можно непосредственно применить графическое интегря. рованне. При 1=0 ток равен нулю, ввиду наличия в цепи инауктявиостн.
В той же системе координат, в которой построена характеристика лампы иь.=-(Я, построена прямая линия по уравнению и=(l — Н=106 — 1600( (рис. а).4). Зта прямая пересекается с осями координат в следузощих точках: при 1=0; и=!00в н при и=-0 1=-0,!а.
Отрезки между кривой иа В) и прямой () — и', измеренные в горизонтальном направлении при соответствующих значеинях тока, дают напряжение на индуктивиости Ц (1) = У вЂ” Н вЂ” и, (1) = 100 ) (1) Непосредственно из графика (рис. 20.4) найдены значения Ц(1), соответствующие различным значениям тока, и вычислены значения ((О и обратной ей величины 1 ) †; .
Расчеты сведены в табл. 20.1 (106 Рис. 20.5 Рис. 20.4 Таблица 20.! 0,02 ! 0,04 о,оз ! о,ов ! з,зт а 678 Зависимость величин 1 (1) и 1,( (с) от тока показана на рис. 20.8. Принимая приращения тока Ь(=-0,0!а, можно вертикалькымн линиямн разбить площадь под кривой 1(1(4) (рнс. 20.5) на узкие областн. Площадь каждой такой области определяется по приближенной формуле: 1Г!14 гв = (а + Г . + 1 (гв са) 2 ( г (1 ) 1 (4 )~ Площадь, ограннченная крнвой Ц (4) н осью абсцисс, взятая в пределах от 4'=0 до некоторого выбранного значення й въ о въ о ю о СЪС'ЪСООЪ 4'ОЪ вЂ” ВЪСЧ Г 4 иа ооооо-еач'соо въ 8 оооооо 14 оооооо 4 СЪСЪЮ 4 О о Сао 4'С'4иа О С44 СССССО оооооюоюз оооооо Рис. 20.6 въ со ьъ иъ о ю С'4ОЪ 4'СЧВЪ О -въь.оссасо 8 С4 С'Ъ Ъ представляет собой время, в течепне кото.
рого происходит возрастанне тока 4. Все расчеты сведены в табл. 20.2. Результирующие приращения аременк Г нспользованы для построения кривой 4 =1 (Г) (рнс. 20.Б), показывающей нзмене* нне тока 4 в зависимости от времени. Поскольку нз кривой 1(1'(4) получается значение времени, равное бесконечности прн токе 1=0,07 а, то последнее является предельным током устаковнвшегося режима, получающимся в цепи через бесконечно большое время, + + -Р ОЪ ОЪ ОЪ ВЪ СЪ Ю са '-„'" ч' си с . 8 С4 С44 4 Г СО Ф с'1 ЮУ "ъ ю ' - 8 й 20.3. Метод кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики 4 4 Ю С'4ОЪ 4' Ъ Ос ооооооо ооооооо СЪ СасЪЗИЪ3 ооооооо Суп(ность этого метода заключается в замене заданной нелинейной характеристики отрезками ломаной линии. Для сравнения преимуществ и недостатков того или иного метода следует рассмотреть пример на расчет переходного процесса в цепи, изображенной на рис.
20.3. Пусть вольтамперная характеристика диода заменена с помощью двух прямых линий, уравнения которых по участкам имеют следующий вид: для первого участка !=0,0015 и,; для второго участка = — 0,03+0,004 и„где ! — ток в амперах, а и,— напряжение на зажимах диода в вольтах. Граница областей определяется в точке пересечения прямых при!=0,018а и и,= 12в. Йа основании второго закона Кнрхгофа для схемы (рис.20.3) справедливо уравнение: Е = Š— + г! + и„(!). ж После подстановки числовых значений это уравнение приобретает следующий вид: 100 = 100 „— + 10001+ — Е Ж .
! 0,00! 3 или Ж вЂ” + 16,671= 1. Ванное уравнение имеет решение: 1= 0,06+ Ае-!ь зг ', где постоянная интегрирования определяется из начальных условий, а именно, при !' = 0 ток ! = 0; следовательно ! = 0,06 (1 — е- ! ц" ') а. Это решение справедливо для первой области, пока ток ! не достигнет границы, заданной током !=0,018а. Чтобы уменьшить резкость перехода во вторую область целесообразно взять ток 1 = 0,017 а при г = 0,02 сек. Для второй области уравнение электрического состояния: 100= 100 — +1000!+ — (ю+0,03) или — '+ 12,51=-0,925. Решением этого уравнения является функция: 1=0 074+ Ве-!з з' Постоянная интегрирования В должна быть выбрана так, чтобы при 1 =0,02сек, ток !' = 0,017 а. Следовательно, окончательно выражение для тока второй области запишется: !' = 0,074 — 0,073е-" з'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
