iomeldar (1021896), страница 119
Текст из файла (страница 119)
На фазовой плоскости это уравнение изобразнтся в виде семейства эллипсов, оси которых совпадают с осями х и у, при этом вертикальные оси равны 2К, а горизонтальные — 2— К (чЛ'7 ма (рис. 20.22). Полученные эллипсы отображают незатухающие сину- (-' оР сондальные колебания при М различных начальных усло- Це р виях. Амплитуда колебания тока 1„ равна полуоси эллипса —, направленной по осн х: К ! = †. Частота колеба- К ааа р . го.гг ний равна отношению вертикальной полуоси К к горизонтальной †, т е. н, = — . - К К а К(аа Если в начальный момент времени конденсатор не имеет электрического заряда, а ток в цепи с индуктивностью начинается с нулевого значения 1(0) = О, то начальная скорость воз- /аа! Х !! 1! растания тока ~ — ) = — илн У(0) = — .
Лг а Величина — из уравнения эллипса выразится в виде У + а По отношению к начальному моменту времени (моменту включения) откуда амплитуда колебаний тока (полуось эллипса, совпадающая с осью х) 1„= — = — . ~о и» Все эллипсы охватывают начало координат и являются замкнутыми кривыми, расположенными одна в другой. В данном случае начало координат представляет собой «центр», и незатухающие колебания имеют устойчивый характер. Если активным сопротивлением г нельзя пренебречь и его значение находится в пределах г ~ 2 )Г1.4С,то колебательный процесс становится Рис.
»0.»з ии». »о.« затухающим, а фазовые траектории имеют внд спиралей с устойчивым «фокусом» в начале координат (рис. 20.23). При этом шаг спирали растет по мере увеличения г. При г~2)/ЦС семейство спиралей вырождается в семейство парабол, проходящих через начало координат, представляющее собой устойчивый «узел» (рис. 20.24). Центр, устойчивый фокус и устойчивый узел представляют собой точки равновесия изображающей точки на фазовой плоскости. ф 20.8. Метод изоклин При решении нелинейных дифференциальных уравнений от- Их носительно х н — с целью построения фазовых траекторий часто ш встречаются большие трудности.
Поэтому интегрирование дифференциального уравнения заменяют алгебраическим преобразо- 698 ванием и геометрическим построением при помощи метода изоклин. Озоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым имеют одинаковый наклон.
Если имеется семейство изоклин, то построение интегральных кривых выполняют геометрическим путем, не прибегая к дополнительному анализу. С этой целью сначала следует рассмотреть применение метода изоклин к дифференциальному Ых уравнению перво~о порядка — =) (х, 1). При этом предполага~п ется, что функция ~(х, 1) является непрерывной и однозначной, с возможным исключением для некоторых отдельных точек.
Д,чя таких точек функция ) (х, 1) получается неопределенной вида —. Решение по методу нзоклин применимо ко всем значениям О о' х и г', кроме значений, соответствующих особым точкам. Метод изоклин предполагает графическое построение, выполненное в осях х и Г, и дает решение в виде кривой, называемой интегральной. Перед построением все параметры. встречающиеся в выражении функции ~(х, г), должны быть численно заданы. Тогда ь'х можно вычислить значение Г" (х, 1) и, следовательно, — для й некоторой заданной точки с координатами (х, 1) на плоскости.
чх Значение производной — можно истолковать как наклон в дан- Ж ной точке, который должна иметь кривая, если она представляет собой решение рассматриваемого дифференциального уравнения. Таким образом, через данную точку фазовой плоскости можно провести с вычисленным наклоном короткий отрезок прямой в виде черточки, представляющей собой отрезок кривой частного решения дифференциального уравнения. Можно выполнить серию вычислений для многих точек плоскости и через каждую из них провести под соответствующим наклоном отрезки прямых. Поскольку в особых точках наклон неопределенный, то через эти точки не могут быть проведены указанные отрезки прямых.
Уравнение ) (х, 1) = т определяет геометрическое место точек на плоскости х, 1, в которых интегральные кривые дифференциального уравнения имеют выбранный наклон и. Такая кривая представляет собой изоклину. Если изоклина вычерчена на плоскости х, (, то отрезки прямых с выбранным наклоном можно нанести по всей длине изоклины. Изменив численное значение т, можно провести вторую изоклину, Таким способом всю плоскость хг' можно заполнить изоклинами, причем каждая изоклина будет определять направление с помощью отрезков прямых соответствующего наклона.
На рис. 20.25 показаны только четыре изоклины, что конечно недостаточно для точного решения. Начиная из точки с координатами х„1, и всюду следуя наклону отрезков прямых, можно вычертить интегральную кривую приближенным способом. Для построения кривой, проходящей через точку а с начальными значениями х, и г„следует из точки а первой изоклины провести два луча до пересечения со второй изоклиной. Первый луч строится так, что он образует с осью абсцисс угол, тангенс которого равен гп,. Этот луч пересекает вторую изоклину в точке Ь,. Второй луч проводится под углом, тангенс которого равен и„.
Этот луч пересекает вторую изоклину в точке Ь,. Отрезок Ь, Ь, делится пополам и тем самым определяется точка Ь. Точки а н алая Рис. 20.25 Ь соединяют прямой, представляющей собой отрезок интегральной кривой. Затем проводятся два луча из точки Ь до пересечения с третьей изоклиной, и находится точка с. Чам ближе 6 асположены изоклины, тем точнее строится интегральная кривая. ри достаточном количестве изоклин интегральную кривую можно провести с приемлемой степенью точности.
Различные начальные условия приводят к различным интегральным кривым, при этом они соответствуют различному значению постоянной интегрирования. Поскольку требуется, чтобы наклон, заданный с помощью функции ((х, (), был однозначным во всех точках, кроме особых, то две интегральные кривые не могут пересекаться. Достатдчно иметь единственное начальное условие, чтобы установить единственную интегральную кривую.
ох Пример 20.7. Найти решение уравнения — =-х+( прн помощи метода Ж нэоклнн. Прн этом необходнмо рассмотреть следующие начальные условия: а) прн г =0 х,=О (ннтегральная крнвая проходит через начало координат); б) пРв Ге=О хе=О 2. Решение. В данном случае нвоклнны представляют собой прямые линии (рнс, 20.26.), заданные в виде уравнения т= — х+(. 700 Можно ограничить изменение ( и х эиачепинми, соответственно равнымн 0,6 и 0,5.
Ниже приведены необходимые данные для построения трех иэоклии: — 0,1 0,1 0; 0,1; 0,4 0,1; 0,2; 0,6 0; 0,1; 0,2; 0,5 г Л х 0; 0,1; 0,2; 0,5 0; 0,11 0,1; 0,2; 0,5 При построенни изоклин существенное значение имеет выбор масштабных шкал вдоль осей координат. Для того чтобы т можно было интерпретировать как наклон в точке интегральной кривой в геометрическом смысле, шкалы вдоль обеих осей 1 н х должны быть одинаковыми.
Из уравнения иэоклины следует, что при х=-0 значение т=(. Следовательно, изоклины Рис. 20.26 определяются значениями 1 в точках пересечения ими оси абсцисс. Коли деления, например, по оси ординат сделать больше, то частное значерие т= =-7 (х, 1) =1 не будет соответствовать углу наклона в 45' по отношению к горизонтальной оси. Целесообразно истолковать лэ в виде отношения ш= Ах ~ —, где Ах и Л( — приращения, измеренные вдоль осей координат.
В точ- 61 ' г(х ке — =7(к, () =0 ил~еется экстремум функции. В рассматриваемом ураане- И иии получается 0= — х+(, откуда к=(, т. е. в точках биссектрисы координатного угла интегральные кривые имеют минимум (рис. 20,26). 70! 5 20.9. Применение метода изоклин к уравнениям второго порядка Отдельные дифференциальные уравнения второго порядка можно решить при помощи построения изоклин. Для этого их следует привести к уравнению первого порядка.
Целесообразно рассмотреть, например, уравнение простого гармвпического движении г)зх — +ы х=о, бгэ о где ы,' — положительное вещественное постоянное число. Решение для этого лияейного урзвнення хорошо известно: х= А соэ (ы,! -(-6), где А н 6 — постоянные величины, определяемые из начальных условий. В рассматриваемом уравнении полезно заменить время ! на новую безразмерную величину т=ы,г, причел! [ы,) измеряется сгк ', [!] — сгк. бт бх!б Тогда Ы г = ы, Ж, откуда б! = — . Если обозначить — = — — = о, то ыь г(! г(х д'х б ! дх '1 б, до — = вы, н — = — (т — ~ = — (оы ) =ы — . я ' ги' ги Н! г)! ' ' и Так как но Ыо г(х гЬ вЂ” — ' — = оы б! Ах б! ьбх ' то ы о — -1- ы х =О.
!Ь а г(х о После деления на ы,' и о получается Ыо х дв х — + — =О, или й» Нх о Зто уравнение представляет собой уравнение фазовой траектории, причем бо г(х — означает тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории в рассмат иваемой точке. ожно предположить, что скорость изменения величины о при измене- Ю х нии х постоянна, т. е. — =т=сопз1. Тогда получается уравнение т= — —, ' г(х о определяющее собой криву!о, пересекающую фазовые траектории в определенных точках. Именно в этих точках касательные к фазовыи траекториям имеют одинаковые углы наклона до — =ш. йх Ранее было сказано, что кривую, определяемую таким уравнением, называют иэоклиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
